董航宇， 劉勤明， 葉春明， 劉文溢

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

高鐵制動(dòng)系統(tǒng)是能夠使快速運(yùn)行中的高鐵強(qiáng)制減速或停止的裝置。如果制動(dòng)系統(tǒng)失效，不僅不利于列車的啟動(dòng)運(yùn)行，而且還關(guān)系到運(yùn)行中的列車能否安全停車，從而對(duì)旅客的安全造成巨大影響。本文對(duì)高鐵制動(dòng)裝置的周期性預(yù)防性維修進(jìn)行研究。

我國高鐵發(fā)展速度快，維修理論也在不斷地完善。長期以來，一直是采用定期維修、臨時(shí)維修和事后維修的制度[1]，具體框架如圖1 所示。隨著理論的深入，長期的維修也暴露出問題。第一，維修不足。制動(dòng)機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有高度集成化、復(fù)雜化的特征，單純依靠簡單的機(jī)械磨損理論無法對(duì)故障規(guī)律進(jìn)行精確的反映。第二，過度維修。出現(xiàn)過度維修是因?yàn)椴考c部件之間存在性質(zhì)上的差異，造成某些故障率低的部件存在過度維修的可能。設(shè)備在長期維修不足與過度維修的情況下工作，這使得設(shè)備的壽命不能發(fā)揮到最佳狀態(tài)，設(shè)備的故障率高也直接影響著鐵路系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益和可持續(xù)發(fā)展。

圖 1 現(xiàn)階段高鐵維修模式Fig. 1 Current high-speed rail maintenance mode

卓明良等[2]基于無限時(shí)間域理論，研究了周期內(nèi)時(shí)間成本函數(shù)與最優(yōu)維護(hù)時(shí)間間隔之間存在的動(dòng)態(tài)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了以最低預(yù)防性維修成本為目標(biāo)的函數(shù)模型。李熒等[3]提出了基于Monte-Carto 思想的統(tǒng)計(jì)模擬算法，利用故障信息計(jì)算預(yù)防性維修周期，對(duì)決策模型分布函數(shù)進(jìn)行定義和參數(shù)估計(jì)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了維修決策模型和算法的可靠性。鄭睿等[4]提出了在時(shí)間延遲維修理論的基礎(chǔ)上，利用發(fā)生故障數(shù)據(jù)和預(yù)防性維修后的初始數(shù)據(jù)的估計(jì)值來計(jì)算維修間隔期內(nèi)故障次數(shù)的期望值，最終通過案例分析，計(jì)算出最佳的維修間隔期。Han 等[5]提出了在二維模式下預(yù)防性維修的模型，并對(duì)其過程進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)了二維預(yù)防性維修模型，通過實(shí)例分析了該模型的適用性和有效性。He 等[6]提出了面向可靠性的預(yù)防性維護(hù)，分析了制造階段的產(chǎn)品可靠性的退化機(jī)制，并提出了3 種情景模型，分析每種發(fā)生的概率，最終通過一個(gè)案例研究驗(yàn)證所開發(fā)模型的性能。Kang 等[7]提出了一種綜合控制模型，利用半馬爾可夫決策過程的無限時(shí)間范圍動(dòng)態(tài)規(guī)劃，以總生產(chǎn)成本最小化為目標(biāo)，應(yīng)用連續(xù)值迭代算法來獲得近似最優(yōu)控制策略，最后通過實(shí)例分析驗(yàn)證了該策略的有效性。

目前在鐵路維修方面大多采用定期維修的方式，在順序維修和多領(lǐng)域維修方面還需要進(jìn)一步研究[8]。本文通過引入改善因子，基于可靠度的約束下，假設(shè)設(shè)備可靠度降低到某一閾值要進(jìn)行一次預(yù)防性維修，以最低維修成本為目標(biāo)函數(shù)，求得設(shè)備在壽命周期內(nèi)的最佳預(yù)防性維修次數(shù)。結(jié)合當(dāng)前研究的不足，分析了添加改善因子前后與成本的關(guān)系和可靠度與成本之間的關(guān)系。最后以算例結(jié)果證明了引入改善因子的有效性。同時(shí)該模型可用于設(shè)備實(shí)際的維修中，用來降低設(shè)備的總成本以及制定效率更高的維修計(jì)劃。

