盛沛

摘要：提出了一種利用分形理論中的盒維數(shù)算法對(duì)模擬電路故障進(jìn)行分類的方法。首先對(duì)模擬電路故障狀態(tài)進(jìn)行輸出信號(hào)樣本采集，其次對(duì)所采信號(hào)進(jìn)行盒維數(shù)計(jì)算并取得狀態(tài)區(qū)間，最后利用所得狀態(tài)區(qū)間對(duì)故障狀態(tài)進(jìn)行判別以實(shí)現(xiàn)故障狀態(tài)的區(qū)分。仿真結(jié)果表明，該方法能夠有效對(duì)模擬電路的故障進(jìn)行區(qū)分。

關(guān)鍵詞：分形;盒維數(shù);模擬電路

Abstract： A method is introduced to classify analog circuit faults by using the box dimension algorithm in fractal theory. Firstly， the fault state of the analog circuit is sampled， then the box dimension is calculated and the state interval is obtained. Finally， the fault state is distinguished by the obtained state interval. The simulation results show that this method can distinguish the faults of analog circuits effectively.

0? 引言

分形理論是用來刻畫對(duì)象的不規(guī)則性和自相似性的有力工具，在處理復(fù)雜非線性系統(tǒng)中具有獨(dú)到之處[1]。合理運(yùn)用分形理論，提取有用的診斷信息，不僅可以定性，而且可以定量地分析系統(tǒng)的工作狀態(tài)。如果拋開采樣精度及存儲(chǔ)深度的限制，模擬電路故障信號(hào)特征與分形理論的描述是十分吻合的。

模擬電路的各種故障現(xiàn)象往往與其運(yùn)行狀態(tài)存在著對(duì)應(yīng)聯(lián)系。在一些技術(shù)部門中經(jīng)常會(huì)存在這樣一種現(xiàn)象：對(duì)于一些常見的故障，有經(jīng)驗(yàn)的業(yè)務(wù)骨干往往可以通過某個(gè)測點(diǎn)電壓波形形態(tài)的變化，判斷出哪個(gè)元件出現(xiàn)了怎樣的問題。事實(shí)上，在各專業(yè)都有這種“聽音診脈”的業(yè)務(wù)骨干存在，他們有的看一眼波形、有的聽一下噪聲，便可判斷出裝備處于何種運(yùn)行狀態(tài)。從這一現(xiàn)象出發(fā)，本文研究了相應(yīng)的模擬電路中的分形理論。目的在于將該種現(xiàn)象提煉、轉(zhuǎn)化為可供利用的故障特征提取方法。

1? 分形維數(shù)計(jì)算

數(shù)學(xué)家Mandelbrot于1967年在《Science》上發(fā)表的一篇文章中提出一個(gè)關(guān)于英國海岸線長度的著名問題：每個(gè)臨海國家都有海岸線，而每一個(gè)海岸線都具有一個(gè)長度值，可是這個(gè)值要如何計(jì)算出來卻是個(gè)問題。通常人們可能會(huì)采取折線近似來計(jì)算，該方法首先要確定度量單位r，r表示度量海岸線長度的折線段長度，然后再通過長度r計(jì)算所需要折線段的數(shù)量N（r），由此可以得到海岸線長度L（r）=r·N（r）。但是，海岸線包含了許多海角和海灣，這就對(duì)折線段的尺度r的選擇產(chǎn)生了限制——選取過大就會(huì)忽略海角和海灣等因素。若尺度r變小，那么需要被測量的地方N（r）將隨之變大。Mandelbrot通過對(duì)折線法的研究，給出了一個(gè)規(guī)律：rD·N（r）=常數(shù)。其中D與r值變化無關(guān)，通常是非整數(shù)。由此，分形維數(shù)早期雛形逐漸形成。

分形是具有以非整數(shù)維形式填充空間的形態(tài)特征，而分形維數(shù)是描述分形最主要的參量，簡稱分維[2]-[3]。分形包括規(guī)則和無規(guī)則分形兩種。對(duì)于規(guī)則分形，其自相似性、標(biāo)度不變性是無限的，即無論在何種尺度上對(duì)其觀察都具有一樣的自相似性質(zhì);而無規(guī)則分形自相似性是近似的或統(tǒng)計(jì)意義上的，可借助規(guī)則分形的思想進(jìn)行求解[4]。與歐氏幾何圖形維數(shù)取整數(shù)值不同，分形維數(shù)能夠取得分?jǐn)?shù)值。Hausdorff于1919年提出分?jǐn)?shù)維數(shù)，并建立了維數(shù)理論和測度。在此基礎(chǔ)上，逐漸發(fā)展處諸多分形維數(shù)計(jì)算方法，如盒子維數(shù)、信息維數(shù)、網(wǎng)格維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)等。其中盒子維數(shù)與其它維數(shù)計(jì)算方法相比，在故障診斷時(shí)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和計(jì)算復(fù)雜度都比較簡單，故障診斷速度也比較快，其具體計(jì)算方法如下：

