劉 濤,張領(lǐng)科

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

常規(guī)的內(nèi)彈道過(guò)程中,彈丸在火藥燃?xì)獾膲毫ν苿?dòng)下加速運(yùn)動(dòng),完成發(fā)射過(guò)程。因此火藥在膛內(nèi)燃燒生成的燃?xì)鈮毫Φ淖兓头植家?guī)律是內(nèi)彈道學(xué)研究中的最重要參量。對(duì)膛內(nèi)燃?xì)鈮毫Φ臏y(cè)量一直是實(shí)驗(yàn)內(nèi)彈道學(xué)的重點(diǎn)研究對(duì)象。在內(nèi)彈道實(shí)驗(yàn)中,通常采用電測(cè)壓法和塑性測(cè)壓法2種測(cè)壓方法。其中塑性測(cè)壓法以銅柱測(cè)壓法為代表,亦是目前最為常用的測(cè)壓方法。

使用銅柱測(cè)壓法測(cè)量膛壓,即利用膛內(nèi)燃?xì)鈮毫κ广~柱壓縮,通過(guò)銅柱壓縮量與壓力表對(duì)比得到待測(cè)膛壓的峰值。這種方法使用方便,操作簡(jiǎn)單,經(jīng)濟(jì)性好且有相當(dāng)?shù)目煽慷?。但由于銅柱使用靜態(tài)壓力標(biāo)定而待測(cè)的火藥燃?xì)鈮毫閯?dòng)態(tài)加載,使得銅柱測(cè)壓法總是存在一定的動(dòng)、靜差,即由于靜態(tài)標(biāo)定、動(dòng)態(tài)測(cè)量所產(chǎn)生的誤差。一般來(lái)說(shuō),銅柱壓力與真實(shí)膛壓峰值有20%左右的差值。常用的修正方法有:①經(jīng)驗(yàn)修正法,②準(zhǔn)動(dòng)態(tài)標(biāo)定法,③系統(tǒng)構(gòu)建法,④預(yù)壓實(shí)驗(yàn)法。

本文基于銅柱塑性狀態(tài)的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系,以預(yù)壓過(guò)程作為靜態(tài)加載參考,考慮活塞慣性力的作用,建立銅柱測(cè)壓器系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,為動(dòng)態(tài)誤差分析建立包括預(yù)壓過(guò)程在內(nèi)的更為實(shí)用且簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型。

1 減少銅柱測(cè)量誤差的基本原理

實(shí)踐證明,測(cè)壓器活塞慣性和銅柱動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系是造成銅柱測(cè)壓器動(dòng)、靜差的2個(gè)主要原因[1]:①火藥燃?xì)鈮毫νㄟ^(guò)測(cè)壓器活塞壓縮測(cè)壓銅柱的同時(shí),活塞隨著火藥燃?xì)庀蜚~柱壓縮方向運(yùn)動(dòng),卸載時(shí)活塞由于慣性要繼續(xù)運(yùn)動(dòng)壓縮銅柱產(chǎn)生靜差,使得壓力測(cè)量值大于真實(shí)值;②塑性材料存在應(yīng)變率效應(yīng),塑性材料的實(shí)際應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與應(yīng)變率有關(guān),隨著加載速度增大,應(yīng)變率增大,材料的屈服極限將提高,使壓力測(cè)量值小于真實(shí)值。在內(nèi)彈道膛壓測(cè)量實(shí)驗(yàn)中,材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系的影響更大,尤其是小口徑槍炮膛內(nèi)動(dòng)態(tài)加載速率很大,銅柱測(cè)壓法測(cè)得的壓力小于真實(shí)壓力。本文將以銅柱應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為基礎(chǔ),對(duì)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行改進(jìn)簡(jiǎn)化。

在進(jìn)行銅柱測(cè)壓實(shí)驗(yàn)前需要對(duì)銅柱進(jìn)行預(yù)壓。不同批次銅柱之間,及同一批銅柱的個(gè)體之間,也存在著一定的機(jī)械性能的差異,為了對(duì)這一誤差進(jìn)行修正,常對(duì)出廠的銅柱使用壓力機(jī)以一定壓力進(jìn)行一次預(yù)壓,并記錄預(yù)壓的壓力和變形量,在測(cè)量膛內(nèi)壓力時(shí),根據(jù)預(yù)壓時(shí)體現(xiàn)的銅柱“軟硬程度”與同一批編表銅柱具有的平均機(jī)械性能的差異進(jìn)行修正。本文通過(guò)構(gòu)建銅柱的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,利用電子測(cè)壓器測(cè)得的壓力脈寬,提出一種通過(guò)數(shù)值計(jì)算獲得膛壓的數(shù)據(jù)處理方法,對(duì)銅柱測(cè)壓結(jié)果進(jìn)行修正,并借助量綱分析及相似理論進(jìn)行分析,給出了某實(shí)驗(yàn)條件下的修正公式。該方法可以提高銅柱測(cè)壓精度,更接近電子測(cè)壓器,滿足靶場(chǎng)校驗(yàn)時(shí)的更高精度的測(cè)量需求。

