林秀娟

《課標(biāo)（2017）》中指出：數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容.教師要注重結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透到課堂中，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)及思想方法.教師要不惜時(shí)、不惜力讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，揭示問題的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而培育學(xué)生的科學(xué)精神、創(chuàng)新意識和提高數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

2019年11月28日是我校市級開放周，我選的課題是數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念，但當(dāng)我站在學(xué)生角度看這節(jié)課心里產(chǎn)生了疑惑：為什么要引入虛數(shù)單位i？i2=-1是怎么來的？復(fù)數(shù)有什么用？帶著這些疑惑，我去查閱數(shù)學(xué)資料，終于撥開云霧，理清來龍去脈.

1.教學(xué)過程

1.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師：數(shù)學(xué)研究是從生活、生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的.遠(yuǎn)古時(shí)期，人們在捕魚、采集果實(shí)等勞動中，由于計(jì)數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N.在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中課本有這樣一句話：數(shù)怎么不夠用了？數(shù)系擴(kuò)充的發(fā)展歷程是什么呢？

生：自然數(shù)系→整數(shù)系→有理數(shù)系→實(shí)數(shù)系

師：這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念（板書課題）.

師：數(shù)系的每一次擴(kuò)充都與實(shí)際需求密切相關(guān)，每次擴(kuò)充的主要原因是什么呢？（已布置全班同學(xué)課前查閱資料）

生：從自然數(shù)系到整數(shù)系的擴(kuò)充中引入了負(fù)數(shù)和零.因?yàn)樵谟涃~時(shí)有余有虧，在計(jì)算糧倉存米時(shí)有正有負(fù).

生：我國數(shù)學(xué)家劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義和有關(guān)運(yùn)算法則，他說：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之.”

師：說的太好了！

生：從整數(shù)到有理數(shù)的擴(kuò)充中引入并使用了分?jǐn)?shù)，是由于測量和均分的需要.

師：對.

生：為了解決像x2=2這樣的方程沒有有理數(shù)解，以及像形邊長為1的正方形的對角線的度量等問題，人們引入了無理數(shù)，從而把有理數(shù)系擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)系.

師：回答的太棒了！

設(shè)計(jì)意圖：布置學(xué)生課前自主查閱從自然數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的資料.注重知識的系統(tǒng)與遷移，為學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)鋪設(shè)路徑.

1.2問題引領(lǐng)，逐步探究

教師：1545年，意大利學(xué)者卡爾丹在其所著的《重要的藝術(shù)》中列出了一道令人困惑的問題，問題是“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40.這兩部分分別是多少？”[1]

生：解：設(shè)這兩部分分別為x，y則有

即無解.

師：卡爾丹求得根為和，卡爾丹成了數(shù)學(xué)史上第一個寫下負(fù)數(shù)平方根的人.

教師：還是在《重要的藝術(shù)》中，卡爾丹也向世人公開了形如一元三次方程的其中一個求根公式：.但在運(yùn)用這個公式時(shí)也遇到了負(fù)數(shù)開平方的問題.

設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置歷史經(jīng)典問題，開啟本節(jié)課探索的出發(fā)點(diǎn)和動力，引導(dǎo)學(xué)生正視在求解一元二次方程的根中負(fù)數(shù)開平方的根的存在，形成認(rèn)知沖突.

師：同時(shí)期的數(shù)學(xué)家邦貝利注意到了三次方程里出現(xiàn)的負(fù)數(shù)的平方根問題.他解出三次方程x3+15x+4的根分別為，那么代入卡爾丹公式會是什么情形呢？代入公式有，它是前面涉及的三個實(shí)數(shù)根中的哪一個呢？

生：都不是.是不是公式錯了？

師：邦貝利也是這樣懷疑的，他反復(fù)檢查公式，發(fā)現(xiàn)公式的每一步都是正確的.問這個公式可以繼續(xù)化簡嗎？帶著這些疑惑，邦貝利發(fā)現(xiàn)既然與只相差一個符號，那么它們的三次方根是什么關(guān)系呢？

生：也只相差一個符號.

師：他用待定系數(shù)法令

，由此解出a=2，b=1，故解決了三次方程不可約的情況，也說明負(fù)數(shù)是可以開平方的.

師：直到17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)的很多數(shù)學(xué)家還認(rèn)為負(fù)數(shù)是沒有平方根的，笛卡爾也認(rèn)為它是虛幻的，創(chuàng)立了虛數(shù)“imaginary”和實(shí)數(shù)相對.

師：1777年歐拉首次引用虛數(shù)“imaginary”的首字母i定義，也就是i2=-1.把這個新數(shù)i添加到實(shí)數(shù)集中去，得到一個新數(shù)集，那么方程在新數(shù)集中就有解了.回到和這兩個根可以記作什么了呢？

生：i和i.

設(shè)計(jì)意圖：虛數(shù)單位i的產(chǎn)生先有卡爾丹等人發(fā)現(xiàn)三次方程的解中負(fù)數(shù)平方根的存在，后有邦貝利等人對負(fù)數(shù)平方根的思考和解釋.不僅讓學(xué)生掌握i2=-1，而且讓學(xué)生在知識教學(xué)過程中，學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會提出問題和解決問題.

