基于分數(shù)階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷

溫鵬輝

摘要：分數(shù)階傅里葉變換作為傅里葉變換的擴展，它在傅里葉變換的基礎(chǔ)上增加了一個新的優(yōu)點，它在診斷滾動軸承故障時，可以使不穩(wěn)定的軸承故障信號的時頻特性更好的展示出來。再通過分析故障信號的時頻特性，從而得出滾動軸承故障是外圈故障、內(nèi)圈故障還是滾動體故障，并分析其故障程度。

Abstract： As an extension of the Fourier transform， the fractional Fourier transform adds a new advantage to the Fourier transform in diagnosing rolling bearing faults， the time-frequency characteristic of the unstable bearing fault signal can be displayed better. By analyzing the time-frequency characteristics of the fault signal， it can find out whether the rolling bearing fault is the outer ring fault， the Inner Ring Fault or the rolling element fault， and analyze the fault degree.

關(guān)鍵詞：分數(shù)階傅里葉變換;滾動軸承;故障診斷

Key words： fractional Fourier transform;rolling bearing;fault diagnosis

0? 引言

滾動軸承作為現(xiàn)代機械設(shè)備必不可少的機械零件之一，滾動軸承一旦出現(xiàn)故障，就會導(dǎo)致機械設(shè)備的運行發(fā)生錯誤，從而造成損失，所以我們就要對滾動軸承進行實時的檢測和診斷。如何進行診斷，國內(nèi)外進行了許多研究。從20世紀60年代開始，以美國為首的國家就已經(jīng)開始對滾動軸承的故障開始了研究，我國后來也加入到滾動軸承的故障研究的隊伍中來。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，到現(xiàn)在，已經(jīng)有人研究開發(fā)了基于計算機的滾動軸承故障診斷系統(tǒng)，實現(xiàn)了滾動軸承故障診斷的智能化和自動化，擺脫了人為因素的干擾。

滾動軸承故障診斷方法一般可以分為以下幾種：溫度診斷法、油樣分析法、聲學(xué)診斷法、振動檢測法、接觸電阻法等。這些方法中，最為人們廣泛接受的是振動檢測法，因為其診斷結(jié)果相較于其它方法更準確。

1980年，V.Namias從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分數(shù)階傅立葉變換的概念，定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分數(shù)冪形式。它是一種在時頻域內(nèi)研究振動信號的新方法。近年來，分數(shù)階傅里葉變換已經(jīng)成功應(yīng)用在一些機械設(shè)備的故障診斷中，例如異步電動機的故障診斷。

1? 分數(shù)階傅里葉變換

1.1 分數(shù)階傅里葉變換的定義

一般情況下，信號函數(shù)X（t）的p階分數(shù)傅里葉變換可以表示為Xp（t）或Fpx（t），其定義為：

其中傅里葉變換的核函數(shù)Kα（u，t），如式（2）所示：

式中：α是旋轉(zhuǎn)角度，與階數(shù)p有以下關(guān)系：α=pπ/2。p的取值在0到1之間，當α=0（即p=0）時，此時信號對應(yīng)初始信號，當α=π/2（即p=1）時，此時信號對應(yīng)經(jīng)典階傅里葉變換。隨著p值從0到1的變化，分數(shù)階傅里葉變換就把初始信號變成了經(jīng)典的傅里葉變換，這樣一來，分數(shù)階傅里葉變換就能給出初始信號從時域到頻域的所有特性。

1.2 分數(shù)階傅里葉變換的物理意義

對于分數(shù)階傅里葉變換的物理意義，Almeida在1993年提出：分數(shù)階傅里葉變換是在時間—頻域平面的旋轉(zhuǎn)，由時頻分析的一種信號分析方法。

滾動軸承的振動信號是一種有限長的線性調(diào)頻信號，是一種典型的非平穩(wěn)信號，在時頻平面上的時寬和帶寬都很大，不適合用處理平穩(wěn)信號的傅里葉變換來檢測。線性調(diào)頻信號在時間—頻率平面上是背鰭狀的直線，將時間軸和頻率軸旋轉(zhuǎn)α角后，得到u-Xp（u）的坐標系，這樣就讓線性調(diào)頻信號在Xp（u）軸上的投影凝聚成為一個點，如圖1所示。

