李隆禧 郭肖雯 黃泳譽(yù)

摘 要：數(shù)學(xué)開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生遇見問題解決問題的能力，本文分別對加州數(shù)學(xué)G6、人教版六年級課本和北師大六年級課本的數(shù)學(xué)開放題進(jìn)行統(tǒng)計分析，然后分析國內(nèi)課本和加州數(shù)學(xué)G6在開放題方面的優(yōu)勢，并提出了國內(nèi)六年級數(shù)學(xué)課本可能的改進(jìn)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)開放題;加州數(shù)學(xué)G6;人教版教材;北師大版教材

一、 研究問題

在中國知網(wǎng)，以數(shù)學(xué)開放題為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索可以搜到文獻(xiàn)549篇;以“數(shù)學(xué)開放題”為篇名進(jìn)行搜索可以找到文獻(xiàn)375篇。這說明數(shù)學(xué)開放題日益受研究者關(guān)注。若以“數(shù)學(xué)開放題”和“比較研究”為主題進(jìn)行搜索，則只能搜到文獻(xiàn)8篇。這說明對于數(shù)學(xué)開放題的比較研究不夠透徹，需要進(jìn)一步進(jìn)行研究。因此開展了數(shù)學(xué)開放題的對比研究，將中美兩國六年級數(shù)學(xué)課本中的數(shù)學(xué)開放題作為比較研究的對象，并將研究問題確定為：中美六年級數(shù)學(xué)課本開放題數(shù)量、類型比較研究。

二、 研究意義

（一）數(shù)學(xué)開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力

數(shù)學(xué)開放題中的綜合開放題可以給學(xué)生一個實(shí)際的情境，而不告訴學(xué)生問題是什么，它要求學(xué)生通過自己的觀察去發(fā)現(xiàn)問題。也不硬性要求學(xué)生使用特定的條件，而是允許學(xué)生自己給定條件。還不限定學(xué)生采用哪種解題策略，而是讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)用自己的策略解決問題。進(jìn)而使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)開放題的過程中，提升發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。

（二）數(shù)學(xué)開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)開放題有些來自現(xiàn)實(shí)生活，其出題意圖是讓學(xué)生體驗從實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)問題，再到解決數(shù)學(xué)問題最后下結(jié)論的過程，在這一過程中，學(xué)生采用的解題策略，進(jìn)行的分析、運(yùn)算、繪圖等都可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。有些開放題屬于策略開放題，其本身是一個純數(shù)學(xué)問題，但是學(xué)生可以嘗試通過不同的策略來解決同一個問題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

（三）數(shù)學(xué)開放題有利于師生關(guān)系的革新

教授數(shù)學(xué)開放題就是很好的選擇，教師通過給學(xué)生數(shù)學(xué)開放題，讓學(xué)生自行決定條件、策略、結(jié)論，這樣可以保障學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。同時，當(dāng)學(xué)生有了自己的問題情境后，教師可以協(xié)助學(xué)生進(jìn)行研究，由于沒有事先的預(yù)案，教師在幫助學(xué)生解決問題的過程中將自覺地從傳統(tǒng)的上下級關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)椤捌降戎械氖紫薄Ｔ僬?，?dāng)師生共同解決數(shù)學(xué)開放題時，教師也不再采取舊式講知識、做練習(xí)的方法，而是變?yōu)樾拚龑W(xué)生在探究過程中表現(xiàn)出來的錯誤，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和認(rèn)真仔細(xì)的學(xué)習(xí)態(tài)度，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我教育，讓教師成為學(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者。

三、 研究方法

使用文獻(xiàn)分析法對課本中數(shù)學(xué)開放題數(shù)量和種類進(jìn)行研究，本文分別分析加州數(shù)學(xué)G6、人教版六年級課本和北師大六年級課本，找出其中的數(shù)學(xué)開放題并且判定其類型，同時記錄課本中總的練習(xí)題數(shù)量，之后對這些開放題進(jìn)行統(tǒng)計。依據(jù)其類型分布以及數(shù)量占比來進(jìn)行分析。

四、 數(shù)學(xué)開放題定義

數(shù)學(xué)開放題在目前還尚不存在統(tǒng)一的定義，主流的數(shù)學(xué)開放題一般有三種分法，分別是：（1）答案不確定的數(shù)學(xué)問題;（2）條件不完備，結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題;（3）依據(jù)題目中的未知要素所在位置分為條件開放題、結(jié)論開放題、策略開放題和有兩個及以上未知要素的綜合開放題。其中，第三種對于數(shù)學(xué)開放題的定義更加全面，分別從情景條件、操作者選擇的解決方案、不同的結(jié)果及包含不同的未知要素等方面來定義數(shù)學(xué)開放題，是一種更加科學(xué)的數(shù)學(xué)開放題定義方式。因此本文中對數(shù)學(xué)開放題的定義選擇采用第三種定義方式，若其未知的要素是假設(shè)，則判定為條件開放題;若其未知的要素是推理，則判定為策略開放題;若其未知的要素是判斷，則判定為結(jié)論開放題;若問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論都需要在情境中自行設(shè)定與尋找，則判定為綜合開放題。

