郭玉峰 黃彩英

摘? 要：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)在教學(xué)實(shí)踐落實(shí)時(shí)需要關(guān)注如下幾個(gè)關(guān)鍵問題：理解為什么提出及如何理解數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo);關(guān)注教學(xué)中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)及其相互聯(lián)系的理解;關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成. 文章通過具體數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的課例進(jìn)一步說明數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生邏輯連貫的數(shù)學(xué)思維方式的養(yǎng)成.

關(guān)鍵詞：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);關(guān)鍵問題;課例研究.

“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”在近十年中國(guó)數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐領(lǐng)域是一個(gè)熱門話題.“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）經(jīng)過多年來的發(fā)展，其內(nèi)涵、教學(xué)實(shí)踐等逐漸明晰并形成中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色，而作為“四基”之一的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)的理論研究和實(shí)踐落實(shí)尚需進(jìn)一步完善. 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在國(guó)內(nèi)首次提出是在20世紀(jì)80年代，在曹才翰先生的《數(shù)學(xué)教育學(xué)概論》一書中，但并沒有引起關(guān)注，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為課程目標(biāo)之一出臺(tái)后，才引發(fā)學(xué)者及一線教師的廣泛關(guān)注. 然而，從教學(xué)實(shí)踐來看，這一課程目標(biāo)在具體落實(shí)時(shí)還存在一些認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)和教學(xué)實(shí)踐中的困擾. 為此，我們提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)落實(shí)需要關(guān)注的幾個(gè)關(guān)鍵問題，并針對(duì)日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的課例進(jìn)行說明.

一、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)落實(shí)需關(guān)注的幾個(gè)關(guān)鍵問題

課程目標(biāo)不同于每節(jié)課的具體教學(xué)目標(biāo)，它提供了教學(xué)的方向，是一段時(shí)間課程實(shí)施后的結(jié)果. 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)的實(shí)施具有連續(xù)性和階段性的特點(diǎn)，需要從整體上理解這一課程目標(biāo).

1. 需要理解為什么、是什么

為什么提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)？初衷是我國(guó)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力相對(duì)較弱，尤其缺乏一定的設(shè)計(jì)和規(guī)劃能力. 針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，希望學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中體驗(yàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)、規(guī)劃、組織、操作和實(shí)施、反思等過程，長(zhǎng)期積淀后形成數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn). 此外，在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中，學(xué)生需要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及未來發(fā)展奠定數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，即學(xué)生需要積淀數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn). 這兩點(diǎn)都是面向?qū)W生的未來創(chuàng)新，在一定程度上彌補(bǔ)“雙基”所不能涵蓋的部分.

什么是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？上面一段實(shí)際已經(jīng)說明了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的兩個(gè)主要方面：數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn). 從大的方面講，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)、規(guī)劃、操作等過程中積累的經(jīng)驗(yàn). 例如，測(cè)量某交通路口的車流量或者交通信號(hào)燈設(shè)置的合理性，測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度，設(shè)計(jì)視力表，設(shè)計(jì)某容器中大量豆子數(shù)量的計(jì)數(shù)方法，實(shí)際測(cè)量操場(chǎng)周長(zhǎng)并歸納概括操場(chǎng)周長(zhǎng)的計(jì)算公式，等等. 這種實(shí)踐活動(dòng)每學(xué)期至少要開展一次，但限于課時(shí)等因素，次數(shù)也不宜過多，重在讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)的過程，體會(huì)和理解活動(dòng)的設(shè)計(jì)、規(guī)劃和操作等過程，理解活動(dòng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，奠定未來獨(dú)立進(jìn)行設(shè)計(jì)和規(guī)劃的能力. 數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)具體是指，學(xué)生長(zhǎng)期經(jīng)歷數(shù)學(xué)的歸納推理和演繹推理過程后積淀形成的思考問題的方式，包括從特殊問題入手，借助數(shù)字演算等尋求結(jié)果或探索規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出更一般性的結(jié)論等. 數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)重在幫助學(xué)生積淀發(fā)現(xiàn)和提出猜想、驗(yàn)證猜想的過程，奠定未來獨(dú)立提出假設(shè)和證明假設(shè)的能力.

