基于泊松分布的輪盤多危險部位定壽方法

郭秩維，曹 航，李瑾亮，郭 勇

（中國航發(fā)沈陽發(fā)動機研究所，沈陽110015）

0 引言

航空發(fā)動機整機壽命是十分重要的技術(shù)指標，對發(fā)動機設(shè)計、研制、使用及成本等具有重大影響。一般而言，航空發(fā)動機中關(guān)鍵零部件的壽命在很大程度上決定了整機壽命，關(guān)鍵零部件定壽是整機定壽的基礎(chǔ)[1]。輪盤作為發(fā)動機中最重要的斷裂關(guān)鍵件，在設(shè)計、研制和使用過程中不僅有壽命要求，還有損傷容限要求。試驗評估一直是確定發(fā)動機輪盤安全壽命的重要手段。此外，發(fā)動機輪盤制備成本高，壽命試驗成本昂貴、周期長，且設(shè)計載荷譜與使用載荷譜存在差異，因此在航空發(fā)動機研制階段一般僅通過極少量的輪盤壽命試驗確定其安全壽命，比如GJB 241A-2010[2]中明確指出要“用3 套在零件目錄和結(jié)構(gòu)上與持久試車發(fā)動機相同的發(fā)動機關(guān)鍵件”開展低周循環(huán)疲勞試驗。多年來，研究人員一直致力于研究不同分布類型下如何利用子樣試驗數(shù)據(jù)進行高置信度和高可靠性的壽命估計；如何利用試驗數(shù)據(jù)構(gòu)造母體壽命的置信下限估計量從而獲得安全壽命；如何根據(jù)定時無失效數(shù)據(jù)估計安全壽命等問題，并在理論研究和工程實踐中，提出了處理這類問題的方法和理論公式，積累了許多成功經(jīng)驗。從研究方向上主要分為2 類：對不完全壽命數(shù)據(jù)下的可靠壽命的置信下限估計[3-5]；對完全數(shù)據(jù)下的可靠壽命的估計。對于第2 類，又可以分為基于容限系數(shù)的研究方法[6-9]和基于分散系數(shù)的研究方法2 個子類，核心目標都是獲得滿足一定置信度的可靠壽命估計值。

在航空發(fā)動機輪盤小樣本定壽方法上，分散系數(shù)方法一直是工程實踐領(lǐng)域所采用的主要方法[10]。文獻[11]給出在壽命服從對數(shù)正態(tài)分布下，基于最差、最好和中位試驗壽命的分散系數(shù)，但僅限于對數(shù)壽命方差為0.13 的特殊情形；陸山等[12]推導(dǎo)了基于對數(shù)正態(tài)分布小子樣最差和最好試驗壽命的分散系數(shù)計算公式；王衛(wèi)國等[13]推導(dǎo)了基于威布爾分布小子樣最差和最好試驗壽命的分散系數(shù)計算公式；姚剛等[14-15]提出了基于試驗極值信息的壽命分散系數(shù)計算公式及確定技術(shù)壽命的方法，并針對試驗數(shù)據(jù)缺失無法獲得中位壽命情況，提出了基于任意2 點試驗信息的壽命分散系數(shù)法；陸山等[16-18]提出了2 種改進的壽命分散系數(shù)方法，以及在1 個試件情形下低循環(huán)疲勞壽命試驗同應(yīng)力部位出現(xiàn)不同數(shù)量破壞情形下的壽命散度計算方法。

本文結(jié)合上述研究成果，對于多個輪盤，當同應(yīng)力危險部位出現(xiàn)的裂紋數(shù)服從泊松分布情形下，研究了輪盤安全壽命的確定方法，并對比了基于容限系數(shù)方法、不同分散系數(shù)方法和本文方法在預(yù)測安全壽命精度上的差異。

1 容限系數(shù)法

輪盤安全壽命評估方法的內(nèi)在要求是根據(jù)試驗結(jié)果，推測輪盤壽命總體在給定試驗環(huán)境下的可能“最小”壽命值（試驗安全壽命）。本文總是認為輪盤的試驗壽命值Nt服從對數(shù)正態(tài)分布，并且試驗安全壽命At定義為可靠度為99.87%下的壽命值，即P(At≤Nt)=99.87%。

1.1 單側(cè)容限系數(shù)法

對輪盤安全壽命的評估是經(jīng)典的統(tǒng)計問題。當在試驗環(huán)境下輪盤壽命總體的對數(shù)均值μlogNt和標準方差σlogNt未知時，總體的百分位值logAt的置信下限估計為

