劉宇暄
高中解析幾何中,離不開二次曲線系,靈活用好二次曲線系,可以一定程度上減小計(jì)算,同時(shí)直接獲得相關(guān)表達(dá)式,在一定程度上了解二次曲線系是非常有好處的。
一、知識(shí)介紹
1、二次曲線一般形式為 ( 不同時(shí)為0)。
2、圓( 相等, 為0)、橢圓、拋物線、兩相交直線,兩平行直線(因式分解得)、一條直線(直線一般式平方)等皆可以用上述式子表示。
3、過二次曲線 和 交點(diǎn)的二次曲線系,記為 。
二、問題研究
分析:當(dāng)直線與另兩條解析式已知的直線交于點(diǎn)時(shí),雙直線的應(yīng)用可以快速找到兩點(diǎn)間存在的關(guān)系。
4.(2015湖北)一種畫橢圓的工具如圖1所示, 是滑槽 的中點(diǎn),短桿 可繞 轉(zhuǎn)動(dòng),長桿 通過 處鉸鏈與 連接, 上的栓子 可沿滑槽 滑動(dòng),且 當(dāng)栓子 在滑槽 內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng) 繞 轉(zhuǎn)動(dòng), 處的筆尖畫出的橢圓記為 ,以 為原點(diǎn), 所在的直線為 軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系。
(Ⅰ)求橢圓 的方程
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線 與兩定直線 和 分別交于 兩點(diǎn),若直線 總與橢圓 有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究: 的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由。
評(píng)析:當(dāng)兩條直線與同一直線交于兩點(diǎn)時(shí),雙曲線系可以避免求出點(diǎn)坐標(biāo)具體值,在一次方程情況下將兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合到一起,利用根公式直接寫出長度,簡化運(yùn)算。
結(jié)語:在學(xué)習(xí)雙曲線系和運(yùn)用雙曲線系解決問題時(shí),會(huì)經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、運(yùn)算求解、演繹證明等思維過程,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅限于接受記憶模仿練習(xí),對(duì)一些問題的深入研究在培養(yǎng)我們靈活應(yīng)用知識(shí)能力,熟練掌握方法技巧,提高數(shù)學(xué)思維能力是非常有益的。
參考文獻(xiàn):
[1]過兩交點(diǎn)的二次曲線系在解題中的應(yīng)用 ?彭世金 ?415003