田正華 吳迪

摘 要：本文對緩和曲線在切線坐標系中近似公式的取項進行誤差分析。結(jié)果表明，在復合型線路和精度要求較高的橋梁施工建設(shè)中，緩和曲線弧長和緩和曲線終點半徑在比值大于等于1，利用緩和曲線切線坐標系下的公式進行計算時，有時不能按照近似公式進行取項，應(yīng)當適當增加公式中的高次項，建議取到公式第五項后。

關(guān)鍵詞：緩和曲線;匝道;切線坐標系

中圖分類號：U412.34文獻標識碼：A文章編號：1003-5168（2020）22-0093-03

Abstract： In this paper， the error analysis of approximate formula of transition curve in tangent coordinate system was carried out. The results show that when the ratio of the arc length of the transition curve and the end radius of the transition curve is greater than or equal to 1， when the formula under the tangent coordinate system of the transition curve is used to calculate， sometimes the term cannot be taken according to the approximate formula. It is suggested that the higher-order term in the formula should be added appropriately， and it is suggested to take the fifth term after the formula.

Keywords： transition curve;ramp;tangent coordinate system

隨著交通行業(yè)的快速發(fā)展，城市之間的距離被大大縮短，而高速公路則是連接城市與城市之間最快捷的通道。在高速公路的匝道處，道路的平面線型特殊，常伴有一些復合型平面線路中線、[S]型平面線路中線和卵形線路中線。這些線路中線與常見的線路中線類型相比具有特殊性，如線路轉(zhuǎn)角較大;交點處緩和曲線長度大于圓曲線長度;一些匝道附近不出現(xiàn)圓曲線而直接由緩和曲線相連。本文重點討論在這些線型中，對緩和曲線的切線坐標系計算時保留項數(shù)的問題。

1 緩和曲線特性

如圖1所示：緩和曲線連接直線和圓曲線，它與直線相切的切點處，半徑為無窮大[ρ=∞]，隨著曲線長度的逐漸增長，其曲率半徑[ρ]逐漸減小，直到和圓曲線相接處的半徑為圓曲線的半徑。緩和曲線具有的特性是曲線上任一點的曲率半徑[ρ]與該點至起點的曲線長[L]成反比，即

式中：[C]為緩和曲線半徑變更率，是一個常數(shù);[L]為緩和曲線上任意點至緩和曲線起點的曲線長。

具有上述特性，可作為緩和曲線的線形有多種，我國公路、鐵路多采用回旋曲線（輻射螺旋線）。

2 緩和曲線方程式

如圖2所示：以緩和曲線起點的切線方向為[x]軸，與切線方向垂直，且過緩和曲線的起點與緩和曲線在同一側(cè)為[y]軸，建立切線坐標系。[L]表示緩和曲線上任意一點到緩和曲線起點的弧長;[β]表示緩和曲線上一點與[x]軸的夾角;[L0]表示緩和曲線長;[R]表示線路中緩和曲線終點，或圓曲線起點的半徑。在緩和曲線上取一段微分弧長[dL]，弧長對應(yīng)的圓心角為[dβ]，則：

記[xi]、[yi]分別為公式中[x]和[y]的第[i]項的絕對值。

公式中略去高于7次方的項即為：

式中，[x、y]為緩和曲線任意點的坐標。[R]為設(shè)計半徑;[L]為緩和曲線上任意點至緩和曲線起點的曲線長;[L0]為緩和曲線長。

3 近似公式的誤差

公式（10）的近似誤差可以用省略的高次項的首項估計，這個值與緩和曲線起點到該點的弧長[L]、緩和曲線長[L0]和緩和曲線終點的半徑[R]有關(guān)。對于同一緩和曲線，當[L=L0]時誤差最大，一般該值小于0.1 m就滿足設(shè)計要求，小于0.005 m滿足橋梁測設(shè)精度要求。接下來只討論[L=L0]時的誤差。

緩和曲線是在直線和圓曲線間插入的一段曲率半徑由無窮大漸變至圓曲線的半徑的過渡曲線。設(shè)置緩和曲線的作用是使鐵路、公路線路在曲線部分的超高和加寬由直線進入圓曲線時超高和加寬逐漸變化達到應(yīng)有的加寬和超高，具有緩和過渡作用。緩和曲線主要應(yīng)用于國家等級鐵路和三級以上的公路。《公路工程技術(shù)標準》（JTG B01—2017）規(guī)定：“緩和曲線的長度應(yīng)根據(jù)其計算行車速度求算”[1]，并規(guī)定了最小值。當[R]>100 m時，緩和曲線采用最小值，根據(jù)公式（10）計算的誤差很小，可以忽略。

根據(jù)項目實際經(jīng)驗，緩和曲線在線路中的取值如表1所示。

研究者將上述取值結(jié)合《公路工程技術(shù)標準》（JTG B01—2017）規(guī)定采用數(shù)值模擬的方法，模擬不同緩和曲線長對公式（10）的誤差進行估算，得到的結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出，當[L0R<1]時，公式（10）的近似精度是可以滿足緩和曲線設(shè)計要求。

當[L0R≥1]時，公式（10）的近似精度就不能滿足設(shè)計要求，特別是高速路口匝道處，一些非標準線型和橋梁工程等測量精度要求高的工程中更是如此。

那么公式（10）的誤差究竟有多大，高次項究竟取到第幾項才能達到規(guī)范要求。根據(jù)《公路路線設(shè)計規(guī)范》（JTG D20—2017），如果采用基本型或S型曲線，應(yīng)保證圓曲線最小長度與回旋曲線長度相等，則最長[L0]滿足[2]：

如果回旋線間不插入圓曲線而形成凸型曲線，則：

[α]取最大值5.5弧度，則[L0R=5.5]。

公式余項的誤差大小如表3所示。

從表3不難發(fā)現(xiàn)，在規(guī)范要求下，公式（10）的精度完全達不到規(guī)范要求，但當[L0R=2.75]時，對公式（10）增加一項余項，基本就可滿足要求;當[L0R=5.5]時，公式（10）則需增加兩項余項才能滿足規(guī)范要求[3-5]。

4 結(jié)語

在復合型線路和精度要求較高的橋梁施工建設(shè)中，當出現(xiàn)[L0R≥1]時，利用緩和曲線切線坐標系下的公式進行計算時，有時不能按照近似公式進行取項，應(yīng)當適當增加公式中的高次項，建議取到公式第五項后。

參考文獻：

[1]中華人民共和國交通運輸部.公路工程技術(shù)標準：JTG B01—2017[S].北京：人民交通出版社，2017.

[2]中華人民共和國交通運輸部.公路路線設(shè)計規(guī)范：JTG D20—2017[S].北京：人民交通出版社，2017.

[3]張志剛.線橋隧施工測量[M].成都：西南交通大學出版社，2014.

[4]黃家宏.緩和曲線近似公式的取項[J].硅谷，2008（6）：92.

[5]盧印剛.公路緩和復曲線（卵形曲線）特性的研究及其應(yīng)用[J].礦山測量，2006（4）：53-56.