鄭 睿

（上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 公共經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200433）

我國(guó)企業(yè)對(duì)設(shè)備管理主要是采用計(jì)劃預(yù)修制，其核心工作之一是確定出合理預(yù)防維修（preventive maintenance，PM）計(jì)劃，以便達(dá)到減少設(shè)備停機(jī)時(shí)間的目的[1]。實(shí)踐中我國(guó)企業(yè)主要憑維修工程師的經(jīng)驗(yàn)或根據(jù)廠家規(guī)定的說明書來制定維修計(jì)劃，一直存在維修不足和維修過剩兩大問題[2]。

考慮到我國(guó)大中型企業(yè)都有比較完整的故障記錄數(shù)據(jù)，包括：每次故障發(fā)生時(shí)間及其修理時(shí)間、每次PM 活動(dòng)所需要的時(shí)間及其檢查發(fā)現(xiàn)的缺陷個(gè)數(shù)。因此，借鑒時(shí)間延遲維修理論[3-5]。在分析和應(yīng)用這些記錄數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過建立故障過程模型，揭示故障機(jī)理。同時(shí)為了證實(shí)故障過程模型的正確性，建立設(shè)備故障過程的計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng)。

目前有關(guān)故障過程仿真的研究主要集中于以下幾個(gè)方面：a. 從材料的物理性能角度，分析各種材料性能失效過程，提示各種材料的失效機(jī)理[6-7]；b. 基于機(jī)器學(xué)習(xí)的仿真方法，診斷復(fù)雜設(shè)備系統(tǒng)的故障部位，分析故障形成的原因，從而解決實(shí)故障部位難以發(fā)現(xiàn)的實(shí)際工程問題[8]；c. 應(yīng)用仿真方法，聯(lián)合決策生產(chǎn)計(jì)劃和預(yù)防維修計(jì)劃[9]，或應(yīng)用蒙特卡羅仿真方法[10]，模擬故障過程并進(jìn)行維修決策。這些研究從不同角度揭示設(shè)備故障，或材料失效的過程。但是從數(shù)學(xué)建模角度，建立故障過程模型和仿真系統(tǒng)，這方面工作有待深入研究。

故障過程模型與仿真系統(tǒng)的建立，將有效解決我國(guó)多年來存在的定期維修計(jì)劃科學(xué)性不足的難題，對(duì)于提高設(shè)備利用率，降低維修費(fèi)用具有重要理論意義和實(shí)踐價(jià)值。

1 問題描述

設(shè)備劣化是一個(gè)隨機(jī)過程。具體劣化過程又分為兩個(gè)階段，首先是缺陷的發(fā)生，然后缺陷進(jìn)一步劣化成為故障。從缺陷發(fā)生到故障發(fā)生的時(shí)間間隔稱為時(shí)間延遲[3]，記為h。缺陷發(fā)生是隨機(jī)的，時(shí)間延遲也是隨機(jī)的，這就是為什么維修決策難的原因。

正如前言指出：計(jì)劃預(yù)修制核心工作之一是如何制定出合理PM 計(jì)劃，或者PM 周期。國(guó)際上比較好的做法是，利用故障記錄數(shù)據(jù)（每次故障發(fā)生時(shí)間和停機(jī)時(shí)間）和PM 檢查數(shù)據(jù)（PM 活動(dòng)時(shí)檢查出的缺陷次數(shù)），得到設(shè)備的缺陷發(fā)生率λ、時(shí)間延遲h的分布函數(shù)。在參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，計(jì)算出維修間隔期T內(nèi)故障次數(shù)期望值，以及PM檢查出缺陷次數(shù)的期望值。最終應(yīng)用檢查模型計(jì)算出最佳PM 周期[11-13]，如圖1 所示。圖中：Ti為第i次PM 活動(dòng)的時(shí)間（i=1，2，···，m）；t（i?1）j為（Ti?1,Ti）期間第j次故障時(shí)間，其中j=1, 2, ···,ki?1。

圖 1 在（Ti-1,Ti）期間各次故障發(fā)生時(shí)間及PM 活動(dòng)觀察到的缺陷次數(shù)Fig.1 Observed failures and number of defects over time（Ti-1,Ti）