2 研究方法

2.1 問題描述

設(shè)備性能隨著壽命的增長而慢慢降低，從歷史統(tǒng)計(jì)的故障數(shù)據(jù)來看，往往是故障率增加，役齡減小，即失效率隨著時(shí)間的增大而增大，所以，在修復(fù)完后設(shè)備達(dá)到可靠度閾值所需要的時(shí)間也變得相對(duì)更短。本文假設(shè)設(shè)備的故障率服從Weibull 分布，Weibull 分布能夠精確地描述設(shè)備的壽命問題，利用它可以大致推測出機(jī)電設(shè)備的剩余壽命、維修時(shí)間以及維修間隔，從而提高設(shè)備的使用壽命[9]。

2.2 模型假設(shè)

模型假設(shè)：

a. 設(shè)備的初始狀態(tài)為全新狀態(tài)。

b. 設(shè)備采用修復(fù)非新的政策，修補(bǔ)后不改變故障率函數(shù)。

c. 系統(tǒng)后備維修資源充足，發(fā)現(xiàn)故障可立即維修。

d. 假設(shè)車輛的保養(yǎng)工作放到夜間進(jìn)行，不占用工作時(shí)間。

e. 設(shè)備在運(yùn)行工作中的可靠度需高于最低可靠度閾值。

2.3 維修策略

當(dāng)設(shè)備處于穩(wěn)定運(yùn)行的狀態(tài)，隨著里程的增加，可靠度降低到所設(shè)定需要進(jìn)行維修的閾值時(shí)，在工作結(jié)束后即進(jìn)行預(yù)防性維修。如圖2所示，T1為維修周期，T2為預(yù)防維修時(shí)間。如果在還未達(dá)到正常需要預(yù)防性維修的時(shí)間發(fā)生了故障，則需要立即進(jìn)行事后維修。有兩種維修方式，即修補(bǔ)型維修和更換型維修。

圖 2 預(yù)防性維修模式Fig.2 Preventive maintenance mode

在圖3 中，當(dāng)設(shè)備正常工作到T1時(shí)需要預(yù)防性維修（T2）后繼續(xù)工作，但下一個(gè)工作周期未達(dá)到正常工作周期（T1），僅到T3時(shí)（T3

圖 3 修補(bǔ)性維修模式Fig.3 Patch repair mode

在圖4 中，當(dāng)預(yù)防性維修（T2）結(jié)束后繼續(xù)工作到T3時(shí)（T3

圖 4 更換性維修模式Fig.4 Replacement maintenance mode

3模型建立

3.1 可靠度

高鐵設(shè)備發(fā)生故障與多個(gè)因素有關(guān)，如系統(tǒng)、工作時(shí)間和環(huán)境。以高鐵制動(dòng)機(jī)為研究對(duì)象，在基于可靠度的預(yù)防性維修（preventive maintenance, PM）[10]的維修模式下，假設(shè)設(shè)備有一個(gè)可靠度的閾值，當(dāng)設(shè)備的可靠度即將到達(dá)閾值R時(shí)，就進(jìn)行一次預(yù)防性維修。可靠度表示為

式中：λij表示第i個(gè)維修周期內(nèi)第j次預(yù)防性維修后的故障率函數(shù)；Rj為系統(tǒng)運(yùn)行中的可靠度；Tij表示第i個(gè)維修周期內(nèi)第j次和第（j+1）次預(yù)防性維修的時(shí)間間隔。

對(duì)式（1）取對(duì)數(shù)，可得

這說明在預(yù)防性維修周期內(nèi)每次故障出現(xiàn)的概率相同。

3.2 改善因子

由于設(shè)備的可靠度在實(shí)際運(yùn)行過程中不是線性降低的走勢(shì)，為了模擬設(shè)備真實(shí)的運(yùn)行狀態(tài)，使計(jì)算得到的數(shù)據(jù)更符合設(shè)備真實(shí)的衰減規(guī)律，有兩種常用的改善因子[11?12]被廣泛使用，即役齡遞減因子ai和故障率遞增因子bi。周曉軍等[13]在文獻(xiàn)[11?12]的基礎(chǔ)上，同時(shí)考慮了兩種改善因子的優(yōu)點(diǎn)，建立了一種混合式的故障率演化模型。在預(yù)防性維修后設(shè)備的故障率函數(shù)為

