一些計(jì)算現(xiàn)象

鄧柯 馮利民

當(dāng)我們?cè)谶M(jìn)行豎式計(jì)算的時(shí)候，加減法的運(yùn)算順序?yàn)閍的個(gè)位數(shù)到b的個(gè)位數(shù)，再由a的十位數(shù)到b的十位數(shù)，如有更多位數(shù)則依次添加。如12加16得28，16減12得4。乘法的運(yùn)算順序?yàn)閍的個(gè)位數(shù)和十位數(shù)分別乘以b的個(gè)位數(shù)，又到a的個(gè)位數(shù)和十位數(shù)分別乘以b的十位數(shù)，12乘以16得192。這就是加減法和乘法的運(yùn)算順序。

現(xiàn)在當(dāng)我們用乘法的運(yùn)算順序來(lái)算加法的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)一些看似無(wú)意義的結(jié)果。比如12和16，用2和1分別加6后再用2和1分別加1，結(jié)果會(huì)是308。舉另一例，12和16每一位各加一后是23和27，結(jié)果是550。單獨(dú)拿這些結(jié)果來(lái)看并沒(méi)有意義，但當(dāng)你用這個(gè)結(jié)果減去a和b的和時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果總是它們的和的十倍。如308-（12+16）=308-28=280，550-50=500。在a和b為正的二位數(shù)的情況下，就一定會(huì)有這個(gè)現(xiàn)象。

我們把在豎式計(jì)算中以乘法的運(yùn)算順序進(jìn)行加法的運(yùn)算符號(hào)暫寫(xiě)為“Ж”（因?yàn)榇朔?hào)看著像豎線與斜線的組合，而豎式計(jì)算中也只有豎和斜的方向），就有公式（aЖb）-（a+b）=10（a+b），其中a、b>0且為二位數(shù)。

以下為簡(jiǎn)單的證明。

設(shè)a的十位數(shù)和個(gè)位數(shù)分別為A、B，b的十位數(shù)和個(gè)位數(shù)分別為C、D，

則a=10A+B，b=10C+D，10>A、B>0，10>C、D≥0，且A、B、C、D∈Z。

aЖb=10A+BЖ10C+D

=（B+D）+10（A+D）+10（B+C）+100（A+C）

=B+D+10A+10D+10B+10C+100A+100C

=110A+11B+110C+11D

a+b=（10A+B）+（10C+D）=10A+B+10C+D

10（a+b）=10[（10A+B）+（10C+D）]

=10（10A+B）+10（10C+D）

=100A+10B+100C+10D

（aЖb）-（a+b）=110A+11B+110C+11D-10A-B-10C-D

=100A+10B+100C+10D

=10[（10A+B）+（10C+D）]

=10（a+b）

然而正二位數(shù)恒等式僅對(duì)正二位數(shù)有效，那么正n位數(shù)有沒(méi)有類(lèi)似的現(xiàn)象呢？

經(jīng)過(guò)對(duì)正二位數(shù)恒等式的推導(dǎo)，我們可以得出正三位數(shù)的恒等式為（aЖb）-11（a+b）=100（a+b），正四位數(shù)恒等式為（aЖb）-111（a+b）=1000（a+b），正五位數(shù)恒等式為（aЖb）-1111（a+b）=10000（a+b）……這里有著明顯的規(guī)律，所以我們得出正n位數(shù)恒等式：（aЖb）-n-1個(gè)1（a+b）=10^n-1（a+b）。

而“n-1個(gè)1”顯然不是個(gè)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，所以通過(guò)-[（1-10^n-1）/9]來(lái)表示。則有（aЖb）+[（1-10^n-1）/9]（a+b）=10^n-1（a+b），經(jīng)化簡(jiǎn)得aЖb={（a+b）[（10^n）-1]}/9。

且化簡(jiǎn)后的正n位數(shù)恒等式不僅能用于所有n>2且∈Z的情況，還能用于一位數(shù)和二位數(shù)。

所以，每?jī)蓚€(gè)位數(shù)相等的正整數(shù)都遵循aЖb={（a+b）[（10^n）-1]}/9，而“Ж”就是那無(wú)厘頭的運(yùn)算。

作者簡(jiǎn)介：

鄧柯（2001-），男，廣西玉林博白縣，廣西玉林博白縣博白鎮(zhèn)海龍?jiān)沸^(qū)，學(xué)生。

馮利民（2001-），男，廣西省博白縣，學(xué)生。