問題在于：a. 建立的故障模型是否正確，如何驗(yàn)證？只有故障模型驗(yàn)證正確之后才能應(yīng)用來進(jìn)行維修決策；b. 當(dāng)缺乏故障記錄數(shù)據(jù)時(shí)，如何對(duì)故障模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)？解決這些問題的對(duì)策：建立故障過程仿真系統(tǒng)，仿真系統(tǒng)生產(chǎn)的故障記錄數(shù)據(jù)和檢查數(shù)據(jù)，作為故障模型參數(shù)估計(jì)的原始數(shù)據(jù)；應(yīng)用這些仿真數(shù)據(jù)估計(jì)出模型參數(shù)，如果與輸入數(shù)據(jù)一致或在誤差范圍之內(nèi)，則證實(shí)所建立故障模型的正確性，從而可以應(yīng)用故障模型制定維修計(jì)劃。

2 完全檢查下設(shè)備故障模型的建立

2.1 假定條件及有關(guān)符號(hào)

通過對(duì)設(shè)備故障記錄數(shù)據(jù)的分析，本文提出了以下假定條件：

a. 檢查是完全的，PM 活動(dòng)能檢查出所有存在的缺陷；以及所有檢查出的缺陷在較短時(shí)間內(nèi)得到修復(fù)；

b. 缺陷的發(fā)生率為齊次泊松過程（HPP，homogeneous Poisson process）；

c. 各個(gè)缺陷的發(fā)生是相互獨(dú)立的，以及缺陷發(fā)生和故障發(fā)生也是兩個(gè)獨(dú)立的事件。

相應(yīng)地，符號(hào)記為：λ為缺陷發(fā)生率；v（t）為故障發(fā)生率；h為時(shí)間延遲，其分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別記為F（h）和f（h）；ENf(Ti?1,Ti)為（Ti?1,Ti）期間故障次數(shù)的均值；ENp(Ti)為在Ti時(shí)檢查發(fā)現(xiàn)的缺陷個(gè)數(shù)的均值。

2.2 最大似然函數(shù)

在（Ti?1,Ti）期間所有的事件，包括：在Ti時(shí)觀察到缺陷數(shù)ni，各次故障發(fā)生時(shí)間（見圖1），i=1, 2, ···,m。似然函數(shù)即是所有這些觀察事件概率的乘積，用L表示。

對(duì)式（1）兩邊取對(duì)數(shù)，得

a.p（在t（i?1）j發(fā)生故障）的計(jì)算。

如果缺陷的發(fā)生服從HPP，發(fā)生率為λ, 由u時(shí)發(fā)生缺陷所引發(fā)的在t時(shí)的故障發(fā)生率v（t）為

式中，Ti-1

相應(yīng)地，在（t（i?1）j,t（i?1）j+Δt）區(qū)間發(fā)生一個(gè)故障的概率為

b.p(在(Ti?1,Ti)期間各記錄故障之間無故障再發(fā)生)的計(jì)算。

由于故障過程為NHPP, 得到:

在（Ti-1,Ti）期間故障之間無故障再發(fā)生概率的對(duì)數(shù)函數(shù)為

c.P（在Ti時(shí)檢查出ni個(gè)缺陷）。

在Ti時(shí)刻檢查出缺陷個(gè)數(shù)的均值ENp（Ti）為

缺陷發(fā)生率為泊松過程，以及Ti時(shí)刻檢查出缺陷個(gè)數(shù)的均值為ENp（Ti）。因此，Ti時(shí)刻PM 活動(dòng)檢查發(fā)現(xiàn)ni個(gè)缺陷的概率為

式（4）除以Δt，對(duì)式（8）取對(duì)數(shù)，則對(duì)數(shù)似然函數(shù)表示為

根據(jù)故障記錄數(shù)據(jù)和PM 檢查數(shù)據(jù)，包括各個(gè)故障發(fā)生時(shí)間，以及PM 活動(dòng)時(shí)檢查出的缺陷個(gè)數(shù)，求式（9）最大值，即估計(jì)出參數(shù)λ和f（h）。