若非空集合F，且F？奐Rn。N（F，δ）代表覆蓋F所需直徑最大為δ集的最少數(shù)目，則F的上、下盒子維數(shù)為：

根據(jù)特征性不同，某些等價(jià)形式也會(huì)用這一定義。假設(shè)N（F，δ）取以下幾種情形，那么上述的極限值不變：

①與F相交的δ網(wǎng)格立方體數(shù)量;

②直徑最大為δ，覆蓋F的互不相交小球的最大數(shù)量;

③半徑為δ，中心在F里的互不相交的小球的最大數(shù)量;

④邊長為δ，覆蓋F的立方體的最小數(shù)量;

⑤半徑為δ，覆蓋F的閉球的最小數(shù)量。

對(duì)N（F，δ）的取值進(jìn)行比較就可以獲得這些定義形式的等價(jià)性。Rn中δ網(wǎng)格立方體可表示為：[m1δ，（m1+1）δ]×…×[mnδ，（mn+1）δ]。很顯然的，當(dāng)n的取值不同時(shí)，這一網(wǎng)格立方體有不同的含義，譬如：n取1時(shí)，網(wǎng)格立方體為區(qū)間;n取2時(shí)，網(wǎng)格立方體為正方形;n取3時(shí)，網(wǎng)格立方體為立方體……其中n取2時(shí)的情況也是本文所要研究的重點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，假設(shè)一平面集F，計(jì)算盒維數(shù)，就需要建立一些盒子，定義其邊長為δ，盒維數(shù)值就是F與δ相交的數(shù)量。該盒維數(shù)值可通過函數(shù)lnN（F，δ）-lnδ的斜率估計(jì)出來。

2? 盒維數(shù)算法應(yīng)用建模

對(duì)于模擬電路信號(hào)特征的提取，分形理論主要針對(duì)的就是分形維數(shù)值，通過分形維數(shù)就可以識(shí)別它們的分形特征。假設(shè)現(xiàn)有表征同一故障狀態(tài)的某一被測信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行采樣可得到兩組故障數(shù)據(jù)?？赡苡捎诓蓸悠鹗嘉恢?、長度、采樣周期的影響，其形態(tài)特征會(huì)有所不同，但是基于分形特征自相似的理論，在相同測度下其分形維數(shù)是比較接近的[5]。這是將分形理論應(yīng)用于電路故障診斷的理論依據(jù)。基于此，可利用分形維數(shù)作為故障特征，以期達(dá)到區(qū)分故障狀態(tài)的目的，具體步驟如下：

步驟1：選取非線性模擬電路中N種典型的故障狀態(tài)，包括正常狀態(tài)在內(nèi)共計(jì)N+1種。

步驟2：在第i種狀態(tài)下，對(duì)測試點(diǎn)輸出電壓信號(hào)進(jìn)行測量并進(jìn)行盒維數(shù)值的計(jì)算，則該盒維數(shù)值即為一次實(shí)驗(yàn)樣本。

步驟3：重復(fù)1、2步驟m次，取得m個(gè)狀態(tài)i下的樣本，求取平均值及區(qū)間范圍。

步驟4：重復(fù)上述步驟N+1次，取得所有狀態(tài)i的樣本區(qū)間及均值。

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，以較為簡單的某開關(guān)電源作為仿真驗(yàn)證對(duì)象，電路圖如圖1所示。電路中元件故障狀態(tài)設(shè)定為標(biāo)稱值的正（↑）、負(fù)（↓）20%，節(jié)點(diǎn)OUT為輸出測試點(diǎn)。仿真平臺(tái)Orcad CIS 7.0和Matlab 8.5，采樣點(diǎn)數(shù)1024。取電路狀態(tài)集合如表1所示。當(dāng)輸入激勵(lì)信號(hào)設(shè)定為時(shí)，對(duì)電路不同故障狀態(tài)進(jìn)行盒維數(shù)值計(jì)算。更進(jìn)一步地，調(diào)整數(shù)值，考察不同頻率下輸出信號(hào)盒維數(shù)值變化趨勢，結(jié)果如表2、表3及表4所示。

可以看出，對(duì)于同一輸入頻率，不同電路狀態(tài)下的測試點(diǎn)輸出信號(hào)分形維數(shù)是不同的。因此，利用分形維數(shù)進(jìn)行電路故障特征識(shí)別進(jìn)而進(jìn)行故障診斷的方法是可行的。為了更進(jìn)一步說明方法有效性，考察分形維數(shù)D隨輸入頻率變化趨勢，結(jié)果如圖2所示。在輸入信號(hào)頻率相同的情況下，不同的故障狀態(tài)對(duì)應(yīng)著不同的盒維數(shù)值，說明各狀態(tài)的分形特征是不同的;隨著頻率的增加，各故障狀態(tài)盒維數(shù)值均有所增加，這是因?yàn)樵诓蓸訁?shù)不變的情況下，輸出信號(hào)會(huì)顯得更為復(fù)雜，也就是說其“填充空間的能力[6]”增加了。