2 預(yù)壓過(guò)程中銅柱的本構(gòu)關(guān)系

測(cè)壓銅柱常利用銅柱壓力機(jī)以緩慢加壓的方式對(duì)銅柱進(jìn)行預(yù)壓。銅柱壓力機(jī)原理[2]如圖1所示。

圖1 銅柱壓力機(jī)原理

在壓力機(jī)杠桿左端有一支撐點(diǎn)O,右端有載荷FQ加于加載點(diǎn)B處,測(cè)壓銅柱放在著力點(diǎn)A處的升降臺(tái)上。沒(méi)有載荷時(shí),A點(diǎn)的支撐彈簧恰好能維持杠桿水平平衡。預(yù)壓時(shí)在B點(diǎn)加上載荷FQ,并驅(qū)動(dòng)升降臺(tái)緩慢上升,保持杠桿水平平衡,這時(shí)銅柱就在壓縮力F作用下發(fā)生塑性變形,由原始高度H0縮短為預(yù)壓后高度Hb,0,如圖2所示。

圖2 銅柱受力示意圖

由杠桿平衡條件可知:

(1)

在預(yù)壓過(guò)程中,由于加載過(guò)程較為緩慢,整個(gè)過(guò)程可以視為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,可以使用靜態(tài)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)得到銅柱的靜態(tài)本構(gòu)關(guān)系:

(2)

式中:應(yīng)力σ=F/Sc,Sc為銅柱橫截面積;ε為應(yīng)變;E為彈性模量;Es為塑性段的彈性模量;σs為彈性極限。

圖3 銅柱靜態(tài)加載曲線

(3)

根據(jù)靜態(tài)壓力與壓后高關(guān)系表,即可通過(guò)式(3)換算σc與y的關(guān)系,該關(guān)系通常為三次多項(xiàng)式的形式。根據(jù)銅柱壓力對(duì)照表及實(shí)驗(yàn)中的使用情況,在使用銅柱測(cè)壓法測(cè)量膛壓時(shí),選取適當(dāng)規(guī)格的銅柱的情況下,銅柱變形量與最大膛壓具有良好的線性關(guān)系[3];同時(shí),用于測(cè)壓的銅柱在靜態(tài)壓力下的力學(xué)性能具有一定的一致性,故銅柱的靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下:

(4)

式中:y0為預(yù)壓變形量,對(duì)于無(wú)預(yù)壓銅柱y0=0。

測(cè)壓銅柱由純凈的電解銅加工而成,含銅量不小于99.97%,軟、硬機(jī)械性能及產(chǎn)生的變形能均勻一致,純銅的靜態(tài)彈性極限約為30 MPa,即銅柱的彈性極限σe與應(yīng)變?chǔ)舉為定值。通過(guò)銅柱預(yù)壓的變形量和預(yù)壓壓力即可根據(jù)式(4)得到銅柱塑性階段的彈性模量Es及式(4)中的系數(shù)a0,a1。

3 銅柱測(cè)壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

3.1 基本假設(shè)

根據(jù)銅柱測(cè)壓器的工作原理[2],基于銅柱測(cè)壓的特點(diǎn)和分析方便,提出以下基本假設(shè):

①忽略測(cè)壓油管道效應(yīng)和測(cè)壓油的慣性影響;

②將活塞桿視為剛體而不計(jì)其變形;

③忽略銅柱內(nèi)應(yīng)力波的傳播,在測(cè)試過(guò)程中銅柱各個(gè)截面所受應(yīng)力在同一時(shí)刻相等;

④不計(jì)活塞桿受到的摩擦。

3.2 活塞運(yùn)動(dòng)方程

圖4為銅柱測(cè)壓系統(tǒng)簡(jiǎn)化受力模型。

圖4 銅柱測(cè)壓系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

活塞的運(yùn)動(dòng)方程:

(5)

F(y,y′)=Scσ

(6)

式中:σ為銅柱動(dòng)態(tài)應(yīng)力。

3.3 銅柱的本構(gòu)方程[4]

(7)

C(ε)=C1e-C2ε+C0

(8)

式中:C0,C1,C2為常數(shù),可通過(guò)材料動(dòng)態(tài)性能測(cè)試實(shí)驗(yàn)得出。

3.4 變形協(xié)調(diào)方程

對(duì)于預(yù)壓銅柱:

(9)

3.5 銅柱靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

通常根據(jù)銅柱出廠時(shí)的靜態(tài)壓力與壓后高關(guān)系表(pc,Hb)可換算出σc與y的三次函數(shù)關(guān)系[5]。由于測(cè)壓銅柱本身的力學(xué)性能具有較好的一致性[6],且在測(cè)壓實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)出線性規(guī)律,在此可進(jìn)行簡(jiǎn)化,即

(10)

上文中的三階常微分方程初值問(wèn)題可化為一階常微分方程組的初值問(wèn)題。

①?gòu)椥远巍?/p>

(11)