式中：λi表示第i個(gè)維修周期的故障率函數(shù)；Ti表示第i次與第（i+1）次預(yù)防性維修的時(shí)間間隔；t表示運(yùn)行時(shí)間的區(qū)間內(nèi)的運(yùn)行分鐘數(shù)。

3.3 故障率函數(shù)

為了驗(yàn)證加入改善因子的作用，進(jìn)行了對(duì)比分析?？紤]改善因子情況下的故障率函數(shù)

式中：β為形狀參數(shù)；η為尺度參數(shù)。

不考慮改善因子的情況下的故障率函數(shù)

設(shè)備在第i+1 個(gè)維修間隔期的失效率

對(duì)式（6）兩邊取對(duì)數(shù)，利用最小二乘法和微分學(xué)定理[13]可得役齡遞減因子ai和故障率遞增因子bi。

3.4 數(shù)學(xué)模型

由假設(shè)可知，在設(shè)備的壽命周期中，設(shè)備在一個(gè)更換維修周期內(nèi)的總費(fèi)用式中：Cpk為一次預(yù)防性維修產(chǎn)生的費(fèi)用；Cck為第k次故障產(chǎn)生的費(fèi)用；Csk為第k次停機(jī)產(chǎn)生的費(fèi)用；Crk為第k次更換產(chǎn)生的費(fèi)用；Tik為第i個(gè)預(yù)防性維修周期內(nèi)第k次與第（k+1）次的時(shí)間間隔；N為維修次數(shù)。

式（7）可簡化為

設(shè)備的維修周期最低維修費(fèi)用

式中：Tzk為總的運(yùn)行時(shí)間；Rkm為設(shè)置的不同的可靠度；Nk為第k次運(yùn)行的維修次數(shù)。

式(9)中Tzk可簡化為

考慮可靠度時(shí)的最低維修費(fèi)用

不考慮可靠度時(shí)的最低維修費(fèi)用

4 算例分析

從互聯(lián)網(wǎng)中查找相關(guān)數(shù)據(jù)，得到高鐵制動(dòng)機(jī)發(fā)生故障的數(shù)據(jù)及對(duì)應(yīng)的里程。現(xiàn)以我國最先進(jìn)的復(fù)興號(hào)為例，運(yùn)行數(shù)據(jù)如表1 所示。

表 1 故障數(shù)據(jù)[14]Tab.1 Fault data

假設(shè)設(shè)備運(yùn)行在50 000 min 內(nèi)，因故障產(chǎn)生的費(fèi)用Cc=10 000 元，單次預(yù)防性維修費(fèi)用Cp為5 000 元，設(shè)備更換產(chǎn)生的費(fèi)用Cr=15 000 萬元，停機(jī)損失費(fèi)用Cs=20 000 萬元。計(jì)算中單次預(yù)防性維修時(shí)間T2=30，故障維修所需要的時(shí)間T3=60，更換性維修所需要的時(shí)間T5=90。假設(shè)改善因子設(shè)備初始役齡為0，初始可靠度R=0.9，R每降低0.05 需要進(jìn)行一次預(yù)防性維修，系統(tǒng)可靠度Rmin=0.75。

4.1 設(shè)備故障率分析

Weibull 分布的失效率[15]引用式（6）。

故障密度函數(shù)

可靠度函數(shù)

故障率函數(shù)如式（4）所示。β，η通常從設(shè)備的歷史故障數(shù)據(jù)中獲得[16]。

利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，將式（6）兩邊取兩次對(duì)數(shù)，可得

式中：F(Ni)為第i條數(shù)據(jù)第N次預(yù)防性維修后的失效概率，F(xiàn)(Ni)取累計(jì)分布函數(shù)的中位數(shù)；n為樣本容量。

通過10 次故障所對(duì)應(yīng)的里程數(shù)據(jù)擬合出一條直線，如圖5 所示，得到方程y=1.26x?13。擬合求得B=β=1.26，A=?βlnη=?13，得到η=30 242。所以，尺度參數(shù)為30242，形狀參數(shù)為1.26。設(shè)備故障率服從形狀參數(shù)β=1.26、尺度參數(shù)η=30 242 的Weibull 分布。設(shè)備故障率函數(shù)

