探討教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透

林子安

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要教授學(xué)生知識點(diǎn)，還需要注重發(fā)散學(xué)生解題思維，透過問題分析內(nèi)在的聯(lián)系，從而形成系統(tǒng)的解題思路。文章闡述了數(shù)形結(jié)合的概念及其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，介紹了數(shù)形結(jié)合思想在幾何、函數(shù)等知識學(xué)習(xí)中的滲透方式，希望不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，還能幫助學(xué)生打破思維桎梏，使其面對任何問題都能開動腦筋、重點(diǎn)分析、把握精髓。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)滲透

任何知識都不能單獨(dú)存在，通過其內(nèi)在的規(guī)律，找出互相轉(zhuǎn)化的條件，能夠使復(fù)雜問題簡單化，有利于學(xué)生開拓思維，從更多視角解決問題。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見也是最重要的思維方式，將數(shù)學(xué)知識中兩大分類數(shù)字與圖形巧妙結(jié)合在一起，從而一通百通，在源頭上提高學(xué)生解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合概念闡述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老的基本研究對象。在課程改革之前，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容籠統(tǒng)分為代數(shù)和幾何，正是數(shù)與形的基本延伸。此二者在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，說明其具有內(nèi)在聯(lián)系，即數(shù)形結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合主要有兩種運(yùn)用方式：借助數(shù)字的準(zhǔn)確性闡明圖形的一些屬性;借助圖形的直觀性清晰呈現(xiàn)復(fù)雜數(shù)式的內(nèi)在聯(lián)系，即“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”。賦予圖形具體的數(shù)值和單位，如圖形邊長、面積等，將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字計(jì)算問題，或通過圖形延伸，將具有不同意義的數(shù)字關(guān)系表達(dá)出來。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)字與圖形是數(shù)學(xué)教學(xué)中兩個(gè)基本屬性，強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量之間的關(guān)系與幾何圖形、位置關(guān)系等結(jié)合起來，使抽象問題具象化、復(fù)雜問題簡單化，從而便于解答。

著名教育家陶行知說：“生活、工作、學(xué)習(xí)倘使都能自動，則教育之收效定能事半功倍。所以我們特別注意自動力之培養(yǎng)，使它關(guān)注于全部的生活工作學(xué)習(xí)之中。自動是自覺的行動，而不是自發(fā)的行動。自覺的行動，需要適當(dāng)?shù)呐囵B(yǎng)而后可以實(shí)現(xiàn)?！币髮W(xué)生自發(fā)地用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是不現(xiàn)實(shí)的，但是通過科學(xué)引導(dǎo)，使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合的重要意義，從而自覺應(yīng)用，是當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方向。

二、數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的作用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，具有以下作用：

第一，通過數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生開拓思維。數(shù)學(xué)課程是一項(xiàng)基本課程，數(shù)學(xué)知識能夠輔助應(yīng)用于其他任何學(xué)科的學(xué)習(xí)。當(dāng)學(xué)生掌握一定程度的數(shù)形結(jié)合思維后，在面對物理學(xué)“力的正交分解”等知識點(diǎn)時(shí)，能夠快速找到解題思路，逐漸通過其他學(xué)科強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合概念，使所有學(xué)科成績都能提高。

第二，部分?jǐn)?shù)學(xué)知識通過文字?jǐn)⑹?，涉及?jì)算內(nèi)容較少，具有一定抽象程度，不利于理解。通過數(shù)形結(jié)合思想，將文字?jǐn)⑹鰞?nèi)容轉(zhuǎn)化成圖形中的具體數(shù)值，幫助學(xué)生整理思路，將籠統(tǒng)的概念進(jìn)行具體劃分，從而加深理解和記憶，使學(xué)生徹底掌握。

第三，幫助學(xué)生形成良好的分析問題、解決問題的思路。學(xué)校教育不僅是教授學(xué)生知識內(nèi)容，更重要的在于培養(yǎng)學(xué)生思維，通過對基礎(chǔ)知識的了解，逐漸具備觀察、分析一切事物的能力。當(dāng)面對的問題相對復(fù)雜，沒有直截了當(dāng)?shù)那腥虢嵌葧r(shí)，可以轉(zhuǎn)換思路，將已知元素轉(zhuǎn)接到另一個(gè)載體上，開辟新的道路，從而解決問題。

