幫你闖關“輔助線”（十二）

張鑫

旋轉是指在平面內，將一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度，其作用主要是轉移等量. 平面幾何輔助線中，旋轉往往可以由“補形”的方法獲得，因此旋轉可以由作全等替代，但二者的不同之處在于旋轉可以帶來除圖形內部角相等外的其他角的數(shù)量關系.

例1 如圖1，小方格都是邊長為1 的正方形. 求以格點為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積.

分析：將不規(guī)則圖形割補成規(guī)則圖形，觀察題給圖形可以發(fā)現(xiàn)“互補”的部分. 整體上看，左右兩部分“葉狀”陰影圖案是軸對稱關系;局部看來，單獨的“葉狀”陰影圖案具有部分中心對稱的關系，由此奠定了割補的方向.

解：如圖1，連接AB，則陰影①可以繞點C旋轉180°到②的位置，從而在圖中左側形成一個半徑是2的90°弓形，由此可得陰影面積 = 2（S扇形AOB - S△AOB） = 2

-

×2×2 = 2π - 4.

點評：通過旋轉拼接出規(guī)則圖形是解決本題的關鍵.

例2 如圖2，△ABC中，AC = 4，BC = 6，求中線CD的取值范圍.

分析：題目求線段長度的取值范圍，容易聯(lián)想到三角形三邊關系定理，故可以考慮通過等量位移將分散的條件集中起來. 中點D將線段AB平分，提供了180°旋轉的先決條件.

解：∵CD是中線，

∴如圖2，將△CDB繞點C旋轉180°后，點B與點A重合，DE = DC，∠CDE = 180°，

則△ADE≌△BDC，∴AE = BC = 6.

在△ACE中，AE - AC < CE < AE + AC，

即6 - 4 < 2CD < 6 + 4，∴1 < CD < 5.

點評：通過旋轉將分散的條件等量位移后集中起來是解決本題的關鍵. 本題也可以通過延長CD至點E，使DE = DC來獲解.

例3 如圖3，在四邊形ABCD中，AB = AD，BC = 2，CD = 5，∠BAD = 60°，∠ABC + ∠ADC = 180°. 求AC的長.

分析：題給條件“AB = AD，∠ABC + ∠ADC = 180°”奠定了將△ABC繞點A旋轉后與△ACD“合璧”為一個規(guī)則圖形的基礎. 其中的“AB = AD”確保了拼接后兩條邊能重合，“∠ABC + ∠ADC = 180°”確保了拼接后C，D，E三點能共線.

解：如圖3，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得△ADE，

由旋轉可知△ABC≌△ADE，∴∠B = ∠ADE.

∵∠B + ∠ADC = 180°，∴∠ADE + ∠ADC = 180°，

∴C，D，E三點在同一直線上.

又∵∠CAE = ∠CAD + ∠DAE = ∠CAD + ∠BAC = 60°，且AC = AE，

∴△ACE是等邊三角形，∴AC = CE = CD + DE = CD + BC = 5 + 2 = 7.

點評：通過旋轉實現(xiàn)不規(guī)則圖形向規(guī)則圖形的等面積變換是解決本題的關鍵.

例4 如圖4，△ABC是等邊三角形，AB=，點D是邊BC上一點，點H是線段AD上一點，連接BH，CH，當∠BHD=60°，∠AHC=90°時，求DH的長.

分析：題目求長度，雖然只給了一個已知長度，但可以通過等邊三角形的性質得到另外兩邊的長度. 題給的直角無法直接應用，故想到借助60°角進行旋轉構造新的等邊三角形，從而得到特殊的直角三角形.

解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC = 60°，AC = AB = .

如圖4，將△ABH繞點B順時針旋轉60°得到△CBE，連接EH，

則∠EBH = 60°，BE = BH，CE = AH，

∴△BEH是等邊三角形，∴BE = EH，∠BHE = ∠BEH = 60° = ∠BHD，

∴點A，H，D，E在一條直線上，

∴∠BEC = ∠BHA = 180° - ∠BHE = 120°，則∠CEH = ∠BEC - ∠BEH = 60°.

∵∠AHC = 90°，∴∠EHC = 90°，∴∠HCE = 180° - ∠EHC - ∠HEC = 30°，

∴AH = CE = 2EH，CH = EH.

在Rt△AHC中，AH2 + CH2 = AC2，即（2EH）2 + （EH）2 = （）2，

∴EH = 1，CH = .

過點B作BF⊥DE于點F，則BF = BE =? = CH，HF = BH = .

∵∠BFD = 90° = ∠CHD，∠BDF = ∠CDH，∴△BDF∽△CDH，∴ =? = ，

∴DH = 2DF = HF =? ×? = .

點評：通過旋轉將具有特定數(shù)量關系的邊和角集中在特殊三角形中，從而為解直角三角形創(chuàng)造條件是解決本題的關鍵. 本題也可以通過延長AD至點E，使HE = HB來求解.