2. 需要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)及其相互聯(lián)系

無論是數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，還是數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，都需要學(xué)生在經(jīng)歷較長(zhǎng)一段時(shí)間后積淀形成，這是數(shù)學(xué)過程性學(xué)習(xí)的結(jié)果. 然而，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積淀是以對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)及其聯(lián)系的理解和把握為前提的，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)及其聯(lián)系的理解是不可能形成真正的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的，兩者相輔相成. 當(dāng)然，不同年齡段學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解程度是不同的.

例如，函數(shù)的概念首次出現(xiàn)在初中，實(shí)際上，小學(xué)生就可以逐步積累對(duì)常量、變量，以及變量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí). 在小學(xué)學(xué)習(xí)“路程 = 速度 × 時(shí)間”“總價(jià) = 單價(jià) × 數(shù)量”這兩個(gè)關(guān)系時(shí)，學(xué)生開始學(xué)習(xí)速度的含義、速度的表達(dá)式，計(jì)算物品的單價(jià)等，在此過程中逐步認(rèn)識(shí)這兩個(gè)基本關(guān)系式，積累從具體逐步歸納得到一般關(guān)系式的數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn). 到了初中，借助這兩個(gè)基本關(guān)系式，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步抽象出這是一個(gè)變化過程中的兩個(gè)量，一個(gè)量變化時(shí)另一個(gè)量也隨之變化，進(jìn)而歸納得到了初中階段的函數(shù)定義. 到了高中，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步從集合對(duì)應(yīng)的角度理解函數(shù)概念的本質(zhì)，使得函數(shù)定義更具一般性. 學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是隨著年級(jí)升高逐步加強(qiáng)的，在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的常量、變量、變量之間的關(guān)系，以及初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)概念變量說的基礎(chǔ)上，逐步建立高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)概念的抽象定義. 與此同時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了歸納推理和演繹推理的過程，形成從具體到抽象的思考問題的方式，積淀形成數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

又如，度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，度量單位是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容. 一維、二維、三維空間的度量分別涉及長(zhǎng)度、面積和體積，此外還有角度、時(shí)間、質(zhì)量等的度量. 小學(xué)生開始學(xué)習(xí)長(zhǎng)度度量時(shí)，需要感悟不同的度量單位給出的不同的度量標(biāo)準(zhǔn)，如1米、1分米、1厘米等，在不同標(biāo)準(zhǔn)下通過計(jì)數(shù)得到相應(yīng)的度量值，這里的關(guān)鍵是確定度量單位. 同樣，面積、體積的度量也需要確定度量單位，角度、時(shí)間、質(zhì)量等的度量同樣需要確定度量單位. 在此過程中，學(xué)生逐步加深了對(duì)單位的含義的理解，感悟確定度量單位即確定了度量的標(biāo)準(zhǔn)，度量是在確定的標(biāo)準(zhǔn)下對(duì)度量單位進(jìn)行計(jì)數(shù)，進(jìn)而獲得對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解. 至于小學(xué)數(shù)學(xué)的加減、乘除運(yùn)算，學(xué)生進(jìn)一步感悟這些運(yùn)算實(shí)際是新的度量單位的產(chǎn)生（如小數(shù)乘以小數(shù)），以及度量單位個(gè)數(shù)的變換（累加或遞減）. 學(xué)生在借助實(shí)物操作、畫圖、幾何直觀模型等學(xué)習(xí)過程中積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)及其聯(lián)系.

3. 需要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成

數(shù)學(xué)思維是從量變到質(zhì)變，在潛移默化中逐漸形成的. 學(xué)生只有具有了高思維含量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，才能建立起正確的數(shù)學(xué)思維方式. 具體表現(xiàn)為從具體到抽象、從特殊到一般，以及舉一反三、觸類旁通地想問題.