三、數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的滲透

1.數(shù)形結(jié)合思想在幾何知識學(xué)習(xí)中的滲透

幾何知識教學(xué)中，圖形的周長、面積以及位置關(guān)系等一直是教學(xué)難點(diǎn)。綜合來看，學(xué)生的知識儲備程度差異較大，部分學(xué)生從小接受繪畫、舞蹈等實(shí)踐性較強(qiáng)的課外輔導(dǎo)，理解圖形結(jié)構(gòu)組成、邊角關(guān)系等，較為容易;部分學(xué)生只對數(shù)字感興趣，一旦結(jié)合圖形容易自我設(shè)置禁錮，不利于知識理解。因此，在幾何知識教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，不但有利于不同水平的學(xué)生理解，還能在靈活轉(zhuǎn)化的過程中，使學(xué)生抓住內(nèi)在的聯(lián)系，進(jìn)而克服知識短板，全面提高。比如，在勾股定理教學(xué)和課后練習(xí)時(shí)，大多數(shù)教師都采用數(shù)形結(jié)合的方式，加深學(xué)生理解。勾股定理教學(xué)通過網(wǎng)格展開，網(wǎng)格由11cm×11cm的正方形為框架，平均分為1cm×1cm的小正方形。在網(wǎng)格中間畫出短邊為3cm，長邊為4cm，斜邊為5cm的直角三角形，通過格尺將各條邊延伸，各自形成新的正方形I、II、III，通過正方形的面積計(jì)算，得出結(jié)論32+42=52單一圖形不足以說明問題，可以繼續(xù)畫出另外的直角三角形，均能得出“兩個(gè)小正方形面積相加等于大正方形面積，即SI+SII=SIII”，一般在直角三角形中，直角短邊長度為a，長邊長度為b，斜邊長度為c，延伸出的正方形面積即為每條邊長的平方，由此得出直角三角形“直角邊長度平方和等于斜邊長度的平方”這一概念，即a2+b2=c2，此即“勾股定理”。其本質(zhì)是圖形知識，但主要闡明的是圖形邊長數(shù)字之間的關(guān)系。在教學(xué)中，教師如果僅闡述概念，學(xué)生盡管可以通過死記硬背的方式將定理內(nèi)容記下，在課后練習(xí)和考試中套用公式解答問題，但缺少有效的理解，當(dāng)出題者轉(zhuǎn)換思路方向，生搬硬套公式的方法將不再適用。通過數(shù)形結(jié)合，在增加學(xué)生理解概念的同時(shí)，還鍛煉了其動手能力，因此，在教學(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)推廣。

2.數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)知識學(xué)習(xí)中的滲透

在函數(shù)知識學(xué)習(xí)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合概念，是典型的“以形助數(shù)”。函數(shù)教學(xué)通常和直角坐標(biāo)系聯(lián)系在一起，通過圖形將函數(shù)關(guān)系清晰呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。如一次函數(shù)定義義：y=kx+b（k，b是常數(shù)，k=?0），那么y叫作x的一次函數(shù)，學(xué)生初次接觸函數(shù)概念時(shí)，由于做慣了具體數(shù)字和一元方程式（組）中只有x一個(gè)未知變量的練習(xí)，驟然看到數(shù)式中4個(gè)字母，會感到難以接受。此時(shí)，通過直角坐標(biāo)系將數(shù)式中k、b取具體數(shù)字，讓學(xué)生通過x的不同取值計(jì)算出y相應(yīng)的數(shù)值，在直角坐標(biāo)系中畫出不同的點(diǎn)位，將之連線，最終得到曲線圖。如果數(shù)式中k=0，那么直線必然經(jīng)過原點(diǎn)（0，0），此時(shí)y是x的正比例函數(shù)。通過兩條直線的走勢，可以清楚看到，一次函數(shù)相比正比例函數(shù)，直線斜度保持一致，原因在于k值相同，而b值的作用，僅是提高或降低y的取值，且升降幅度是固定的。所以可以說，直線y=kx+b，是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到。通過直角坐標(biāo)系，還能看到，當(dāng)b>0時(shí)，向上平移;當(dāng)b<0時(shí)，向下平移，由此使學(xué)生對數(shù)式中每一個(gè)量都能清楚地了解，知道具體含義后，通過練習(xí)，加深理解?？梢?，“以形助數(shù)”的應(yīng)用方式，在函數(shù)學(xué)習(xí)中能夠起到事半功倍的效果。

四、在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考

教師除了在教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想外，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思維主動運(yùn)用到解題過程中，使學(xué)生產(chǎn)生思考，從而起到更深層次的作用。

例如，在面積計(jì)算問題中，不規(guī)則圖形或者邊長等必要條件隱藏在題目中時(shí)，通過數(shù)形結(jié)合的方式，先分析圖形計(jì)算需要的公式，找準(zhǔn)切入點(diǎn)之后，適當(dāng)連接輔助線或者通過不同圖形相同面積計(jì)算方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終得出正確答案。

將數(shù)形結(jié)合思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，有利于學(xué)生將知識點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜或難以理解的問題清晰呈現(xiàn)解題思路，通過知識內(nèi)在規(guī)律，激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)拓展思考角度，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成全面看待問題，多方論證觀點(diǎn)的科學(xué)思考方式，無論是對現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)成績要求還是人生近階段的綜合能力考查都是至關(guān)重要的。

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