教師：在新數(shù)集中要怎么進(jìn)行運(yùn)算呢？回顧把有理數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系后，在實(shí)數(shù)系中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算與原來在有理數(shù)系中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算是否協(xié)調(diào)一致？

生：原有的一些基本關(guān)系和運(yùn)算在新數(shù)集里仍然適用.

師：依照這種思想，把實(shí)數(shù)a與新引入的數(shù)i相加，結(jié)果記作a+i，把實(shí)數(shù)b與i相乘的結(jié)果記作bi，把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b與i相乘的結(jié)果相加，結(jié)果記作a+bi.

教師：把剛才所寫出來的數(shù)都包含在內(nèi)了嗎？

學(xué)生：包含了..

師：很好！這些數(shù)都由兩個部分復(fù)合而成，一部分是實(shí)數(shù)，另一部分是實(shí)數(shù)與i的乘積，所以我們可以給它取一個名字---復(fù)數(shù).

師：我們把集合中的數(shù)，即形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集.

師：實(shí)數(shù)表示中也是有單位的，這個單位是？

生：1.

師：學(xué)習(xí)向量，也是有單位向量.同樣為了引入虛數(shù)，也需要引入虛數(shù)單位.

師：從16世紀(jì)卡爾丹和邦貝利開始研究虛數(shù)，到19世紀(jì)隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已經(jīng)不斷擴(kuò)大而發(fā)展成龐大的一門學(xué)科.它不但與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切聯(lián)系，而且在力學(xué)、電學(xué)及其它學(xué)科中都有廣泛應(yīng)用，推動各個領(lǐng)域的進(jìn)步和發(fā)展.

1.3例題講解、鞏固練習(xí)

師：既然復(fù)數(shù)有這么多用處，接下來讓我們更進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù).

師：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對于復(fù)數(shù)，a，b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部.

（板書：復(fù)數(shù)定義與表示）

例1寫出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.

（請學(xué)生回答）

師：這些數(shù)中有兩個數(shù)是大家非常熟悉的，是哪兩個？

生：.

師：這些虛數(shù)中也有兩個非常特殊，是？

生：.

師：請大家思考下復(fù)數(shù)可以分為哪幾類呢？

生：第一類虛部b=0，此時(shí)它是實(shí)數(shù).

第二類虛部b≠0，叫做虛數(shù).這里又分為實(shí)部a=0且b≠0，叫做純虛數(shù).

師：很好！

師生共同總結(jié)：復(fù)數(shù)可以分類如下：

顯然：實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析例題中的關(guān)鍵信息，揭示復(fù)數(shù)分類，從而深化對復(fù)數(shù)概念的理解.

例2實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù);（4）z=0.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在解決問題的過程中鞏固復(fù)數(shù)有關(guān)概念，教會學(xué)生如何分析題意，提升數(shù)學(xué)思維能力.

師：受到這道例題啟發(fā).對于復(fù)數(shù)你認(rèn)為在什么情況下相等？

學(xué)生11：

例3判斷下列命題的真假：

（1）若a=0，則為純虛數(shù).

（2）若為純虛數(shù)，則a=0.

結(jié)論：a=0是為純虛數(shù)的條件呢？

1.4歸納小結(jié)，延伸課堂

教師：也許有同學(xué)會問，復(fù)數(shù)系夠用了嗎？還要不要對數(shù)系再擴(kuò)充呢？

師：目前的確有一些數(shù)學(xué)家正在研究這個問題，比如，有人提出了建立超復(fù)數(shù)系的想法.隨著學(xué)習(xí)與研究的深入，也許哪一天你們也會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)矛盾，那么受這節(jié)課的啟發(fā)，只要遵循數(shù)系擴(kuò)充的基本原則，相信到那時(shí)候你們自己也能試著對數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充.

教師：這節(jié)課你有什么收獲？你還有什么疑惑？

眾生：略.

2滲透數(shù)學(xué)文化培育理性思維

教師教學(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，張奠宙教授曾經(jīng)提出：“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂.”數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)概念，思想的起源與發(fā)展的歷史，是數(shù)學(xué)文化的一部分，數(shù)學(xué)文化又是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個有機(jī)組成部分.本節(jié)課教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生在歷史問題的引領(lǐng)下，積極思考，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

章建躍先生認(rèn)為：“從數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).”[2]課堂教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要方式，數(shù)學(xué)文化可以幫助學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想的本質(zhì).課堂上選取合適的問題并進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，不僅有利于夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，更能通過數(shù)學(xué)文化的滲透，提升學(xué)生的問題解決能力和思維能力。

數(shù)學(xué)課堂源于數(shù)學(xué)文化而高于數(shù)學(xué)文化，本節(jié)課讓學(xué)生領(lǐng)會為什么要引入虛數(shù)單位i？數(shù)學(xué)家們?nèi)绾螌?shù)系進(jìn)行擴(kuò)充？的概念建構(gòu)過程，進(jìn)而問學(xué)生復(fù)數(shù)系夠用了嗎？還要不要再擴(kuò)充？再啟迪學(xué)生只要遵循數(shù)系擴(kuò)充的基本原則，有一天他們也可以試著對數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充的課堂教學(xué)不僅可以培養(yǎng)學(xué)生遷移能力，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界能力，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]王奇.數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（8）：20-22.

[2]章建躍.把數(shù)學(xué)教好是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（5）：65-65.