等價變換式（2），得到

由式（3）可得單側(cè)容限系數(shù)為

式中：tγ為t 分布變量的上百分位值，即有

由輪盤試驗件數(shù)量n 和試驗壽命結(jié)果，可得到安全壽命的估計值為

1.2 新單側(cè)容限系數(shù)法

文獻[19]根據(jù)單側(cè)容限系數(shù)法存在的置信下限與母體真值之差比較大的問題，采用1 種新的估計量，給出1 種新單側(cè)容限系數(shù)h

其中

式中：β 為修正系數(shù)，定義為

式中：Γ 為伽瑪函數(shù)。

由此得到安全壽命的估計值為

2 分散系數(shù)方法

在試驗環(huán)境下輪盤壽命總體對應(yīng)可靠度為99.87%的壽命值N99.87與對應(yīng)可靠度為0.13%的壽命值N0.13的比值N0.13/N99.87已知時，可以得到對數(shù)壽命母體的標準方差為

從而得到對數(shù)安全壽命的估計值為

2.1 基于中位壽命的估計

式中：壽命[N50]t為1 組輪盤疲勞試驗壽命的幾何平均值；C 為正的待定常數(shù)。

現(xiàn)在的問題是尋求常數(shù)C，使得隨機變量log[N50]t-C 小于μlogNt的概率為γ

式中：μγ為標準正態(tài)變量μ 的上百分位值，即有

將式（15）帶入式（12），得

定義散度系數(shù)ymd為

由此得到安全壽命的估計值為

2.2 基于最小壽命的估計

在試驗環(huán)境下，得到1 組輪盤疲勞壽命試驗值Nti(i=1,2,…,n)。若將Nti從小到大排列，則得到1 組有序的對數(shù)壽命值，記為logNt(1)，logNt(2)，…，logNt(n)。對logNt(i)做變量變換

則Ut(i)是來自標準正態(tài)總體的1 組次序統(tǒng)計量。若以log(Nt(1))估計μlogNt，為安全起見，要求

由統(tǒng)計理論可知，標準正態(tài)最小次序統(tǒng)計量Ut(1)的分布函數(shù)為

式中：Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)。

將式（23）帶入式（12）得

定義散度系數(shù)ymin

由此得到安全壽命的估計值為

2.3 基于最大壽命的估計

若以log(Nt(n))估計μlogNt，為安全起見，要求

由統(tǒng)計理論可知，標準正態(tài)最大次序統(tǒng)計量Ut(n)的分布函數(shù)為

將式（29）帶入式（12）得

定義散度系數(shù)ymax

由此得到安全壽命的估計值為

3 失效部位數(shù)服從泊松分布的定壽方法

航空發(fā)動機輪盤具有軸對稱的特征，為適應(yīng)裝配和引氣的需要，輪盤上一般配有孔、槽等結(jié)構(gòu)。在實際試驗過程中，也常表現(xiàn)為就某個特征部位（如螺栓孔部位）1 次試驗出現(xiàn)1 處或多處裂紋，且每次試驗出現(xiàn)的裂紋數(shù)也是不一致的，即發(fā)生破壞的孔或槽的數(shù)量有差異。如果有n 個輪盤進行疲勞壽命考核試驗，且均在某一特征結(jié)構(gòu)部位發(fā)生破壞（如榫槽、螺栓孔等），這一特征結(jié)構(gòu)在輪盤上具有m 個重復(fù)特征，在具體的第i 次輪盤壽命試驗中這一特征結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞的數(shù)量為di，顯然di≤m。在理想情況下，對于任意第i 次試驗而言，將特征部位的壽命值按從小到大排列，會得到如下壽命值

將式（34）帶入式（12）得

在給定置信度下，定義散度系數(shù)函數(shù)y(m，d)

由式（36）可得到在給定特征結(jié)構(gòu)數(shù)量為m 的情況下，發(fā)生不同失效數(shù)量d 情形下的散度系數(shù)值，與式（19）、（26）和（32）類似，此散度系數(shù)數(shù)值建立了試驗壽命和安全壽命之間的關(guān)系，即根據(jù)試驗壽命除以散度系數(shù)，得到一定置信度下滿足較小失效概率下的壽命值（安全壽命），更進一步的討論見文獻[17]。若在試驗中，特征部位發(fā)生失效數(shù)量近似服從參數(shù)為λ“泊松分布”，即若以X 表示試驗特征部位發(fā)生失效數(shù)量的隨機變量，則有

