任震紅

摘 要：數(shù)學(xué)上，“單位”是指計(jì)量事物標(biāo)準(zhǔn)量的名稱，比如質(zhì)量單位有克、公斤、噸等。這些單位名稱都是用來(lái)表示物體重量的時(shí)候來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的。在我們的教學(xué)中，單位名稱的重要性一般會(huì)放在解題格式和規(guī)范中，然而，有些教師往往會(huì)忽視單位名稱的重要性，在教學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)單位不夠重視。因此，深挖“單位名稱”的本質(zhì)意義和作用，對(duì)我們提升教學(xué)側(cè)重點(diǎn)有著重要意義。通過(guò)單位名稱的顯身，對(duì)應(yīng)，溯源，意義都能折射出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、運(yùn)用和建構(gòu)，能有效提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)挝幻Q;對(duì)應(yīng);佐證;解決問(wèn)題的能力

中圖分類號(hào)：G623.5????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）15-017-2

筆者在最近的六年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)共性問(wèn)題：很多時(shí)候，學(xué)生對(duì)單位名稱的理解是無(wú)意識(shí)的，書寫是隨意性的。在對(duì)一些解決問(wèn)題的情境中是猶豫而模糊的。單位名稱就是我們熟悉的“量”，筆者認(rèn)為，以“單位名稱”為介，可以很好地提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，將小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握得更加穩(wěn)固。

解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)建模雖然更多體現(xiàn)了方案、計(jì)算、報(bào)告的三大過(guò)程，但學(xué)生還不能很自覺(jué)地對(duì)自己的解題過(guò)程有很好的解釋和驗(yàn)證。因此，筆者以“單位名稱”為介，來(lái)規(guī)劃、解釋、驗(yàn)證解題的方案。筆者下面結(jié)合具體的情境，談以下幾點(diǎn)：

一、以“單位名稱”的顯身，將抽象和具體相結(jié)合，建立解決問(wèn)題的“承重墻”

單位名稱可以約定俗成地認(rèn)為就是計(jì)量單位的名稱，課程標(biāo)準(zhǔn)把計(jì)量單位分散穿插在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等內(nèi)容中，其原因就是對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，單位名稱不是具體的事物，而是很抽象的，需要有具體的環(huán)境或?qū)嵨镒髦?。在?shí)際解決問(wèn)題的建模中，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，解決問(wèn)題時(shí)，數(shù)的計(jì)算重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)量的理解，單位名稱就變得邊緣化，顯得無(wú)視感！例如：某市出租公司的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)（含3千米）的收費(fèi)8元，超過(guò)3千米的部分按每千米收費(fèi)1.5元，若小李付車費(fèi)17元，則小李乘出租車行駛了多少千米？

有學(xué)生這樣計(jì)算：

17-8=9（元）

9÷1.5=6（千米）

6+8=14（千米）

這一類似的出租車分段收費(fèi)的解決問(wèn)題我們還是比較常見的，學(xué)生最容易犯錯(cuò)。現(xiàn)在將抽象的單位名稱帶入算式，17元-8元=9元，9÷1.5=6千米，6千米+8元=14千米。將計(jì)算中隱身的單位名稱顯露出來(lái)，學(xué)生就發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤了，而且解釋的也非常輕松：相同的單位才能相加減！價(jià)格分段計(jì)算，路程量也要分段匯總。再次修正解題：6千米+3千米=9千米?！皢挝幻Q”的現(xiàn)身就是助力學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有深層次理解。再例如：一輛汽車行駛64千米蠔油8升，行駛每千米耗油多少升？每升油夠行駛多少千米？學(xué)生在低學(xué)段學(xué)習(xí)時(shí)，習(xí)慣求每份數(shù)用大數(shù)目除以小數(shù)目，沒(méi)有對(duì)“量”和除法的意義有深層次的聯(lián)系，因而到了高段學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)于誰(shuí)除以誰(shuí)很迷茫，主要是低年段的經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移。部分學(xué)生列算式是憑感覺(jué)：①64÷8=8升;②8÷64=0.125千米?；蛴酶怕实姆椒ń忸}：①64÷8=8升;②64÷8=0.125千米。憑感覺(jué)的運(yùn)氣不好就全錯(cuò)，用概率的方法做，可以做對(duì)一半！然而我們都知道正確的不等于理解！從量與平均分的關(guān)系性理解中我們可以這樣認(rèn)為：將A類大小的量平均分配給B類大小的量，結(jié)果得到的是B類1個(gè)單位量中分配到A類量的多少！那對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們就可以從量的名稱入手：①將升的多少分配給千米數(shù)，算式：8升÷64千米=0.125升/千米;②將千米數(shù)分配給升數(shù)，算式：64千米÷8升=8千米/升。從量的平均分中，學(xué)生提升了解題能力，進(jìn)而學(xué)生在建模中進(jìn)一步驗(yàn)證規(guī)律：后面單位數(shù)÷前面單位數(shù)=每份數(shù)。單位名稱的顯身，將抽象和具體結(jié)合，為學(xué)生解決問(wèn)題的能力中的內(nèi)虛增添助力，建立起解決問(wèn)題的“承重墻”。

