梁麗強(qiáng)，薩日娜,2,3*，高 峰

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；3.康力電梯股份有限公司，江蘇 蘇州 215213)

0 引 言

加工中心在現(xiàn)代化工業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用，床身結(jié)構(gòu)作為機(jī)床重要的基礎(chǔ)支撐件對(duì)機(jī)床的布局有很大的影響。床身的結(jié)構(gòu)尺寸和布局形式，直接影響機(jī)床的加工精度、精度穩(wěn)定性和生產(chǎn)效率。床身設(shè)計(jì)不合理，剛度不足，會(huì)引起床身的各種變形和振動(dòng)[1]。

目前，提高機(jī)床加工性能的常用方法有優(yōu)化機(jī)床的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用新型材料制造機(jī)床兩種[2-3]。MA Y L[4]在加工中心床身的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中使用了拓?fù)鋬?yōu)化的方案，完成了床身結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使得床身剛度和動(dòng)態(tài)性能都得到相應(yīng)提高；SIGMUND O[5]針對(duì)宏觀結(jié)構(gòu)、微觀結(jié)構(gòu)的制造，提出了一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的延伸方法；趙二新等[6]在車(chē)削中心床鞍輕量化設(shè)計(jì)中使用了拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)；崔爭(zhēng)爭(zhēng)[7]提出了針對(duì)多個(gè)目標(biāo)采用加權(quán)平均的方法，把多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題；張昆鵬[8]針對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型求解過(guò)程中，需要多次迭代才能得到滿(mǎn)足一定精度要求的收斂結(jié)果的問(wèn)題，提出了一種基于向量Epsilon算法加速迭代序列收斂的方法；陳垂福[9]基于固體各向同性材料理論，對(duì)懸臂梁進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，建立了懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，求解了位移約束下懸臂梁體積最小的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；TENERELLI P等[10]提出了一種基于GIS的多標(biāo)準(zhǔn)、多目標(biāo)和不確定性分析的方法，來(lái)評(píng)估能源作物轉(zhuǎn)換的一系列可能性；饒柳生等[11]把柔度最小和1階固有頻率最大作為目標(biāo)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)立柱的筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)；姜衡[12]在加工中心多目標(biāo)優(yōu)化中采用響應(yīng)面法，實(shí)現(xiàn)了加工中心的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使其靜動(dòng)態(tài)特性均得到了較好的提升；馬雅麗[13]在不確定因素影響下的機(jī)床支撐件多目標(biāo)穩(wěn)健性設(shè)計(jì)中，通過(guò)靈敏度法和支持向量機(jī)方法，實(shí)現(xiàn)了機(jī)床支撐件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

對(duì)于銑削加工時(shí)，考慮銑削加工過(guò)程中銑削力隨時(shí)間變化的變載荷對(duì)床身結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響；同時(shí)當(dāng)模型外形較復(fù)雜結(jié)構(gòu)尺寸較大時(shí)，都對(duì)有限元優(yōu)化求解的效率產(chǎn)生了不利的影響。所以本文針對(duì)加工中心床身的結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程合理地定義了拓?fù)鋬?yōu)化的變載荷施加；在多目標(biāo)尺寸優(yōu)化過(guò)程中將床身拆解成小的單元結(jié)構(gòu)來(lái)完成床身的尺寸優(yōu)化，既可以減少計(jì)算的求解時(shí)間，又能有效地完成模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文對(duì)床身進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，使床身結(jié)構(gòu)更加合理有效。

1 加工中心床身結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 加工過(guò)程中變載荷切削力及工況分析

筆者主要對(duì)加工中心銑削加工時(shí)動(dòng)態(tài)銑削力對(duì)床身結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響加以研究。

以加工中心進(jìn)行銑削加工為例，銑刀為圓柱形銑刀，根據(jù)銑削公式[14]，有：

(1)

(2)

式中：Ff—縱向進(jìn)給力；Fe—橫向進(jìn)給力；Ffn—垂直進(jìn)給力。

計(jì)算得到Ff=1 000 N,Ffn=1 100 N,Fe=1 400 N。切削是一種周期性切削過(guò)程，其周期為刀具旋轉(zhuǎn)一周的耗時(shí)[16]。

