黃欲涵
大家學習反比例函數(shù)后,對函數(shù)的圖像和性質(zhì)有了更深入的理解。同時,反比例函數(shù)又是考試中的一個熱點。為了幫助同學們更好地掌握解決反比例函數(shù)問題的方法,下面老師以中考真題為例,與大家共同研究、總結(jié)。
一、用面積,求k值
已知雙曲線y=kx上任一點,過該點作x軸、y軸的垂線,所得矩形面積等于|k|,利用這個性質(zhì)可以解決相關(guān)問題。
【解析】利用三角形的面積為12|k|來解決,所以|k|=4。該反比例函數(shù)圖像在第二象限,所以k的值為負數(shù)。故選D。
例2如圖2,點A是該函數(shù)圖像上一點,過點A作AB⊥y軸于點B,點P在x軸上,△ABP的面積為2,則該函數(shù)的表達式為。
解析】連接AO,因為△ABP和△ABO同底等高,面積相同,而△ABO的面積是12|k|,則|k|為4。因為圖像在第一象限,所以函數(shù)關(guān)系式為y=4x。
【點評】本題通過作輔助線轉(zhuǎn)化為熟悉的基本三角形,再利用12|k|的幾何性質(zhì)解決問題。
例3反比例函數(shù)y=3x和y=kx的部分圖像如圖3所示。點C是y軸正半軸上一點,過點C作AB∥x軸,分別交兩個圖像于點A、B。若CB=2CA,則k的值為()。
A.-3B.3C.6D.-6
【解析】過點A和點B作x的垂線,垂足分別為E和F。因為AB∥x,得S矩形BCOF=2S矩形ACOE,所以k值為-6。故選D。
二、設(shè)坐標,用方程
我們在解決反比例函數(shù)問題的時候,如果發(fā)現(xiàn)有的點在反比例函數(shù)圖像上,據(jù)此可以設(shè)這個點的坐標,再找等量關(guān)系列出方程解決問題。
例4(2018·江蘇鹽城)如圖4,點D為矩形OABC的AB邊的中點,反比例函數(shù)yk=x(x>0)的圖像經(jīng)過點D,交BC邊于點E。
若△BDE的面積為1,則k=。
【解析】設(shè)D點坐標為(a,b),利用點D為線段AB的中點這個條件,可以得到點B的坐標為(2a,b),再由四邊形OABC為矩形可得BC⊥x軸,繼而可得E點的坐標為(2a,
【點評】這是反比例函數(shù)中求k值的問題。在這個問題中,設(shè)出點D坐標后,點B、E也隨之得出,再代入題中給出的等量關(guān)系得到關(guān)于a和b的兩個方程,就能求出k的值。解題過程體現(xiàn)了用方程解決問題的思想,而且未知數(shù)雖設(shè)卻不用求。
【點評】對于這類問題,我們首先設(shè)一個點的坐標,其他的點便隨之可表示出來,再利用面積為6這個條件建立方程,便可求出k值。
(作者單位:江蘇省常熟市周行中學)