中學(xué)的方法解決特殊二次不定方程

羅嘉雋

(福建省三明市梅列區(qū)洋溪中學(xué) 365000)

不定方程一般來講，我們只能給出不定方程的求解的思路方法，利用數(shù)學(xué)方法技巧，目的要將不定方程轉(zhuǎn)化成已解決的結(jié)果的方程.這就要求需要相當(dāng)熟練的初等和高等的數(shù)學(xué)知識(shí)，才可以在不定方程中研究出有價(jià)值的結(jié)果.但是，這不是絕對(duì)的，在初等的證明中，具有熟練的初等數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)也會(huì)能得到好的成果.二次不定方程與我們中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)聯(lián)系，可以用一些中學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)，解決幾類二次不定方程.

一、形如x1+x2+x3+…+xn=y2二次不定方程的整數(shù)解

二次不定方程有很多特殊的類型，對(duì)于特殊類型我們可以方便地研究出一些好的性質(zhì)，其實(shí)在中學(xué)我們接觸到的不定方程主要是一次不定方程，二次不定方程較少.中學(xué)我們學(xué)習(xí)了數(shù)列，其中數(shù)列an=2n-1(n∈Z+)對(duì)數(shù)列求和，發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造出一類二次不定方程，而且這類不定方程的整數(shù)解有一定規(guī)律.發(fā)現(xiàn)奇數(shù)數(shù)列是此類不定方程的整數(shù)解.

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

………………………

1+3+5+7+…+(2n-1)=n2(n∈Z+)

證明1,3，5，7，…，2n-1，…是等差數(shù)列，

an=2n-1(n∈Z+).

發(fā)現(xiàn)奇數(shù)列求和時(shí)右邊出現(xiàn)了二次項(xiàng)，如果把奇數(shù)列換成未知數(shù)，二次項(xiàng)換為未知數(shù)，由此啟發(fā)歸納一種類型的二次不定方程，形如x1+x2+x3+…+xn=y2.其中要求x1，x2，x3，…,xn，都不為零，因?yàn)槿羝渲幸粋€(gè)為零那么方程的左邊就相當(dāng)于少一個(gè)元變?yōu)閚-1個(gè)元形式.

x=y2，

有整數(shù)解x=1，y=1;

x1+x2=y2，

有整數(shù)解x1=1，x2=3，y=2;

x1+x2+x3=y2，

有整數(shù)解x1=1，x2=3，x3=5，y=3;

……

x1+x2+x3+…+xn=y2，

有整數(shù)解x1=1，x2=3，x3=5，…，xn=2n-1(n∈Z+)，y=n.

顯然零解也滿足方程.

此類不定方程的形式為x1+x2+x3+…+xn=y2(n∈Z+)，奇數(shù)列是此類不定方程的一個(gè)解x1=1，x2=3，x3=5，…,xn=2n-1，y=n是方程的整數(shù)解.

例1求方程x1+x2+x3+x4+x5+x6=y2

(x1，x2，x3，…，x6，y,都不為零)的整數(shù)解.

解方程左邊有6項(xiàng)，滿足這樣形式的整數(shù)解可以看做6項(xiàng)an=2n-1的數(shù)列求和，則x1=1,x2=3,x3=5,x4=7,x5=9,x6=11,y=6是滿足方程的整數(shù)解.

由于等差數(shù)列的求和公式出現(xiàn)了二次項(xiàng)，那么我們將此結(jié)果一般化的話，只要是一個(gè)等差數(shù)列的每一項(xiàng)是整數(shù)，那么通過求和公式構(gòu)造出一類二次不定方程，那么這個(gè)整數(shù)列的等差數(shù)列，是此類不定方程的整數(shù)解.

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d(n∈Z+)，當(dāng)a1和d是整數(shù)，那么這個(gè)等差數(shù)列是整數(shù)列.

其中整數(shù)列an=a1+(n-1)d(n∈Z+)，y=n是不定方程的整數(shù)解.

(其中x1，x2，x3，x4,x5,y，都不為0).

左邊有5項(xiàng)，滿足這樣形式的整數(shù)解，可以看成是a1=2，d=3.

an=2+(n-1)3的前5項(xiàng)求和，n=5，則x1=2,x2=5,x3=8,x4=11,x5=14,y=5是方程的整數(shù)解.

二、余弦定理形式的不定方程

中學(xué)還接觸到了余弦定理，那么當(dāng)三角形ABC三邊為未知數(shù)，形如余弦定理形式的二次不定方程整數(shù)解，可以把問題轉(zhuǎn)而尋找滿足方程整數(shù)邊的的三角形.

如果三角形ABC的三條邊分別a，b，c，當(dāng)a，b，c為整數(shù)時(shí)，那么形如

a2+b2-c2-2abcosC=0

的方程有整數(shù)解ma,mb,mc.

例3三角形ABC的三邊分別為a=2，b=4，c=5，

當(dāng)二次不定方程在有幾何意義下，如滿足余弦定理的形式a2+b2-c2-2abcosC=0(-1≤cosC≤1).

那么滿足這樣情況的不定方程，可以結(jié)合余弦定理的幾何意義來找不定方程的整數(shù)解.

三、形如ax2+bxy=c(a,b,c∈Z+)二次不定方程的整數(shù)解

形如ax2+bxy=c可以觀察到方程的左邊可以進(jìn)行因式分解，將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩因式相乘的形式，簡(jiǎn)化二次不定方程，具體參見以下例題.

例4求方程x2-xy=5的整數(shù)解.

解將方程進(jìn)行因式分解x(x-y)=5,

x,y∈Z+，x，x-y是5的約數(shù).

本文到此，構(gòu)造一類等差數(shù)列求和形式的二次不定方程，聯(lián)系中學(xué)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列進(jìn)行結(jié)合，找出此類二次不定方程特殊的整數(shù)解，由余弦定理的形式構(gòu)造了有幾何意義的一類二次不定方程.

二次不定方程是研究不定方程的入門，聯(lián)系中學(xué)接觸的一些知識(shí)，對(duì)啟發(fā)人們對(duì)不定方程的興趣有著一定的作用，對(duì)研究高次不定方程有著過度借鑒的作用，與中學(xué)的等差數(shù)列和余弦定理相聯(lián)系，能夠使中學(xué)生引起興趣.不定方程研究是數(shù)論中的一個(gè)難點(diǎn)，但不定方程的形式簡(jiǎn)單易懂，內(nèi)容豐富方法多樣，研究不定方程，對(duì)人們智慧是一個(gè)挑戰(zhàn)，探索數(shù)學(xué)深處奧秘的一步.學(xué)習(xí)不定方程能夠鍛煉數(shù)學(xué)思維與邏輯能力，拓展數(shù)學(xué)知識(shí)面，提高數(shù)學(xué)分析能力與解決問題能力.