初始條件:

結(jié)束條件:

y1(t)=ye

以此時(shí)刻參數(shù)作為塑性段初始條件,同時(shí)補(bǔ)充條件y3(0)=0。

②塑性段。

(12)

當(dāng)已知測(cè)壓銅柱的材料參數(shù)時(shí),根據(jù)內(nèi)彈道實(shí)驗(yàn)時(shí)銅柱的壓后高Hb,t及壓力脈寬即可計(jì)算得到內(nèi)彈道壓力峰值pm,c。計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 計(jì)算流程圖

4 計(jì)算分析

4.1 基本參數(shù)

文獻(xiàn)[4]中,選用型號(hào)為φ8 mm×13 mm 1201批次的銅柱和電子測(cè)壓器,在不同裝藥號(hào)下分別進(jìn)行膛壓測(cè)試實(shí)驗(yàn)。通過(guò)該批銅柱的壓后高和壓力對(duì)照表得到各種裝藥條件下所測(cè)壓力pm,t,以電子測(cè)壓器所測(cè)壓力曲線得到電測(cè)壓力峰值pm,e和壓力脈寬tm。

本文以上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為例進(jìn)行分析,實(shí)驗(yàn)中所使用的銅柱力學(xué)性能參數(shù)作為計(jì)算常量,如表1所示。根據(jù)實(shí)驗(yàn)中獲得的電測(cè)壓力脈寬[7],以半正弦壓力脈沖作為動(dòng)態(tài)加載的壓力信號(hào),以實(shí)驗(yàn)中的電測(cè)壓力峰值和銅柱查表壓力作為參考依據(jù),如表2所示。表中,p0為預(yù)壓壓力,Hb,0為預(yù)壓后銅柱高度,Hb,t為實(shí)驗(yàn)后銅柱高度,pm,e為電測(cè)壓力峰值,tm為電測(cè)壓力脈寬。

表1 計(jì)算常量

表2 輸入?yún)?shù)[3]

利用表2中的電測(cè)壓力及脈寬可以確定實(shí)驗(yàn)中銅柱的平均加載速率范圍為:74.79～131.73 MPa/ms。

4.2 計(jì)算結(jié)果

表3 銅柱測(cè)壓法與模擬計(jì)算的對(duì)比

由表3可以看出,在計(jì)算壓后高與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差0.003 mm以內(nèi)時(shí),仿真計(jì)算的壓力峰值比通過(guò)查表獲得的壓力值更接近電測(cè)最大壓力,誤差可以減小到3%～10%,但仍存在隨著被測(cè)壓力增大誤差也增大的問(wèn)題。為了進(jìn)一步減小誤差與誤差帶,借助量綱分析及相似理論[8-10],得出經(jīng)驗(yàn)公式:

(13)

(14)

修正后的結(jié)果如表4所示,表中,p′m為修正后的壓力峰值,δc為計(jì)算壓力峰值相對(duì)電測(cè)壓力峰值的誤差,δ′c為修正后的壓力誤差。

表4 修正結(jié)果

修正后的誤差能夠被控制在±3%以內(nèi),尤其是對(duì)高壓情況下的預(yù)測(cè)誤差更是穩(wěn)定在1.65%左右,說(shuō)明在內(nèi)彈道射擊實(shí)驗(yàn)中可以通過(guò)這種數(shù)據(jù)處理方法來(lái)提高銅柱測(cè)壓法的準(zhǔn)確度。由于銅柱測(cè)壓本身存在著動(dòng)態(tài)響應(yīng)性差的固有缺陷,上述公式中的系數(shù)僅適用于本文中的加載條件。

5 結(jié)論

本文使用銅柱測(cè)壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,進(jìn)一步考慮了銅柱力學(xué)性能的個(gè)體差異,通過(guò)銅柱預(yù)壓過(guò)程得到了銅柱的靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系;采用數(shù)值方法計(jì)算得到火炮膛壓的峰值,借助量綱分析及相似理論對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正并對(duì)高壓實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了預(yù)測(cè),結(jié)果一致性良好。得到如下結(jié)論:

①采用本文提出的最大壓力計(jì)算模型,與傳統(tǒng)的一次預(yù)壓銅柱測(cè)壓法相比,不再需要借助銅柱壓力表,只需要輸入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)即可獲得結(jié)果,后續(xù)可將整個(gè)銅柱測(cè)壓實(shí)驗(yàn)中的變形量數(shù)據(jù)由激光等方式自動(dòng)化測(cè)量直接導(dǎo)入計(jì)算機(jī),操作更加簡(jiǎn)單;

②在74.79～131.73 MPa/ms的平均加載速率下,提出了銅柱壓力修正公式(14),對(duì)高壓情況下預(yù)測(cè)的壓力誤差顯著小于傳統(tǒng)查表方法,對(duì)靶場(chǎng)內(nèi)彈道實(shí)驗(yàn)有積極意義。