小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具體、形象，需要在已有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷實(shí)物操作、動(dòng)手實(shí)踐、比較概括、抽象等過程，逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)推理. 小學(xué)高年級(jí)學(xué)生在大部分情況下可以擺脫實(shí)物的依托，借助具體形象幫助思維，逐步過渡到形象邏輯思維. 到了中學(xué)，則需要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的抽象性，提高數(shù)學(xué)推理的邏輯性，由形象邏輯思維逐步過渡到抽象邏輯思維. 中小學(xué)生的日常數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)，往往是在動(dòng)手實(shí)踐、具體操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累出的一定的感性經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步通過觀察、比較、分類、抽象、概括、一般化等提出數(shù)學(xué)猜想，通過演繹推理等證明猜想，在此過程中積累數(shù)學(xué)理性思考的經(jīng)驗(yàn). 學(xué)生主要是在經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理的過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，從最簡(jiǎn)單的問題開始，在嘗試中探究摸索規(guī)律，提出可能的猜想，進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)并加以驗(yàn)證或證明. 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)的落實(shí)，是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，積淀形成正確的數(shù)學(xué)思維方式.

二、從一個(gè)具體數(shù)學(xué)課堂教學(xué)課例看數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的落實(shí)

目前一線教學(xué)實(shí)踐中的很多現(xiàn)象表明，多數(shù)教師并不能有意識(shí)地幫助學(xué)生建立有效的數(shù)學(xué)思維方式，即從最簡(jiǎn)單的問題入手，逐步地、循序漸進(jìn)地摸索規(guī)律和結(jié)論. 很多時(shí)候，教師能夠很好地貫徹基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)，在教學(xué)中多次應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、歸納、類比等數(shù)學(xué)方法，能夠體現(xiàn)從特殊到一般、一般到特殊的教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容的習(xí)題配備充分，對(duì)學(xué)生的抽象邏輯推理能力要求較高. 但積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要方面，如從最簡(jiǎn)單的問題入手、特例嘗試、摸索規(guī)律，并沒有成為教師教學(xué)中有意識(shí)的行為.

下面以一節(jié)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）八年級(jí)下冊(cè)中的“一次函數(shù)的概念和圖象”的教學(xué)片斷為例，分析數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)在日常教學(xué)中如何落實(shí).

1.“一次函數(shù)的概念”教學(xué)片斷

執(zhí)教教師首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧已學(xué)的正比例函數(shù)，學(xué)生能回憶起的內(nèi)容包括正比例函數(shù)的表達(dá)形式y(tǒng) = kx、圖象、性質(zhì)、取值范圍等. 然后教師總結(jié)：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了什么是正比例函數(shù)，正比例函數(shù)的定義和圖象，通過圖象研究了正比例函數(shù)的一些性質(zhì). 那么，什么是一次函數(shù)呢？”由此，引出一次函數(shù)的概念. 教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從多項(xiàng)式的角度分析一次函數(shù)，并類比正比例函數(shù)，從形式上分析兩者之間的不同.

以下是教師和學(xué)生的問答過程.

師：從形式上看，一次函數(shù)y = kx + b（k ≠ 0）與學(xué)過的正比例函數(shù)y = kx（k ≠ 0）有什么不同？b能不能取0？

生1：b可以取0.

師：解析式中只要求k不為0，b可以為0. 如果b為0，解析式就變成了什么形式？

生2：當(dāng)b = 0時(shí)，解析式就變成y = kx（k ≠ 0），它是正比例函數(shù).

師：由此發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)和正比例函數(shù)之間是什么關(guān)系？

生3：一次函數(shù)包含正比例函數(shù).

師：或者說，這個(gè)正比例函數(shù)是什么？

生3：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

師：當(dāng)b = 0時(shí)，y = kx（k ≠ 0）是特殊的一次函數(shù)，要注意兩者之間的關(guān)系.

2.“一次函數(shù)的圖象”教學(xué)片斷

一次函數(shù)的圖象的教學(xué)也是從正比例函數(shù)圖象入手. 首先，研究特殊的一次函數(shù)y = x + 1的圖象的畫法. 根據(jù)正比例函數(shù)y = x的圖象是一條直線，可得平移后得到的一次函數(shù)圖象仍是直線. 因此，可以借助兩點(diǎn)法畫出y = x + 1的圖象. 或者，根據(jù)畫函數(shù)圖象的常用方法——描點(diǎn)法，畫出y = x + 1的圖象. 進(jìn)一步地，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)出一次函數(shù)y = kx + b（k ≠ 0）的圖象可以看作由直線y = kx（k ≠ 0）如何平移得到，引發(fā)學(xué)生討論當(dāng)b > 0，b = 0，b < 0時(shí)的不同情況. 同時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)了如何用兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖象.

以下是具體教學(xué)過程節(jié)選.