圖 5 擬合數(shù)據(jù)Fig. 5 Fit data

4.2 結(jié)果分析

由表2 可知，設(shè)備生命周期中最低維修成本Ck=5.06 萬元，對(duì)應(yīng)的可靠度閾值為0.79，最優(yōu)預(yù)防性維修次數(shù)為4，即設(shè)備在第4 次預(yù)防性維修以后將進(jìn)行更換。

若考慮可靠度的限制，可靠度最低值Rmin=0.79，模擬單位總成本隨預(yù)防性維修次數(shù)N的變化趨勢(shì)如圖6 所示，最小單位成本為5.06 萬元，對(duì)應(yīng)的最佳維修次數(shù)N=4。若不考慮可靠度的限制，如圖7 所示，最小單位總成本68 400，對(duì)應(yīng)的最佳維修次數(shù)也為4。由此可以看出，若不考慮可靠度，設(shè)備會(huì)發(fā)生頻繁的故障，成本將會(huì)增加，不利于設(shè)備長期的維修。

考慮改善因子時(shí)，設(shè)備的適用壽命相對(duì)不考慮改善因子時(shí)更長，在即將進(jìn)行第6 次預(yù)防性維修時(shí)才會(huì)必須更換，如圖8 所示，可靠度降低的程度也比較緩慢，對(duì)設(shè)備的充分利用有積極的作用。不考慮改善因子時(shí)，設(shè)備在第4 次預(yù)防性維修之后就達(dá)到了可靠度閾值，必須對(duì)該設(shè)備進(jìn)行更換，過早地增加了設(shè)備更換的成本。

表 2 預(yù)防性維修次數(shù)、可靠度與成本之間的關(guān)系Tab.2 Relationships between the times of preventive maintenance, reliability and cost 萬元

圖 6 R=0.79 時(shí)預(yù)防性維修次數(shù)與成本的關(guān)系Fig. 6 Relationship between the times of preventive maintenance and cost when R=0.79

圖 7 考慮可靠度與不考慮可靠度時(shí)預(yù)防性維修次數(shù)與成本的關(guān)系Fig. 7 Relationship between the times of preventive maintenance and cost when considering or not considering reliability

根據(jù)以上分析可知，無論在考慮或不考慮可靠度時(shí)，設(shè)備最佳維修次數(shù)都為4 次，但是，不考慮可靠度的情況下，小修次數(shù)將會(huì)增多，導(dǎo)致設(shè)備停機(jī)次數(shù)增加，成本將會(huì)增加，不利于設(shè)備的正常運(yùn)行。當(dāng)不考慮改善因子時(shí)，設(shè)備可靠度降低的斜率會(huì)相較于考慮改善因子時(shí)大，導(dǎo)致設(shè)備需要更早地更換，同樣，成本也會(huì)增加。

圖 8 考慮或不考慮改善因子時(shí)預(yù)防性維修次數(shù)與可靠度之間的關(guān)系Fig. 8 Relationship between the times of preventive maintenance and reliability when considering or not considering improvement factors

5 結(jié) 論

通過對(duì)高鐵制動(dòng)機(jī)周期性預(yù)防維修的研究，建立了基于可靠度約束下的最低維修成本策略模型，并通過引入了改善因子，描述設(shè)備的正常衰退情況。算例還考慮了添加與未添加改善因子情況下分析比較可靠度下降的趨勢(shì)，以及考慮與不考慮可靠度限制時(shí)兩種情況下與成本之間的關(guān)系。結(jié)果表明，在加入可靠度與改善因子之后，設(shè)備運(yùn)行時(shí)間50 000 min 內(nèi)維修次數(shù)由10 次降低為4 次，同時(shí)停機(jī)次數(shù)減少，設(shè)備生命周期內(nèi)成本相較于未加入前有明顯的降低，本文改進(jìn)后的算法對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中設(shè)備的維修有一定的參考價(jià)值。但是，本文算例得出的故障率遞增因子與役齡遞減因子的數(shù)學(xué)表達(dá)式的計(jì)算有過于理想化的情況，未來可以從故障記錄中發(fā)掘因子與周期數(shù)和維修序數(shù)的耦合度來進(jìn)行全面的研究。