五、 研究對象的選擇

（一）選擇加州數(shù)學(xué)作為美國參考教材的原因

首先，美國的體制決定其不太可能出版國家級別的教育大綱，因此其沒有國家統(tǒng)一的教材，只能選擇有代表性的數(shù)學(xué)教材。加利福尼亞州在美國屬于教育大州，教育水平優(yōu)秀。其次，該類圖書的作者來源豐富，從普通教師到教授都有，參考性比較強(qiáng)。再者，加州數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容與我國的課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容有相似性，如加州數(shù)學(xué)G6課本的內(nèi)容與我國六年級數(shù)學(xué)課本都包含分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、幾何初步知識等。

（二）選擇人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材作為國內(nèi)參考教材的原因

人教版和北師大版的使用范圍更大，更具有代表性，除去江蘇、上海以及其他教育實(shí)驗地區(qū)，剩下的大部分地區(qū)均采用人教版或者北師大版的教材。廣大的使用量讓其作為研究對象將更具有代表性。由于人教版和北師大版都使用的比較廣泛，單純將其中任何一個版本的教材作為我國教材的代表都是不合適的，因此，將人教版和北師大版同時作為國內(nèi)參考對象，力求結(jié)論更加客觀。

六、 研究結(jié)果分析

（一）統(tǒng)計加州數(shù)學(xué)G6教材數(shù)學(xué)開放題

（二）統(tǒng)計人教版教材數(shù)學(xué)開放題

（三）統(tǒng)計北師大版教材數(shù)學(xué)開放題

（四）三種數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)開放題統(tǒng)計結(jié)果分析

1. 加州數(shù)學(xué)G6與人教版六年級數(shù)學(xué)開放題對比

（1）對比數(shù)學(xué)開放題總數(shù)量，加州數(shù)學(xué)G6的數(shù)學(xué)開放題要多于人教版的數(shù)學(xué)開放題數(shù)量，加州數(shù)學(xué)G6共有158道數(shù)學(xué)開放題，人教版則有23道數(shù)學(xué)開放題，加州數(shù)學(xué)的總開放題數(shù)量更多。

（2）對比數(shù)學(xué)開放題占比，人教版六年級的占比是4.5%，而加州數(shù)學(xué)G6的占比則是3.4%，人教版的占比高。

（3）對比數(shù)學(xué)開放題在各章分布，加州數(shù)學(xué)G6在每一章都有數(shù)學(xué)開放題分布，而人教版的數(shù)學(xué)開放題則在幾章沒有分布。

（4）對比開放題的類型，加州數(shù)學(xué)G6的綜合開放題較多，人教版的結(jié)論開放題較多。

2. 加州數(shù)學(xué)G6與北師大版六年級數(shù)學(xué)開放題對比

（1）對比數(shù)學(xué)開放題總數(shù)量，加州數(shù)學(xué)G6的數(shù)學(xué)開放題要多于北師大版的數(shù)學(xué)開放題數(shù)量，加州數(shù)學(xué)G6共有158道數(shù)學(xué)開放題，北師大版則有35道數(shù)學(xué)開放題，加州數(shù)學(xué)G6的總開放題數(shù)量更多。

（2）對比數(shù)學(xué)開放題占比，北師大版六年級數(shù)學(xué)的占比是7%，而加州數(shù)學(xué)G6的占比則是3.4%，北師大版的占比更高，是加州數(shù)學(xué)G6的兩倍多。

（3）對比數(shù)學(xué)開放題在各章分布，加州數(shù)學(xué)G6在每一章都有數(shù)學(xué)開放題分布，而北師大版的數(shù)學(xué)開放題則在幾章沒有分布。

（4）對比開放題的類型，加州數(shù)學(xué)G6的綜合開放題較多，北師大版的結(jié)論開放題較多。

七、 結(jié)論

在對加州數(shù)學(xué)G6、人教版六年級數(shù)學(xué)課本和北師大版六年級數(shù)學(xué)課本開放題進(jìn)行比較后，分析了國內(nèi)課本和加州數(shù)學(xué)G6在開放題方面的優(yōu)勢，并提出了國內(nèi)六年級數(shù)學(xué)課本可能的改進(jìn)建議。

（一）研究結(jié)果

1. 國內(nèi)課本數(shù)學(xué)開放題方面的優(yōu)勢

（1）國內(nèi)課本數(shù)學(xué)開放題比重較美國的大。國內(nèi)課本開放題占得比重較大，即使是相對少的人教版課本，數(shù)學(xué)開放題在課本練習(xí)中的比重也達(dá)到了4.5%。這是好的現(xiàn)象，說明國內(nèi)的編者開始逐步認(rèn)可數(shù)學(xué)開放題的重要地位，肯定了數(shù)學(xué)開放題對學(xué)生學(xué)習(xí)和知識建構(gòu)以及教師教學(xué)的作用。