以周期為0.15 s，銑削力隨時(shí)間周期變化的規(guī)律及銑削力的傳遞路徑，如圖1所示。

圖1 變載荷銑削力分力及其傳遞路徑

加工中心銑削加工時(shí)，按照工作臺(tái)的不同位置來(lái)劃分加工中心的不同工況，如圖2所示。

圖2 加工中心工況分析

圖2中，工況一：工作臺(tái)位于導(dǎo)軌的左端的極限位置；工況二：工作臺(tái)位于導(dǎo)軌中間位置；工況三：工作臺(tái)位于導(dǎo)軌右側(cè)極限位置。

1.2 加工中心床身變載荷拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

鑒于SIMP算法具有較好的收斂性和應(yīng)用價(jià)值，筆者選擇SIMP模型變密度法，對(duì)機(jī)床底座進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[17-18]。

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，通常將剛度目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為柔度目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，柔度可以通過(guò)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能來(lái)表示：

(3)

式中：Ci—第i個(gè)工況下，床身結(jié)構(gòu)柔度；Fi—第i個(gè)工況下，有限單元節(jié)點(diǎn)載荷向量；Ui—第i個(gè)工況下，有限單元節(jié)點(diǎn)位移向量；Vi(x)—拓?fù)鋬?yōu)化后，床身結(jié)構(gòu)體積；V0—原始體積；f—體積分?jǐn)?shù)約束取值為0～1。

因此，通過(guò)折衷規(guī)劃法得到結(jié)構(gòu)柔度最小[19]的目標(biāo)函數(shù)為：

(4)

以低階固有頻率最大為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化中，會(huì)遇到當(dāng)某一階固有頻率達(dá)到最大值時(shí)，而其他階固有頻率下降到了很小的值，優(yōu)化結(jié)果難以滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求[20]。因此，在低階固有頻率的優(yōu)化時(shí)，需要綜合考慮多階頻率，即：

(5)

式中：Λ(x)—頻率的平均數(shù)；z0,k—調(diào)整目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)；f—所優(yōu)化的頻率階數(shù)；ωi—頻率權(quán)值；λi—第i階特征頻率。

同時(shí)，考慮結(jié)構(gòu)柔度和固有頻率的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)，變量xi來(lái)表示i單元相對(duì)密度ρi，可得到多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的綜合目標(biāo)函數(shù):

(6)

式中：xi—優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，代表離散材料單元i的相對(duì)密度，取值為[xmin，1]之間的連續(xù)值；ω—柔度目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值；1-ω—固有頻率目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值；Λmax，Λmin—平均頻率的最大值、最小值；Vi—拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的結(jié)構(gòu)體積；V0—結(jié)構(gòu)優(yōu)化前體積；fv0—拓?fù)鋬?yōu)化允許的體積上限值。

為了有效避免總剛度矩陣出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象，取Xmin=0.001。

1.3 加工中心床身的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

1.3.1 加工中心床身有限元模型的建立

床身的三維模型和有限元模型如圖3所示。

圖3 床身模型

圖3中，床身的材料為HT200，彈性模量為148 GPa，泊松比為0.26，密度為7 200 kg/m3，床身質(zhì)量為993.7 kg；床身長(zhǎng)1 968 mm，寬1 290 mm，高456 mm，壁厚16 mm；床身內(nèi)部設(shè)計(jì)有不同位置的加強(qiáng)筋厚度為16 mm，筋板與外壁均設(shè)計(jì)有出砂孔。

采用Workbench網(wǎng)格劃分技術(shù)，對(duì)加工中心床身模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共得到312 611節(jié)點(diǎn)和164 870個(gè)單元。

1.3.2 加工中心床身的載荷與約束條件

床身主要受兩部分力的作用，一部分是銑削力的作用，另一部分是安裝在床身上的立柱、刀庫(kù)、主軸組件、工作臺(tái)等部件的壓力。

將銑削力按照周期為0.15 s,加載到加工中心床身上。將銑削力沿著加工中心工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)行分解，縱向進(jìn)給力垂直作用于導(dǎo)軌側(cè)面,其值為2 200 N，垂直進(jìn)給力方向?yàn)榇怪庇趦蓪?dǎo)軌，其值為2 800 N,以及滑座和加工工件總質(zhì)量420 kg，橫向進(jìn)給力沿導(dǎo)軌方向其值為2 000 N，以及床身上的立柱、刀庫(kù)、主軸組件、工作臺(tái)總質(zhì)量施加給床身的力。

