蘇紅梅

(羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 羅定 527200)

目前，學(xué)者們關(guān)于在波長λ≈1.55 μm下運(yùn)行的光纖通信系統(tǒng)的研究比較多，因?yàn)樵谠摬ㄩL范圍內(nèi)光纖損耗較低.但是對于這個(gè)波長的標(biāo)準(zhǔn)單模光纖信號[1]，會表現(xiàn)出明顯的色散現(xiàn)象，從而產(chǎn)生對傳輸帶寬的限制.為了減少信號在傳輸過程中出現(xiàn)的色散現(xiàn)象，筆者擬建立一個(gè)一般的小信號關(guān)系，利用傅立葉變換得到光纖輸出處的強(qiáng)度和相位的調(diào)制情況，并且在光纖輸入端，對于允許的、任意的輸入強(qiáng)度和相位調(diào)制(或噪聲)都有效.

1 傅立葉變換簡介

傅立葉變換是一種分析信號的方法[2-5]，是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號.通過它可以分析信號的成分，也可以將這些成分合成信號.許多波形可作為信號的成分，如正弦波、方波和鋸齒波等.

令f(t)是t的周期函數(shù)，若t滿足狄里赫萊條件：函數(shù)在任意有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(當(dāng)t從左或右趨于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有有限的左極限和右極限)；在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)有有限個(gè)極大值或極小值；函數(shù)在單個(gè)周期內(nèi)絕對可積.則將如下積分運(yùn)算稱為f(t)的傅立葉變換：

其中F(ω)稱為f(t)的像函數(shù)，f(t)稱為F(ω)的像原函數(shù).將如下積分運(yùn)算稱為F(ω)的傅立葉逆變換：

傅立葉變換在物理學(xué)、組合數(shù)學(xué)、信號處理、密碼學(xué)和聲學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.在信號處理中，傅立葉變換的典型用途是將信號分解成頻率譜，顯示與頻率對應(yīng)的幅值大小.

2 光纖輸出處光場的強(qiáng)度和相位的計(jì)算

首先介紹強(qiáng)度和相位調(diào)制信號在色散介質(zhì)中傳播的理論，利用傅立葉變換得到強(qiáng)度和相位的具體表達(dá)式.這里主要考慮的是具有平均光發(fā)射的單模激光二極管[1,6-10]頻率ωth、相位φin(t)和強(qiáng)度(光學(xué)功率)Sin(t).令Ein(t)表示輸入的場振幅，

(1)

則(1)式對應(yīng)的傅立葉變換為

(2)

通過光纖傳播的光信號可以用傳播項(xiàng)e-jβL來表示，其中L為傳播光纖的長度.相位常數(shù)β(忽略損耗)在ω=ωth附近的展開表達(dá)式為

(3)

其中

(4)

其中λ和c分別表示光的波長和傳播速度.

如果由(3)式定義的β來確定傳播項(xiàng)e-jβL，并應(yīng)用到(2)式的輸出信號中，那么輸出光纖信號在頻域里的復(fù)合場強(qiáng)度的表達(dá)式為

Eout(jω)=Ein(jω)e-jβL.

(5)

將(3)式代入(5)式，得到

(6)

(7)

再將(6)式代入(7)式，得到

(8)

又因?yàn)?/p>

(9)

而Ein(j(ω+ωth))的時(shí)域傅立葉變換為

(10)

則(10)式的傅立葉逆變換為

所以

(11)

將(11)式代入(9)式，化簡后的結(jié)果再代入(8)式，得到

(12)

為了方便起見，忽略相位β0L和群延遲τL，因?yàn)檫@2項(xiàng)只產(chǎn)生時(shí)延的載波信號和調(diào)制信號，對信號的失真沒有影響.結(jié)合(4)式，進(jìn)一步得到(12)式中的色散參數(shù)表達(dá)式：

(13)

將(13)式代入(12)式，則光纖輸出處的振幅表達(dá)式為

(14)

其中：Sout(t)和φout(t)分別為光纖輸出處場強(qiáng)的強(qiáng)度和相位；ΔE(t)為色散產(chǎn)生的附加場振幅，其表達(dá)式為

(15)

在小信號分析理論中，ΔE(t)假定為非常小，

|ΔE(t)|?|Ein(t)|.

(16)

根據(jù)(14)式，光纖輸出強(qiáng)度可以表示為

(17)

這里的計(jì)算利用了(15)和(16)式，略去了高階小量.通過相同的估算和相似的步驟，可以推導(dǎo)出光纖輸出相位的表達(dá)式為

(18)

(17)和(18)式分別是描述信號通過色散光纖傳播后的光場強(qiáng)度和相位的一般方程.只要色散產(chǎn)生的附加場振幅ΔE(t)遠(yuǎn)小于輸入場振幅Ein(t)，那么(17)和(18)式對于任意的輸入強(qiáng)度Sin(t)和相位φin(t)都是有效的.

3 結(jié)語

在輸入信號為小信號的前提下，反復(fù)運(yùn)用傅立葉變換和逆變換推導(dǎo)出光纖輸出處的強(qiáng)度和相位的一般表達(dá)式.這可以給如何降低信號傳輸過程中的色散影響等類似工作提供參考.