3 故障過程的仿真與結(jié)果分析

設(shè)備缺陷發(fā)生以及缺陷劣化成為故障，整個(gè)故障過程的仿真流程見圖2。圖中：RND（）表示隨機(jī)數(shù)；Int（）表示對(duì)ti取整數(shù)；Nd(k)表示在KT同期內(nèi)的缺陷數(shù)；Nf(k)表示在KT周期內(nèi)的故障數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見，假定時(shí)間延遲分布函數(shù)為指數(shù)分布，并最初設(shè)定λ=1.33，α=0.28，維修間隔期為7 d。具體步驟如下所示。

Step 1 產(chǎn)生缺陷的過程（服從泊松分布）。

其算法如下所示:

若計(jì)數(shù)過程{Nt，t≥0}是一個(gè)具有到達(dá)率為λ的齊次泊松過程，則它相應(yīng)的到達(dá)時(shí)間間隔A1，A2，···是一個(gè)具有參數(shù)1/λ的獨(dú)立分布的指數(shù)隨機(jī)變量。

圖 2 完全檢查下設(shè)備故障過程的計(jì)算機(jī)模擬仿真流程Fig. 2 Flowchart of simulation of the failure process of the equipment in case of perfect inspection

根據(jù)這一定理，如果泊松過程的到達(dá)時(shí)間為u1,u2,···，則到達(dá)時(shí)間間隔Ai=ui?ui?1（i=1, 2, ···）是一個(gè)指數(shù)隨機(jī)變量（參數(shù)1/λ）。因此，可循環(huán)地產(chǎn)生ui（假定ui?1已經(jīng)確定，且u0=0）

a. 產(chǎn)生U~U（0，1）；

b. 置ui=ui?1?（1/λ）lnU；

Step 2 計(jì)算每一個(gè)缺陷的時(shí)間延遲函數(shù)。

由于F（x）=1?exp（α,x），記每一個(gè)缺陷的時(shí)間延遲為h1，h2，···（i=1, 2, ···）。因此，可循環(huán)地產(chǎn)生hi：

a. 產(chǎn)生U~U（0，1）；

b. 置hi=?（1/α）lnU。

Step 3 統(tǒng)計(jì)每一周期中缺陷的個(gè)數(shù)和故障的次數(shù)。

計(jì)算t（i）=u（i）+h（i）。a. 如果t（i）kT，則在k周期內(nèi)的缺陷數(shù)增加一個(gè)，即Nd（k）=Nd（k）+1。

按照上述步驟，仿真10 次，共產(chǎn)生樣本數(shù)91 個(gè)，各個(gè)維修間隔期內(nèi)發(fā)生的故障次數(shù)及PM活動(dòng)時(shí)檢查出的缺陷個(gè)數(shù)見表1。

將上述模擬仿真產(chǎn)生數(shù)據(jù)（故障發(fā)生時(shí)間、PM 檢查發(fā)現(xiàn)的缺陷個(gè)數(shù)）代入式（9）中，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得=1.3000，=0.2798。仿真結(jié)果表明所建立的故障模型是正確的。

一旦證實(shí)故障模型正確后，即可應(yīng)用檢查模型制定出PM 計(jì)劃，具體應(yīng)用案例可參見文獻(xiàn)[1, 5]。

表 1 各個(gè)周期內(nèi)發(fā)生的故障次數(shù)及PM 檢查時(shí)發(fā)現(xiàn)的缺陷個(gè)數(shù)Tab.1 Number of failures in different cycles and defects identified in PMs

4 結(jié) 論

研究表明：a. 所建立的故障過程模型和故障過程仿真系統(tǒng)，直觀顯示從缺陷發(fā)生到故障形成的過程，特別是故障過程仿真系統(tǒng)的建立，解決了故障記錄數(shù)據(jù)缺乏下驗(yàn)證故障模型正確性的難題；b. 輸入故障記錄數(shù)據(jù)，如每次故障發(fā)生時(shí)間，以及每次PM 活動(dòng)檢查發(fā)現(xiàn)的缺陷個(gè)數(shù)，應(yīng)用所建立的故障過程模型，即可估計(jì)出缺陷發(fā)生率和時(shí)間延遲分布函數(shù)等參數(shù)。一旦得出這些參數(shù)，即可應(yīng)用檢查模型制定出科學(xué)的PM 計(jì)劃，從而有望有效解決多年存在的維修不足和維修過剩兩大問題。