定義修正散度系數(shù)yˉ

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計可知，若多次試驗下觀察得到破壞部位數(shù)量的觀察值為d1，d2，…，dn，則λ 的最大似然估計量λ^為

由于泊松分布的X 的取值為無窮取值，而所遇到的是有限取值的情形，因此理論上

其殘差為

這里采用“均勻分配”殘差概率perror的方法，即將perror均勻平分到不同失效數(shù)量下的概率取值上，因此式（38）可寫為

由此定義安全壽命的估計值為

4 算例

由于實際輪盤疲勞試驗的壽命總體一般是未知的，其分布形式以及分布特征需要借助假設(shè)檢驗等數(shù)理統(tǒng)計方法，并結(jié)合試驗結(jié)果進行佐證。從國內(nèi)外的研究來看，一般認為輪盤疲勞壽命的分布服從對數(shù)正態(tài)分布或者威布爾分布是合理的。本文研究壽命服從對數(shù)正態(tài)的情形。在壽命分布形式已知的情況下，根據(jù)安全壽命的定義可知，其值由壽命母體的均值和方差決定。為了對比上述方法在預(yù)測安全壽命精度上的差異，以1 個數(shù)值算例為例，對比上述不同方法在預(yù)測安全壽命上的平均誤差。

4.1 算例1

假設(shè)輪盤上有10 個孔形特征結(jié)構(gòu)，其疲勞壽命的母體服從對數(shù)正態(tài)分布，即有l(wèi)ogNt～N(4,0.12972)，則其安全壽命的真值約為4082 次循環(huán)。對上述各方法，當γ=95%時，進行10000 次有放回的隨機抽樣數(shù)值試驗，每次抽取3 個樣本，比較不同方法得到的安全壽命預(yù)測值的平均值與安全壽命真值之間的相對差異，如圖1 所示。圖中縱坐標為方法預(yù)測的安全壽命平均值與真值之差除以真值的絕對值。

圖1 不同方法在預(yù)測安全壽命上的相對誤差

從圖中可見：（1）相比于本文的其它方法，容限系數(shù)方法中的單側(cè)容限系數(shù)方法和新單側(cè)容限系數(shù)方法給出的安全壽命預(yù)測值的相對誤差較大，其中單側(cè)容限系數(shù)方法的相對誤差約為0.77，新單側(cè)容限系數(shù)方法的相對誤差較單側(cè)容限系數(shù)方法有所減小，相對誤差約為0.54。（2）在分散系數(shù)方法中，基于中位壽命估計給出的安全壽命的相對誤差最小，相對誤差約為0.23；其次為基于最小壽命的估計，相對誤差約為0.27；基于最大壽命給出的安全壽命相對誤差最大，約為0.30。（3）本文的方法本質(zhì)上也是1 種分散系數(shù)方法，其給出的安全壽命的相對誤差值與基于中位壽命的結(jié)果基本相當，約為0.19，略好于基于中位壽命的相對誤差結(jié)果。

從方法本身來講，在壽命總體分布類型一定的情況下（服從對數(shù)正態(tài)分布），安全壽命值估計的好壞依賴于對總體均值和標準方差估計的好壞。相較于分散系數(shù)方法（壽命總體標準方差已知），容限系數(shù)方法需要結(jié)合樣本數(shù)據(jù)對壽命總體均值和標準方差進行估計，因此其預(yù)測的相對誤差普遍大于基于分散系數(shù)的方法。

從分散系數(shù)方法目前的應(yīng)用來看，英國國防防衛(wèi)標準推薦的安全壽命方法在其00-971 版本中列出了基于中位、最小和最大壽命的散度系數(shù)，而后續(xù)的00-970 版本則刪除了基于最大壽命的散度系數(shù)，僅列出了基于中位和最小壽命的散度系數(shù)值，且強調(diào)推薦使用基于中位壽命的散度系數(shù)值。本文的數(shù)值算例也表明，相較于最小和最大壽命，基于中位壽命的分散系數(shù)方法能給出更好的安全壽命估計。