師：正比例函數(shù)圖象是直線，因?yàn)槠揭撇桓淖冃螤?，所以平移后得到的一次函?shù)圖象還是直線. 今后可以直接說，一次函數(shù)的圖象是直線y = kx + 1（k ≠ 0）. 剛才說到用兩點(diǎn)法畫圖，那么最好選擇什么樣的兩個(gè)點(diǎn)？

生1：好計(jì)算的點(diǎn).

師：太棒了！好算的、簡(jiǎn)便的，我們始終要有這樣一種想法. 但是什么樣的點(diǎn)是好算的？我們看直線上哪些點(diǎn)比較好找？

生2：0比較好找.

師：直線y = kx + b（k ≠ 0）有什么特征，它上面有哪些點(diǎn)？

生3：有一個(gè)橫坐標(biāo)為0、縱坐標(biāo)為b的點(diǎn).

師：還有什么點(diǎn)？（停頓一下）[0，b]是直線與y軸的交點(diǎn)，那么直線與x軸的交點(diǎn)是什么？

生4：直線與x軸的交點(diǎn)是[-b/k，0].

師：如果橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為多少？

生5：k + b.

師：那么[0，b]，[-b/k，0]，[1，k+b]這三個(gè)點(diǎn)中，用哪個(gè)點(diǎn)計(jì)算比較方便？

生6：一般來說，[0，b]這個(gè)點(diǎn)比較方便計(jì)算，另外兩個(gè)點(diǎn)中，可能用[1，k+b]來計(jì)算比較簡(jiǎn)單，也有可能用[-b/k，0]來計(jì)算比較簡(jiǎn)單，要根據(jù)具體的一次函數(shù)表達(dá)式而定.

師：我們只要找到直線上的兩個(gè)點(diǎn)就能畫出圖象. 當(dāng)然，不找這兩個(gè)點(diǎn)，找其他點(diǎn)也可以畫出該直線的圖象. 下面我們來畫函數(shù)圖象.

3. 從上面的教學(xué)片斷看教學(xué)中如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考

對(duì)于一次函數(shù)概念的引入，教材的設(shè)計(jì)體現(xiàn)在如下兩點(diǎn). 第一，教材先安排了變量與函數(shù)的內(nèi)容，包括概念、圖象和性質(zhì)等，然后是一次函數(shù)內(nèi)容，同樣包括概念、圖象和性質(zhì)等，體現(xiàn)從一般到特殊的設(shè)計(jì). 第二，教材先介紹正比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，然后介紹一次函數(shù). 概念的引入都是先有具體問題情境，從中提煉、抽象、概括出共性，進(jìn)一步得出概念，體現(xiàn)從特殊到一般. 一次函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)安排在函數(shù)、正比例函數(shù)圖象之后.《標(biāo)準(zhǔn)》中先規(guī)定了函數(shù)內(nèi)容的目標(biāo)要求，然后是一次函數(shù). 各版本教材大多數(shù)先介紹函數(shù)，然后介紹一次函數(shù). 其中，在函數(shù)內(nèi)容中介紹函數(shù)圖象時(shí)，涉及了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象. 教材對(duì)此的處理是用描點(diǎn)法，給出一些特殊點(diǎn)，通過列表、描點(diǎn)、用光滑曲線連接得到函數(shù)圖象. 此部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，而不是如何畫圖象.

以上教材設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)施的困難和障礙主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面.

第一個(gè)難點(diǎn)是如何處理好一般與特殊的關(guān)系. 教材的設(shè)計(jì)遵循了從一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话愕脑O(shè)計(jì)意圖. 心理學(xué)研究表明，概念學(xué)習(xí)有兩種方式：一種是概念形成;一種是概念同化. 概念形成往往適用于抽象難懂的概念，學(xué)生需要充分經(jīng)歷概念的抽象過程;概念同化是直接揭示概念的關(guān)鍵屬性、給出定義和表示的學(xué)習(xí)方式. 一次函數(shù)作為函數(shù)的特殊情形，教材是按照從一般到特殊對(duì)其進(jìn)行編排的，是否只要按照概念同化的方式教學(xué)，學(xué)生就能自然理解這是一種特殊類型的函數(shù)呢？這里的關(guān)鍵是能否理解作為一般情形的函數(shù)概念和一次函數(shù)概念的區(qū)分和聯(lián)系.