（2）國內(nèi)課本數(shù)學(xué)開放題在類型上更注重結(jié)論開放題和條件開放題。六年級的學(xué)生尚處于具體運(yùn)算階段，其抽象思維能力以及思考問題的能力還有待提高，且其生活經(jīng)驗較少，接觸事物不多。若過多要求去做自行決定情景的綜合開放題，則會經(jīng)常導(dǎo)致學(xué)生提出的問題情境與所學(xué)內(nèi)容相關(guān)性不大或者學(xué)生難于提出問題情境的情況發(fā)生。條件開放題和結(jié)論開放題可以解決這個問題。條件開放題允許學(xué)生自行從給定的情境中選取數(shù)據(jù)并解決問題;結(jié)論開放題則是讓學(xué)生在經(jīng)過一系列運(yùn)算后能夠根據(jù)運(yùn)算結(jié)果給出判斷。由于有前面題干或者運(yùn)算的鋪墊，學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷將大大減少，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

2. 國內(nèi)課本數(shù)學(xué)開放題方面的劣勢

（1）國內(nèi)課本某些章節(jié)數(shù)學(xué)開放題比重偏大，如北師大版上冊第五章：數(shù)據(jù)處理，其數(shù)學(xué)開放題比重達(dá)到了64.3%，過多的數(shù)學(xué)開放題可能會影響學(xué)生的判斷。

（2）數(shù)學(xué)開放題種類不夠豐富，結(jié)論開放題和條件開放題較多，而綜合開放題和策略開放題略少。

3. 加州數(shù)學(xué)G6數(shù)學(xué)開放題方面的優(yōu)勢

（1）加州數(shù)學(xué)G6的題量更豐富，在整個六年級的課本中提供了4645道練習(xí)題。相較于國內(nèi)人教版的506道練習(xí)題和北師大版的500道練習(xí)題而言加州數(shù)學(xué)G6的題量已經(jīng)相當(dāng)可觀了。這些題目可以為學(xué)生提供強(qiáng)度更大的練習(xí)，從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)得到更好的鞏固。這一點(diǎn)國內(nèi)課本也非常重視，國內(nèi)的課本一般會有配套的練習(xí)冊，為學(xué)生提供課后相應(yīng)的練習(xí)。

（2）加州數(shù)學(xué)G6的開放題在每個章節(jié)的分布優(yōu)于國內(nèi)。根據(jù)圖1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以得知，加州數(shù)學(xué)G6的教材在每一章都有開放題，并且每一章的開放題類型都比較全面。筆者認(rèn)為這樣的好處是能夠讓學(xué)生得到更全面的鍛煉，綜合開放題能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)源自生活;條件開放題可讓學(xué)生保持學(xué)習(xí)主體地位;策略開放題可以豐富學(xué)生解決問題的思維;結(jié)論開放題可以增強(qiáng)學(xué)生的判斷力。因此，將不同類型的開放題布置在不同的章節(jié)中將促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

（3）加州數(shù)學(xué)G6開放題標(biāo)識更加明確。加州數(shù)學(xué)G6的開放題比較明顯，一般情況下會在該題前面用彩色字體寫明“open-ended”字樣，明確告訴學(xué)生這是數(shù)學(xué)開放題。這有利于學(xué)生及時轉(zhuǎn)換思維，選擇對應(yīng)的解決問題的策略。

（二）國內(nèi)課本的改進(jìn)建議

1. 保持結(jié)論開放題和條件開放題的占比

這是國內(nèi)教材的優(yōu)勢，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)保持，但不應(yīng)大幅增加，若使學(xué)生形成錯誤的思維定式將得不償失。

2. 適當(dāng)增加綜合開放題和策略開放題的數(shù)量

綜合開放題不僅僅是情景題，也可以是綜合了學(xué)生自主選擇條件并進(jìn)行判斷的純數(shù)學(xué)問題。綜合開放題可以既讓學(xué)生擁有主體地位，又讓教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，還可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。通過對比圖1、圖2、圖3的數(shù)據(jù)，筆者認(rèn)為國內(nèi)教材有必要增加綜合開放題。同時，國內(nèi)課本還應(yīng)適當(dāng)增加策略開放題的比重，并更加明確策略的定義，讓學(xué)生知道用電腦來解決數(shù)學(xué)問題也是解題策略之一，解題策略不應(yīng)局限在紙筆。

3. 數(shù)學(xué)開放題應(yīng)當(dāng)分布更廣泛

通過圖2和圖3的數(shù)據(jù)可知，國內(nèi)教材有些章節(jié)沒有明顯的數(shù)學(xué)開放題分布，這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)解決。數(shù)學(xué)開放題可以讓教師判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)而讓教學(xué)更有目的性。若在抽象性開始提高的章節(jié)不出現(xiàn)開放題則可能讓學(xué)生的解決問題的思路變得局限，不利于其數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

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[3]鄧小俐.中美初中數(shù)學(xué)教材中習(xí)題的對比研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2002.

作者簡介：

李隆禧，郭肖雯，黃泳譽(yù)，廣東省佛山市，廣東省佛山市禪城區(qū)佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院。