二、以“單位名稱”意義溯源，增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性，打通知識(shí)點(diǎn)的“隔斷墻”

數(shù)學(xué)是一門公認(rèn)的具有嚴(yán)密的符號(hào)體系、獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)、精準(zhǔn)的圖像言語(yǔ)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评淼膶W(xué)科。其中思維嚴(yán)謹(jǐn)性對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的作用無(wú)可替代。學(xué)生在解決問(wèn)題中的不嚴(yán)謹(jǐn)往往顯露出數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)，而大多時(shí)候演“跑龍?zhí)住钡摹皢挝幻Q來(lái)說(shuō)，它的嚴(yán)謹(jǐn)性更能讓學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)，將知識(shí)點(diǎn)之間的壁壘打通，從而觸類旁通！例如：一個(gè)圓形飛碟，直徑是16厘米。這個(gè)圓形飛碟的面積是多少平方厘米？學(xué)生一看是一個(gè)套用圓面積公式的題，直接列綜合算式：

3.14×（16÷2）2=200.96（平方厘米）

也會(huì)有學(xué)生分步列算式：

16÷2=8（厘米）

8×8=64（厘米）

3.14×64=200.96（平方厘米）計(jì)算的條理和公式的運(yùn)用及得數(shù)是正確的。但對(duì)于8×8=64的單位名稱，學(xué)生們有著不同的看法。生1：因?yàn)楣嚼锉仨殹?.14才能是圓的面積，這里還沒(méi)有乘到3.14這一步，所以64單位是厘米;生2：半徑×半徑，又可以說(shuō)成是半徑的平方，自然，結(jié)果中也應(yīng)該有平方，所以64的單位是平方厘米;生3：我認(rèn)為是平方厘米。可以想象一下，外方內(nèi)圓，將大正方形分成四個(gè)小正方形，一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是8厘米，里面小正方形的邊長(zhǎng)正好等于圓的半徑，半徑×半徑=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出的是正方形的面積，所以用平方厘米作單位。學(xué)生通過(guò)單位名稱的規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，從而考慮到量的平方，及數(shù)形結(jié)合來(lái)思考，打通了知識(shí)點(diǎn)之間的通道。借著這次的單位名稱的大辯論，將這一題題給學(xué)生進(jìn)行思考，題目：下圖中正方形的面積是8平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？學(xué)生按照以往的圓的公式求法，必定想破腦袋來(lái)求正方形的邊長(zhǎng)，可是由于8不是一個(gè)完全平方數(shù)，無(wú)法求出邊長(zhǎng)，于是提示剛才的辯論中你們得到什么啟示！學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，8平方厘米是就是半徑的平法，用3.14×8=25.12平方厘米求出圓的面積。由一個(gè)單位名稱的辯論，延伸到其他的相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的研究。再如：把45厘米、60厘米的兩根彩帶剪成長(zhǎng)度一樣的短彩帶且沒(méi)有剩余，并且每根彩帶盡可能長(zhǎng)，一共可以剪成幾段？學(xué)生的解題思路就是求45和60的最大公因數(shù)。很多學(xué)生的答案就是（45，60）=15，答一共可以剪成15段。雖然思路是對(duì)的，但是對(duì)于單位名稱的理解不到位，首先沒(méi)有理解好，每段彩帶盡可能長(zhǎng)，這個(gè)“長(zhǎng)”的單位名稱是什么？如果對(duì)“長(zhǎng)”的單位名稱沒(méi)有清醒的認(rèn)知，那么就會(huì)有15段的錯(cuò)誤，當(dāng)和學(xué)生分析時(shí)，我將單位名稱“厘米”寫在了“長(zhǎng)”字的后面后，學(xué)生再一看問(wèn)句中的單位名稱“段”字后，就意識(shí)到算出15，只是長(zhǎng)度，沒(méi)有算出段數(shù)，總而進(jìn)一步修正解答：45÷15+60÷15=7（段）。