第二個(gè)難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生感悟一次函數(shù)概念的核心——均勻變化. 一次函數(shù)作為正比例函數(shù)的一般情形，是對(duì)正比例函數(shù)認(rèn)識(shí)的加深. 從上面的課堂教學(xué)實(shí)例和一線教學(xué)實(shí)際來看，有些教師并沒有突出正比例函數(shù)概念的本質(zhì)和核心，即一個(gè)量的改變引起另一個(gè)量的改變，并且這個(gè)改變是均勻的. 學(xué)生學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，需要逐步理解和感悟的是：自變量的任意一個(gè)取值，對(duì)應(yīng)因變量的一個(gè)取值;自變量的改變值固定時(shí)，因變量的改變值也是固定的. 它們反映的是一種線性變化的關(guān)系. 這應(yīng)該是正比例函數(shù)、一次函數(shù)概念的核心和關(guān)鍵.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此的要求是結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義. 實(shí)踐中很多教師教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)放到了從大量的實(shí)際背景中抽象出一次函數(shù)概念，但對(duì)于一次函數(shù)概念的核心（均勻變化）沒有給予充分關(guān)注. 這是教師教學(xué)中容易存在的一個(gè)問題，具有一定的代表性，也是部分教材中容易忽視的問題.

第三個(gè)難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“一次函數(shù)的圖象是一條直線”. 學(xué)習(xí)變量與函數(shù)內(nèi)容時(shí)，已涉及了一次函數(shù)甚至二次函數(shù)的圖象，教材的處理是用描點(diǎn)法給出一些特殊點(diǎn)，通過列表、描點(diǎn)、用光滑曲線連接這些點(diǎn)得到函數(shù)圖象. 接下來的正比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)圖象的繪制就顯得無足輕重，直接用描點(diǎn)法就可以了，至多加一個(gè)正比例函數(shù)圖象平移得到一次函數(shù)圖象，然后根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì). 這樣的設(shè)計(jì)背后，似乎遺漏了某些重要的東西，即為什么可以取某些特殊點(diǎn)，并用光滑曲線連接就可以得到函數(shù)圖象？例如，對(duì)于一次函數(shù)的圖象，為什么連接某些特殊點(diǎn)后看似得到一條直線，就認(rèn)為一次函數(shù)的圖象是直線？二次函數(shù)的圖象用光滑曲線連接某些特殊點(diǎn)就是拋物線了？這些嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明需要運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中是不予研究的. 教材和教師教學(xué)中的處理往往是盡量多取點(diǎn)，達(dá)到近似是一條直線（或拋物線）就可以了. 但為什么一次函數(shù)圖象是一條直線、二次函數(shù)圖象是拋物線，初中學(xué)生是困惑、不明所以的.

上述執(zhí)教教師的教學(xué)片斷，體現(xiàn)了以下思路.

第一，類比正比例函數(shù)，得到一次函數(shù)的表達(dá)形式. 執(zhí)教教師通過引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧正比例函數(shù)來引入一次函數(shù)，在區(qū)分兩者表達(dá)形式異同的基礎(chǔ)上，給出一次函數(shù)的概念. 從實(shí)際課堂教學(xué)來看，學(xué)生更多記住的是函數(shù)表達(dá)式，形如y = kx（k ≠ 0）的是正比例函數(shù)，形如y = kx + b（其中k，b為常數(shù)，k ≠ 0）的是一次函數(shù). 學(xué)生對(duì)一次函數(shù)概念的核心（均勻變化）的認(rèn)識(shí)不足，在觀察特例基礎(chǔ)上抽象概括得到一次函數(shù)概念核心的過程體驗(yàn)是不夠的.