床身的載荷和約束如圖4所示。

圖4 床身載荷與約束

床身是由底部的6個(gè)螺栓與地面固定，所以筆者對(duì)6個(gè)螺栓孔施加完全約束。橫向進(jìn)給力施加于床身導(dǎo)軌沿X軸正方向，縱向進(jìn)給力作用在導(dǎo)軌側(cè)面沿Y軸正方向，垂直進(jìn)給力施加于垂直導(dǎo)軌沿Z軸正方向，以及床身上的立柱、刀庫(kù)、主軸組件、工作臺(tái)總質(zhì)量施加給床身的力沿Z軸正方向。

筆者基于Workbench中Topology Optimization模塊，對(duì)床身有限元模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化[21-22]。

在Workbench中，筆者對(duì)加工中心床身模型進(jìn)行約束設(shè)置，體積分?jǐn)?shù)設(shè)置為0.7～0.8，定義設(shè)計(jì)區(qū)域與非設(shè)計(jì)區(qū)域。優(yōu)化以提高動(dòng)態(tài)特性為主，故選取綜合目標(biāo)函數(shù)式中固有頻率項(xiàng)的權(quán)值為0.6，柔度項(xiàng)權(quán)值為0.4。

拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)及權(quán)重設(shè)定如表1所示。

表1 拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)及權(quán)重設(shè)定

在保證床身前三階固有頻率和柔度的情況下，得到結(jié)構(gòu)的最佳材料分布。

在Topology Opitimization求解器中，對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行分析。

設(shè)計(jì)空間穩(wěn)定之后，床身得出的拓?fù)湫螒B(tài)以及拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)的迭代過(guò)程，如圖5所示。

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化形態(tài)及其迭代過(guò)程(a)—拓?fù)鋬?yōu)化收斂穩(wěn)定后的拓?fù)湫螒B(tài)；(b)—前三階固有頻率迭代過(guò)程；(c)—拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中床身體積迭代過(guò)程；(d)—多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化綜合函數(shù)經(jīng)過(guò)45次迭代收斂過(guò)程；(e)—根據(jù)床身結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，建立了新的床身方案模型

1.3.3 加工中心床身新方案性能評(píng)估

新的床身方案模型按照拓?fù)鋬?yōu)化模型指導(dǎo)的去除率進(jìn)行建模，去除了多余的筋板并且在床身的前后位置以及側(cè)面進(jìn)行開(kāi)孔設(shè)計(jì)。

將床身的新舊模型進(jìn)行分析對(duì)比，其性能參數(shù)對(duì)比如表2所示。

表2 優(yōu)化前后床身性能參數(shù)對(duì)比

2 床身結(jié)構(gòu)單元多目標(biāo)尺寸優(yōu)化

響應(yīng)面分析作為尺寸優(yōu)化的一種有效方法，其可以在繼承多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完成加工中心尺寸優(yōu)化。

將床身整體結(jié)構(gòu)拆分成小基本單元結(jié)構(gòu)，進(jìn)行響應(yīng)面分析，既可以減少計(jì)算的求解時(shí)間，又能有效地完成模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

基本單元結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 基本單元結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)

筆者定義了5個(gè)設(shè)計(jì)變量和兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，分別為P1單元壁厚、P2單元拉伸高度、P3單元筋板厚度、P4單元長(zhǎng)度、P5單元寬度。目標(biāo)函數(shù)為P6單元固有頻率、P7單元質(zhì)量。

為了構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)二階響應(yīng)面模型，筆者首先對(duì)定義的5個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行靈敏度分析[23]，如圖7所示。

圖7 靈敏度分析圖

由靈敏度分析圖可以看出，P1設(shè)計(jì)變量對(duì)單元的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)影響較小，予以剔除。故將其與4個(gè)設(shè)計(jì)變量作為構(gòu)造響應(yīng)面優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。

然后采用Optimal Space-Filling Design最佳填充空間設(shè)計(jì)方法，在樣本空間生成25個(gè)樣本點(diǎn)，如表3所示。

表3 抽樣所生成的空間樣本點(diǎn)

通過(guò)Workbench更新計(jì)算，得到樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值。