對比式（19）和式（43）可知，基于中位壽命和本文的方法都采用試驗輪盤的試驗壽命幾何平均值進行估計，不同之處在于分母上的散度系數(shù)選取。基于中位壽命的方法，其散度系數(shù)是與試驗輪盤的數(shù)量一一對應(yīng)的（與盤上的特征結(jié)構(gòu)的重復(fù)性無關(guān)），比如3 個試驗輪盤，其對應(yīng)的散度系數(shù)為3.253。陸山等[16]也指出“采用壽命分散系數(shù)評估輪盤壽命時會出現(xiàn)所得概率壽命比較低等問題”，這與對應(yīng)的分散系數(shù)取值大有較大的關(guān)系。本文的方法借鑒了文獻[17]的思想，即認為1 個盤上某一重復(fù)特征部位（比如孔）發(fā)生不同數(shù)量的裂紋時，其對應(yīng)的散度系數(shù)是不一樣的。根據(jù)式（36），在10 個特征孔下，1 次疲勞試驗發(fā)生不同數(shù)量特征孔破壞情況下的散度系數(shù)值見表1。就輪盤靜力破壞和低周疲勞試驗而言，重復(fù)特征結(jié)構(gòu)上的破壞數(shù)量存在很大的不同。一般來說，輪盤強度試驗（比如破裂試驗）孔發(fā)生裂紋的數(shù)量比較多（一般在70%以上），而在輪盤的低循環(huán)疲勞試驗中，當發(fā)現(xiàn)有裂紋時，破壞的孔的數(shù)量不多。文獻[16]中給出渦輪盤的1次低周疲勞試驗16 個銷釘孔中發(fā)現(xiàn)有6 個銷釘孔產(chǎn)生不同長度的裂紋，裂紋孔的數(shù)量僅占總數(shù)量的37%左右。實際上當檢查周期更短時，這一比例還會有所降低（一般認為大應(yīng)力下，壽命值分散性較小，而在較低應(yīng)力下壽命值分散性會顯著增加）。同時，從表1 中可見，當發(fā)生破壞的孔的數(shù)量越少，對應(yīng)的散度系數(shù)取值越小，都會小于3 個試驗輪盤對應(yīng)的散度系數(shù)值。而在相同的中位壽命值下，較小的散度系數(shù)值，意味著較大的安全壽命值。這也是本文方法得到安全壽命值比基于中位壽命的散度系數(shù)方法給出的更大，更接近于理論真值的原因。

表1 不同數(shù)量特征孔發(fā)生破壞對應(yīng)的散度系數(shù)值

4.2 算例2

參見文獻[17]中提供的某型發(fā)動機I 級渦輪盤在地坑試驗器上開展的低循環(huán)疲勞試驗的工程案例。試驗終止時進行了7087 周轉(zhuǎn)速循環(huán)，觀察發(fā)現(xiàn)16 個銷釘孔中有6 個銷釘孔產(chǎn)生了裂紋，通過數(shù)值分析認為銷釘孔壽命母體分散N0.13=N99.87=8。將本文的方法退化用于1 個盤情形下的安全壽命估計，根據(jù)式（42）和（43）得到了散度系數(shù)和安全壽命的結(jié)果見表2。從計算結(jié)果來看，本文給出的結(jié)果與文獻[17]中提供的結(jié)果比較接近。

表2 散度系數(shù)值和安全壽命值對比

5 結(jié)論

（1）本文基于輪盤失效部位數(shù)服從泊松分布，根據(jù)次序統(tǒng)計量的概率分布函數(shù)，針對輪盤疲勞試驗中存在同應(yīng)力多危險部位的特點，提出并推導(dǎo)了1 種新的輪盤壽命散度的計算公式和輪盤安全壽命的估計方法；

（2）通過數(shù)值算例，對比了基于中位壽命、最小壽命、最大壽命、單側(cè)容限、新單側(cè)容限與本文方法在預(yù)測安全壽命精度上的差異，結(jié)果表明，從平均的角度，上述方法給出的安全壽命預(yù)測結(jié)果都與理論真值存在一定的差異，而本文方法給出安全壽命的結(jié)果比其它方法的更接近于安全壽命的真實值。

此外，由于單側(cè)容限和新單側(cè)容限都是母體方差未知情形下的估計方法，較其它母體方差已知情況下的估計方法而言，就本文的算例，預(yù)測精度要低于其它方法的。當輪盤疲勞壽命分散情況未知時，采用新單側(cè)容限方法所得預(yù)測結(jié)果比采用單側(cè)容限方法的更接近真實安全壽命值。

（3）通過1 個工程算例比較了本文方法與文獻方法給出散度系數(shù)值和安全壽命值的差異，二者的結(jié)果基本相當。