第二，類比正比例函數(shù)圖象，歸納得出一次函數(shù)的圖象也是一條直線. 在復(fù)習(xí)回顧用兩點(diǎn)法作圖的基礎(chǔ)上，畫出正比例函數(shù)y = x的圖象. 執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何平移y = x的圖象，得到一次函數(shù)y = x + 1的圖象，實(shí)際是通過取特殊值，確認(rèn)對(duì)x的某些特殊值，y = x + 1的函數(shù)值比y = x的函數(shù)值都要多1.“如何平移”，實(shí)際就是將函數(shù)值都增加1. 一般地，對(duì)y = x + b，都可以由y = x的圖象向上或向下平移[b]個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

第三，怎樣方便地畫出一次函數(shù)圖象. 既然一次函數(shù)圖象也是一條直線，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，只要找出直線上的任意兩點(diǎn)，就可以畫出一次函數(shù)圖象. 這兩點(diǎn)如何確定？可以借助原點(diǎn)和直線與x軸的交點(diǎn)，或者直線與y軸的交點(diǎn)，或者直線上另外一個(gè)特殊點(diǎn). 至于如何選擇，執(zhí)教教師說明了解題中一個(gè)很重要的原則：好算的、簡(jiǎn)便的.

上述執(zhí)教教師的教學(xué)是否落實(shí)了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)？我們認(rèn)為，判斷的依據(jù)主要有兩點(diǎn)：第一，學(xué)生是否真正理解和感悟了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì);第二，學(xué)生是否進(jìn)行了積極主動(dòng)的數(shù)學(xué)思考.

首先，盡管執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生借助類比、歸納發(fā)現(xiàn)了正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的異同，但概念的核心和本質(zhì)（均勻變化）在教學(xué)中是沒有體現(xiàn)的. 從上述一次函數(shù)圖象的教學(xué)來看，盡管執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生類比正比例函數(shù)，歸納出一次函數(shù)的圖象也是直線，由正比例函數(shù)圖象平移得到一次函數(shù)，給出了兩點(diǎn)法作圖等，但學(xué)生并沒有感悟到一次函數(shù)圖象的本質(zhì)，即為什么一次函數(shù)的圖象是一條直線，而不是折線或曲線. 只有使學(xué)生理解和感悟了教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能真正落實(shí)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo). 學(xué)生的理解和感悟往往需要較長(zhǎng)的過程，有時(shí)需要螺旋式學(xué)習(xí)，不是一兩節(jié)課就能達(dá)到的. 也就是說，學(xué)生需要適度的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，在可接受的范圍內(nèi)進(jìn)行學(xué)習(xí).在“一次函數(shù)的概念和圖象”這節(jié)課中，學(xué)生需要感悟的是：同正比例函數(shù)一樣，一次函數(shù)也是均勻變化的. 當(dāng)x取值增加一定量時(shí)，相應(yīng)y值的增加量也是固定的;因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是線性變化的，所以其函數(shù)圖象是一條直線，而不是折線或曲線. 當(dāng)然，之前學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)內(nèi)容是鋪墊，本節(jié)課是對(duì)其的進(jìn)一步體會(huì)和感悟. 實(shí)際教學(xué)中，教師未必要給出“線性關(guān)系”這一名詞，但學(xué)生需要感悟這種均勻變化. 這樣，學(xué)生自然會(huì)思考：不均勻的變化是什么函數(shù)？是反比例函數(shù)嗎？后來學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)也會(huì)聯(lián)想到此.