三、以“單位名稱”的對(duì)應(yīng)為媒，保留核心思維方式，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用的“螺旋地帶”

第一種解答：

5×8000=40000（厘米）

40000厘米=400米

第二種解答：

5×80=400（米）

第三種解答：

解：設(shè)明華小學(xué)到少年宮的實(shí)際距離是x厘米。

5/x=1/8000

x=5×8000

x=40000

40000厘米=400米

第一種解答用倍數(shù)關(guān)系，然后換算單位。第二種依托線段比列尺的意義1厘米相當(dāng)于80米，類推5厘米就是5個(gè)80米。需要理解數(shù)值比例尺的意義。第三種：用比例尺的來(lái)列方程解答，解設(shè)時(shí)單位是厘米，解比例之后，再換算單位。方法多了，學(xué)生的選擇范圍就大了，是一件好事，但是問(wèn)題也來(lái)了。第一種方法學(xué)生理解誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，會(huì)在求圖上距離時(shí)搞混。第二種方法在求圖上距離時(shí)還是用乘法。第三種看上去比較正式，但是很多學(xué)生的“解：設(shè)……”這一句文字會(huì)直接抄題目問(wèn)句最后的單位名稱“米”——解：設(shè)明華小學(xué)到少年宮的實(shí)際距離是x米，而且解比例之后也不進(jìn)行換算。以上問(wèn)題的核心就是學(xué)生對(duì)單位名稱及量的理解不到位，解鈴還須系鈴人，筆者嘗試了第四種解答方法：

1∶8000=1厘米∶80米=5厘米∶（ ）米

用填空法來(lái)解決問(wèn)題，首先解題的核心思想還是比例尺的意義及對(duì)應(yīng)思想，其次化數(shù)值比列尺為帶單位名稱的對(duì)應(yīng)比，最后用比的性質(zhì)來(lái)解答。或許我們習(xí)慣了列式解答，方程解答，用填空式的解答是一種新嘗試。在筆者的班中，這種方法受到了90%學(xué)生歡迎，并且將這種方法放到了求比例尺，求圖上距離的問(wèn)題中，單位名稱的對(duì)應(yīng)，降低了學(xué)生思維的難度，保留了核心思維，也拓展了數(shù)學(xué)應(yīng)用的“螺旋地帶”。

四、以“單位名稱”為思路佐證，力求策略的多樣化，打造解題能力的“百變空間”

“量”以載道，“單位”貫之，單位名稱在解題策略中為學(xué)生的思路佐證，讓學(xué)生能更好的多角度思考問(wèn)題。例如：一個(gè)書架有4層。每層有20本書，這樣的3個(gè)書架大約一共放多少本書？

方法一：20×4=80（本），80×3=240（本）

方法二：3×4=12（層），20×12=240（本）

方法三：3×20=30（本），60×4=240（本）

這是學(xué)生學(xué)習(xí)連乘應(yīng)用題時(shí)的一道問(wèn)題，書上有配圖幫助學(xué)生思考列式。在算式意義表達(dá)時(shí)借助單位名稱來(lái)為解題思路佐證。方法一：20×4是求的一個(gè)書架多少本。方法二：3×4是求的三個(gè)書架一共有多少層，所以單位名稱是“層”。方法三：3×20是求的3個(gè)一層有多少本，所以這兩個(gè)單位都是“本”。利用單位名稱的不同引導(dǎo)學(xué)生為解題思路分析，進(jìn)而更深層次理解了這幾種不同的解題思路，對(duì)于提高學(xué)生反向分析問(wèn)題的能力有很大幫助。鍛煉學(xué)生的逆向思維，打造解決問(wèn)題能力的“百變空間”。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)綢都小學(xué)，江蘇 蘇州215000）