雖然在該算例中，各故障狀態(tài)在不同輸入頻率下分形維數(shù)同時(shí)升高，均值并未出現(xiàn)交叉混疊的現(xiàn)象。但是，由于每個(gè)單獨(dú)的樣本盒維數(shù)值圍繞中心值上下波動(dòng)較大，導(dǎo)致了其部分樣本數(shù)據(jù)存在如圖3所示的混疊現(xiàn)象。導(dǎo)致此種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是由于盒維數(shù)計(jì)算誤差所致。圖中明顯可以看出，正是由于在頻率為500Hz處S5狀態(tài)下部分樣本數(shù)據(jù)發(fā)生了較大偏差，導(dǎo)致其與S4狀態(tài)發(fā)生了混疊。通過更進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，在面對(duì)更加復(fù)雜的裝備模擬電路時(shí)，這種現(xiàn)象將會(huì)變得更為嚴(yán)重，導(dǎo)致該方法誤差較大甚至完全失效。

3? 建模效果分析

目前，模擬電路故障診斷方法多以時(shí)頻分析為主。本文基于分形盒維數(shù)算法的故障診斷方法是以輸出信號(hào)的分形維數(shù)為特征樣本，考量的是其非線性特性、填充空間能力，是從另一個(gè)角度對(duì)故障特征的一種提取，是對(duì)傳統(tǒng)方法一次有益的擴(kuò)充。通過將模擬電路故障狀態(tài)劃分為不同的數(shù)值區(qū)間，被測電路輸出信號(hào)與其進(jìn)行對(duì)比后即可進(jìn)行狀態(tài)判定?；诤芯S數(shù)算法的診斷方法以數(shù)值的形式判斷電路故障狀態(tài)，描述起來更加簡單直觀，其可操作性及直觀性大大由于傳統(tǒng)的故障診斷方法。并且此方法僅需要少量的先驗(yàn)樣本即可完成對(duì)診斷系統(tǒng)的訓(xùn)練。因此，該算法在模擬電路故障診斷方面具有一定優(yōu)勢。然而，雖然基于盒維數(shù)算法的模擬電路故障診斷方法可以簡單直觀地進(jìn)行故障狀態(tài)判別，但仍存在許多方面不足：

①由于盒維數(shù)算法受自身定義限制，在無標(biāo)度區(qū)及記盒數(shù)量影響下，其數(shù)值具有一定波動(dòng)性。主要體現(xiàn)在：受儀器精度限制及無標(biāo)度區(qū)影響，不同故障信號(hào)存在個(gè)體差異;受采樣參數(shù)及噪聲影響，相同故障信號(hào)盒維數(shù)值會(huì)略有差異。這一現(xiàn)象將對(duì)該方法的實(shí)際應(yīng)用造成一定影響。

②該方法雖然不需要大量的先驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是必須克服上述波動(dòng)因素的影響，本章的做法是觀察其平均值趨于穩(wěn)定，而其樣本數(shù)量已超過100個(gè)。

③與傳統(tǒng)算法相同的是，該方法也需要對(duì)故障信號(hào)的整個(gè)波動(dòng)狀態(tài)范圍進(jìn)行全覆蓋，因此，采樣參數(shù)的選擇也需要人為進(jìn)行掌控。

④該方法所反映的是故障信號(hào)整體的分形特征，但僅僅是在一個(gè)測度上，并不能全面體現(xiàn)信號(hào)的局部特征，為此導(dǎo)致的混疊現(xiàn)象對(duì)故障診斷是極為不利的。

4? 結(jié)束語

分形理論的應(yīng)用范圍十分廣泛，將其作為一種信號(hào)處理的有力工具，應(yīng)用于模擬電路故障特征提取有其明顯的優(yōu)勢。但是，分形維數(shù)歸根結(jié)底僅僅是在被測信號(hào)眾多特征之中取出的一種，僅憑這一種特征無法對(duì)信號(hào)做到更加準(zhǔn)確的刻畫。因此，僅僅依靠分形維數(shù)一種手段解決本文所要研究的問題是不夠的，還需將故障信號(hào)做進(jìn)一步處理，比如利用多重分形對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)維。

參考文獻(xiàn)：

[1]Liangliang Zhang， Yuanhua Jia. The Arrival Passenger Flow Short-Term Forecasting of Urban Rail Transit Based on the Fractal Theory[M]. Springer Berlin Heidelberg， 2014.

[2]MichaelFrame， AmeliaUrry. Fractal Worlds[M]. Yale University Press： 2019.

[3]侯榮濤，朱飛.分形理論及其意義[J].信息與電腦（理論版），2011（01）：196.

[4]Rama Cont. Fractals in Engineering[M]. Springer London：2005.

[5]孫霞.分形原理及應(yīng)用[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2003.

[6]Yu. V. Gulyaev， A. A. Potapov. Application of Fractal Theory， Fractional Operators， Textures， Scaling Effects， and Nonlinear Dynamics Methods in the Synthesis of New Information Technologies in Radio Electronics [J]. Springer journal， 2019， 64（9）.