其次，對(duì)于一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要感悟一次函數(shù)表示的是線性變化或均勻變化的兩個(gè)量之間的關(guān)系，其中“均勻變化”“兩個(gè)量之間的關(guān)系”是需要學(xué)生逐步歸納推理得到的. 第一，教師自覺、有意識(shí)地幫助學(xué)生建立“從最簡(jiǎn)單問題入手，循序漸進(jìn)地探索規(guī)律和結(jié)論”的數(shù)學(xué)思維方式，可以很好地落實(shí)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo). 以上述“一次函數(shù)概念”的教學(xué)片斷為例，執(zhí)教教師通過引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧正比例函數(shù)的概念和解析式，引入一次函數(shù)，強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)和正比例函數(shù)解析式的異同，但對(duì)概念的核心——x的值增加或減少一個(gè)固定值，相應(yīng)的y值的變化量也是固定的，這一點(diǎn)在教學(xué)中并沒有交代. 抽象一次函數(shù)概念的關(guān)鍵是體會(huì)變量變化的特殊性，而不是形式化地比較解析式的異同. 如果教師沒有將一次函數(shù)概念的本質(zhì)講清楚，那么圖象的繪制也就形式化了. 列表、描點(diǎn)、連線、光滑的曲線連接，至于為什么用光滑的曲線連接;平移正比例函數(shù)圖象，可以得到一次函數(shù)圖象，正比例函數(shù)圖象是一條直線，一次函數(shù)圖象當(dāng)然是一條直線，其中的道理實(shí)際是沒有滲透的. 教師教學(xué)不能從“中間”開始講，無論是概念引入，還是函數(shù)圖象的繪制，教學(xué)中需要有意識(shí)地滲透“從最簡(jiǎn)單的問題入手，循序漸進(jìn)探索規(guī)律和結(jié)論”，幫助學(xué)生建立這樣的數(shù)學(xué)思維方式. 第二，有意識(shí)地讓學(xué)生在觀察聯(lián)想的基礎(chǔ)上主動(dòng)進(jìn)行歸納猜想，并加以數(shù)學(xué)表達(dá)和證明. 統(tǒng)計(jì)這節(jié)課中執(zhí)教教師運(yùn)用觀察、歸納、猜想、類比和驗(yàn)證的次數(shù)大致為：觀察5次，歸納3次，猜想0次，類比2次，驗(yàn)證1次. 可見，執(zhí)教教師雖然注意運(yùn)用觀察、歸納、類比等方法進(jìn)行教學(xué)，但這種教學(xué)是孤立的，只是需要觀察時(shí)讓學(xué)生觀察，需要類比時(shí)拿來做類比. 教師不能有意識(shí)地教給學(xué)生在觀察聯(lián)想的基礎(chǔ)上，逐步歸納、猜想某種結(jié)論，而這種意識(shí)的形成，需要教師的長(zhǎng)期引導(dǎo). 教師要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地觀察共性和特性，更要注意觀察關(guān)系. 本節(jié)課中，要注意引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)和正比例函數(shù)表達(dá)形式的共性、特性和關(guān)系. 繪制一次函數(shù)圖象時(shí)，在列表、描點(diǎn)、連線的過程中想象取點(diǎn)不斷細(xì)分時(shí)的趨勢(shì)，通過有限細(xì)分想象無限的情形. 通過特例嘗試，如對(duì)自變量x的一系列取值，y相應(yīng)得到一系列取值;當(dāng)x取值大小間隔一定時(shí)，發(fā)現(xiàn)y取值大小間隔也是一定的;任意改變?nèi)≈甸g隔，發(fā)現(xiàn)仍有類似規(guī)律. 由此歸納猜想：這類函數(shù)符合一定的變化規(guī)律，即均勻變化. 這個(gè)規(guī)律的感悟需要學(xué)生主動(dòng)歸納獲得.

三、結(jié)論

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師若只關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，難以培養(yǎng)出創(chuàng)新型人才. 積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，感悟數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)與核心，長(zhǎng)期積淀后形成數(shù)學(xué)地思考問題的方式或思維習(xí)慣. 這樣，學(xué)生在以后遇到未知問題時(shí)，才能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，對(duì)問題有一定的直觀判斷能力和直覺能力，形成一定的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力. 學(xué)生不經(jīng)過主動(dòng)思考，不經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理的過程，不可能積累真正的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 而且從數(shù)學(xué)歸納推理得到猜想，借助演繹推理進(jìn)行證明，這是邏輯連貫的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，在學(xué)生不同年齡階段各有不同側(cè)重. 小學(xué)低年級(jí)學(xué)生還不能進(jìn)行嚴(yán)格的演繹證明，高中年級(jí)學(xué)生有時(shí)不需要較低層次的歸納猜想而直接進(jìn)入形式化推導(dǎo). 但這種連貫的思考數(shù)學(xué)問題的方式是需要學(xué)生體驗(yàn)和感悟的，最終才能自覺、下意識(shí)地加以運(yùn)用，這是學(xué)生積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 認(rèn)識(shí)是從觀察開始的，想象是從聯(lián)想開始的，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的起始階段是觀察、聯(lián)想，最終形成一定的想象和直觀，使學(xué)生成為未來創(chuàng)新型人才.

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收稿日期：2020-08-19

基金項(xiàng)目：2019年度教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理論框架的實(shí)證及實(shí)踐研究（19YJA880009）.

作者簡(jiǎn)介：郭玉峰（1972— ），女，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教材研究.