幾道2020年導(dǎo)數(shù)試題的新解法

劉士香 劉才華

(1.山東省泰安市寧陽(yáng)第一小學(xué) 271400；2.山東省泰安市寧陽(yáng)第一中學(xué) 271400)

例1(2020全國(guó)卷1文科20題)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解(1)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增(過(guò)程從略).

當(dāng)x∈(-,-1)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,+)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，于是gmax(x)=g(-1)=e.又從而f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件為則的取值范圍為).

例2(2020年全國(guó)卷1理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

解(1)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增(過(guò)程從略).

設(shè)h(x)=x2+2x+2-2ex(x>0)，則h′(x)=2(x+1-ex).由熟悉的不等式ex≥x+1得h′(x)<0，所以h(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，則h(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2,+)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，從而

例3(2020年全國(guó)2卷理科21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性；

解(1)由f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx得

解法2由f(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx

得|f(x)|=2|sinx||sinx||sinx||cosx|.

將上述n個(gè)式子相乘得

由|sinxsin22nx|≤1得

|sin3xsin32xsin34xsin32n-1xsin32nx|

(1)求b；

(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

綜上，結(jié)論得證.

例5(2020年高考山東卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

(2)由題意知x>0且a>0.

當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)F(a)=aex-1-lnx+lna，則F(a)在a∈[1,+)上單調(diào)遞增，則由熟悉的不等式ex≥x+1和lnx≤x-1得F(a)≥F(1)=ex-1-lnx≥x-lnx≥1，即當(dāng)a≥1時(shí)，有f(x)≥1；

當(dāng)0

綜上知a的取值范圍為a≥1.