從“抽象”到“具體”并不難

施長(zhǎng)燕 黃荷燕

在函數(shù)版塊的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們總是困擾于其抽象思維的要求而對(duì)很多問(wèn)題望而卻步，甚至連一些耳熟能詳?shù)念}型也往往不能得分，在運(yùn)用反比例函數(shù)的增減性以及結(jié)合圖像求取值范圍時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一些失誤。現(xiàn)將同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，以做到有效預(yù)防。

一、掌握性質(zhì)

例1對(duì)于反比例函數(shù)y=-2，下列說(shuō)法不正確的是（）。

A.圖像分布在第二、四象限

B.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

C.圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-2）

D.若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在圖像上，且x1

【錯(cuò)因分析】有同學(xué)選擇B項(xiàng)，主要認(rèn)為k=-2<0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)就認(rèn)為y隨x的增大而增大，條件x>0給得多余了，這是對(duì)“x>0”這樣的條件理解不仔細(xì)、不深入。其實(shí)當(dāng)x>0時(shí)，只需考慮第四象限內(nèi)的圖像。

解：A.k=-2<0，∴它的圖像在第二、四象限，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確;

B.k=-2<0，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確;

C.∵-21=-2，∴點(diǎn)（1，-2）在它的圖像上，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確;

D.點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函數(shù)

y=-2x的圖像上，若x1

<0y2;若0

在利用反比例函數(shù)概念解決問(wèn)題時(shí)，有的同學(xué)會(huì)忽略反比例函數(shù)y=kx中自變量x的取值范圍這個(gè)條件，從而解答錯(cuò)誤。

二、把握?qǐng)D像直觀(guān)性例2已知點(diǎn)A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（3，ky3）都在反比例函數(shù)y=x（k>0）的圖像上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為。

【錯(cuò)因分析】有同學(xué)的答案為y10時(shí)，y隨x的增大而減小）比較出函數(shù)值的大小。

解：反比例函數(shù)的增減性有別于一次函數(shù)的增減性，要落實(shí)到每一個(gè)象限內(nèi)討論，即分x>0與x<0兩種情況。本題因?yàn)閗>0，所以圖像在一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，y20，所以正確答案為y2

三、理解k的幾何意義

例3如圖2，反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC的邊AB的中點(diǎn)E，與邊BC相交于點(diǎn)F，連接OF。點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)嗎？

【錯(cuò)因分析】部分同學(xué)由于對(duì)函數(shù)y=kx中的系數(shù)k的幾何意義沒(méi)有理解到位，忽視了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，故而連解決問(wèn)題的思路都沒(méi)有找到。也有同學(xué)沒(méi)能抓住點(diǎn)E、B、F三個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)，出現(xiàn)錯(cuò)誤性判斷。解法一：設(shè)中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，k），根據(jù)題意得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，2k），點(diǎn)F的坐標(biāo)為t（1t，2k），所以點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)。

此解法以“坐標(biāo)”之間的關(guān)聯(lián)為主，即從“數(shù)”的層面去解決問(wèn)題。其實(shí)本題也可以從“形”的角度做出推斷。

解法二：連接OB，∵E是AB中點(diǎn)，∴S△AOEkk=S△BOE=2?！逽△COF=2，S△AOB=S△COB，∴S△COF11=2S△COB，∴CF=2CB。即F是BC的中點(diǎn)。

四、綜合運(yùn)用

例4如圖3，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b（a>b）的正方形連在一起，三點(diǎn)C、B、F在同一直線(xiàn)上，反比例函數(shù)y=kx在第一象限的圖像經(jīng)過(guò)小正方形右下頂點(diǎn)E。若OB2-BE2=8，則k的值是（）。

A.3

B.4

C.5

D.45

【錯(cuò)因分析】在雙曲線(xiàn)與其他幾何圖形相結(jié)合的問(wèn)題中，通過(guò)已知條件求比例系數(shù)k，往往都是利用幾何圖形的性質(zhì)提煉出等量關(guān)系，求出圖像上某點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用xy=k這一本質(zhì)解決問(wèn)題的。在上述問(wèn)題中，有的同學(xué)看到“OB2-BE2=8”這一條件，慣性思維立刻聯(lián)想到勾股定理，然而這里雖有∠OBE=90°，但OB又不能成為△OBE的斜邊，于是就陷入了困局。

【正確解答】我們不妨換個(gè)思路，把等式的左邊看成單純的平方差公式，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到OB=2OA=2AB，EB=2DE=2BD，代入原式得到（OA+DE）（AB-BD）=4。設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），進(jìn)而得到xy=4，據(jù)此可得k=4。故選B。

通過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題的解決，同學(xué)們有沒(méi)有對(duì)“抽象”的函數(shù)問(wèn)題又增添了幾分自信呢？其實(shí)函數(shù)問(wèn)題并沒(méi)有我們想象得那么難，同學(xué)們只要牢牢掌握它們的基本概念和性質(zhì)，多借助函數(shù)圖像，靈活運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合思想，敢于聯(lián)想，敢于嘗試，就一定能把問(wèn)題順利解決，在“函數(shù)”這個(gè)天地中自由地翱翔！

（作者單位：江蘇省常熟市濱江實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)）