將樣本數(shù)據(jù)導(dǎo)入response surface中，進(jìn)行響應(yīng)面模型的構(gòu)建，如圖8所示。

圖8 結(jié)構(gòu)單元響應(yīng)面模型

響應(yīng)面優(yōu)化結(jié)果的有效與否受其擬合精度影響，故對(duì)響應(yīng)面的擬合精度進(jìn)行評(píng)估，如表4所示。

表4 響應(yīng)面擬合精度

表4中，給出了響應(yīng)面模型擬合精度；其中，P6和P7分別表示單元一階模態(tài)頻率總質(zhì)量和一階模態(tài)頻率?？芍擁憫?yīng)面模型精度滿(mǎn)足要求，可用于后續(xù)的多目標(biāo)優(yōu)化求解。

在Workbench中，基于床身質(zhì)量和一階固有頻率建立的響應(yīng)面模型，采用MOGA優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解，其優(yōu)化算法求解參數(shù)設(shè)置如表5所示。

表5 MOGA優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

最終優(yōu)化得到的3組候選點(diǎn)如表6所示。

表6 優(yōu)化后的候選點(diǎn)

3組候選點(diǎn)的擬合精度都符合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)精度要求，因此，將第3組候選點(diǎn)作為最終優(yōu)化方案。

將第3組候選點(diǎn)方案與原模型進(jìn)行比較，如表7所示。

表7 優(yōu)化方案與原模型性能參數(shù)對(duì)比

由表7中可以看出：結(jié)構(gòu)單元的一階固有頻率優(yōu)化了21.9%，質(zhì)量減少了21.8%。

3 優(yōu)化結(jié)果性能分析及對(duì)比驗(yàn)證

3.1 優(yōu)化結(jié)果性能分析

將響應(yīng)面優(yōu)化后的單元結(jié)構(gòu)尺寸代入床身模型中，對(duì)比優(yōu)化后床身模型與原模型以及拓?fù)鋬?yōu)化模型，如表8所示。

表8 優(yōu)化后結(jié)構(gòu)性能參數(shù)對(duì)比

3.2 對(duì)比驗(yàn)證

基于Ansys有限元分析軟件，筆者實(shí)現(xiàn)了加工中心床身的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化以及結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。

為驗(yàn)證結(jié)果的有效性，故將優(yōu)化結(jié)果與Hyper Works有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示。

圖9 對(duì)比驗(yàn)證

從圖9中可以看出：其拓?fù)鋬?yōu)化后的材料保留基本一致；比較其相關(guān)結(jié)構(gòu)性能參數(shù)可知，采用本文方案得到的最終優(yōu)化結(jié)果較hyperworks優(yōu)化結(jié)果在結(jié)構(gòu)性能方面都有不同程度的提高，證明了本文采用的優(yōu)化方案是合理有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)加工中心工作過(guò)程中變載荷銑削力對(duì)床身結(jié)構(gòu)性能的影響問(wèn)題，提出了以床身固有頻率和柔度為目標(biāo)，體積分?jǐn)?shù)為約束條件的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法；從床身整體方面，采用折中規(guī)劃法和平均頻率法，構(gòu)建了變載荷銑削力影響下的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型；依據(jù)變密度法拓?fù)鋬?yōu)化，獲得了加工中心床身的最佳結(jié)構(gòu)布局；在此基礎(chǔ)上，從床身結(jié)構(gòu)單元方面借助經(jīng)過(guò)優(yōu)化的拉丁超立方采樣，構(gòu)造了單元標(biāo)準(zhǔn)二階響應(yīng)面,使用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)床身進(jìn)行多目標(biāo)尺寸優(yōu)化。

優(yōu)化結(jié)果表明：床身固有頻率增加16.9%，床身質(zhì)量減少17.4%，最大變形量降低14.4%，最大應(yīng)力降低18.8%。

該優(yōu)化方案使加工中心床身的結(jié)構(gòu)布局更加合理，實(shí)現(xiàn)了輕量化設(shè)計(jì)，有效地提高了床身的各項(xiàng)力學(xué)性能，并且有較高的設(shè)計(jì)效率。

對(duì)于床身的多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，關(guān)于目標(biāo)函數(shù)權(quán)重的選取具有一定的經(jīng)驗(yàn)成分，筆者的下一步工作將針對(duì)多目標(biāo)函數(shù)的不同權(quán)重系數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化產(chǎn)生的影響進(jìn)行研究。