1.3 分數(shù)階傅里葉變換的時頻特性

要想用分數(shù)階傅里葉變換來檢測軸承故障，就要知道初始振動信號經(jīng)過分數(shù)階傅里葉變換的信號的時頻特性，這就要從時頻分析出發(fā)，研究分數(shù)階傅里葉變換與傅里葉變換、短時傅里葉變換的關(guān)系，就能進一步得知分數(shù)階傅里葉變換的時頻特性。

傅里葉變換是把初始信號從復(fù)雜的時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號，得到信號的頻域信息。設(shè)X（ω）是x（t）的傅里葉變換，有■。相較于傅里葉變換，分數(shù)階傅里葉變換既有傅里葉變換的性質(zhì)，又因為其存在階數(shù)，還有其特有的性質(zhì)，其中一個重要的特點是分數(shù)階傅里葉變換具有線性疊加性。這表示在檢測多分量線性調(diào)頻信號時，不會產(chǎn)生交叉干擾。

所謂短時傅里葉變換，就是在初始信號的基礎(chǔ)上加上窗函數(shù)，截取初始信號中每一段固定的信號，再進行傅里葉變換，從而分析窗內(nèi)信號的特性。有研究表明分數(shù)階傅里葉變換的短時傅里葉變換與初始信號的短時傅里葉變換相同，這表明分數(shù)階傅里葉變換的短時傅里葉變換是由旋轉(zhuǎn)角度α后坐標軸所表示的短時傅里葉變換，其變換關(guān)系如下：

2? 線性調(diào)頻信號

2.1 線性調(diào)頻信號的表示

2.2 基于分數(shù)階傅里葉變換的線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計

由上述可知，分數(shù)階傅里葉變換在檢測線性調(diào)頻信號時，不會產(chǎn)生交叉干擾。由上式可知線性調(diào)頻信號有四個主要參數(shù)，分別是信號幅值A(chǔ)、信號相位φ、初始頻率f0以及調(diào)頻斜率k。其中初始頻率f0以及調(diào)頻斜率k能全面地反映出信號的變化規(guī)律，所以在參數(shù)估計時要重點關(guān)注它們。

由線性調(diào)頻信號的在分數(shù)階傅里葉變換域頻譜的峰值坐標（α，mmax），可得：

3? 基于分數(shù)階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷

根據(jù)上文所述，可以用分數(shù)階傅里葉變換來檢測發(fā)生故障時滾動軸承的振動信號，從而分析滾動軸承的故障所在和故障程度。本文采用美國西儲大學(xué)實驗室的滾動軸承數(shù)據(jù)，分析其時域和分數(shù)階傅里葉變換的波形，從而驗證基于分數(shù)階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷的方法是否有效。

3.1 初始數(shù)據(jù)的時域與傅里葉變換

本文選用滾動軸承直徑為0.014inch的故障數(shù)據(jù)，進行傅里葉變換，用MATLAB軟件得出其時域與傅里葉變換頻譜波形如圖2-圖4所示。

根據(jù)傅里葉變換頻譜圖，我們可以看出軸承發(fā)生了故障，但不能看出其故障程度，且由于滾動軸承發(fā)生小故障時產(chǎn)生的噪聲與故障信號頻譜辨別不清，這不利于我們提取滾動軸承的故障信號。同時噪聲也會對檢測故障信號中的線性調(diào)頻信號產(chǎn)生干擾。

3.2 分數(shù)階傅里葉變換頻譜分析

選階數(shù)p=1，對初始信號進行分數(shù)階傅里葉變換，得到分數(shù)階傅里葉變換頻譜圖，如圖5-圖7所示。

從圖中我們可以看出：相較于傅里葉變換，分數(shù)階傅里葉變換使得故障信號的故障頻率峰值變得更加清晰，比傅里葉變換的精度更高。

4? 結(jié)語

本文對基于分數(shù)階傅里葉變換的滾動軸承故障診斷進行了研究，解析了分數(shù)階傅里葉變換的定義，剖析了滾動軸承故障信號中的線性調(diào)頻信號，并給出了分析線性調(diào)頻信號的方法，成功地用分數(shù)階傅里葉變換對各種故障的信號進行分析。

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