鋼琴泛音非協(xié)和性對(duì)八度音程的影響*

胡倩如

（西安音樂學(xué)院，陜西 西安 710061）

國際第一標(biāo)準(zhǔn)音是鋼琴鍵盤第49鍵的A，即49A，頻率為440 Hz。鋼琴制定的標(biāo)準(zhǔn)音也是49A，但是，鋼琴制定平均律的十二個(gè)音的起始音是低于標(biāo)準(zhǔn)音一個(gè)八度的37A。鋼琴琴弦的屬性決定其發(fā)音會(huì)受到泛音非協(xié)和性影響，泛音非協(xié)和性影響八度的寬度。

鋼琴調(diào)律的常規(guī)程序，第一步是用440 Hz音叉或校音器等純音將49A的一根弦調(diào)至440 Hz，進(jìn)而將49A的三根弦調(diào)至相同頻率；第二步是用49A下行八度調(diào)49A～37A；第三步從37A起，在33F～45F的八度調(diào)平均律；最后進(jìn)行八度擴(kuò)展，將全琴調(diào)律完畢。從調(diào)律師對(duì)鋼琴的調(diào)律程序可知，第一個(gè)八度極其重要。

1 鋼琴琴弦泛音非協(xié)和性原理

理想琴弦在振動(dòng)時(shí)，除了整段琴弦振動(dòng)，分段琴弦也同時(shí)在振動(dòng)，分段振動(dòng)的頻率是整段振動(dòng)的整數(shù)倍。即一根440 Hz的琴弦，它的1/2段琴弦振動(dòng)產(chǎn)生了二倍音，頻率是整段琴弦的二倍，即880 Hz；三倍音的頻率是440 Hz的三倍，即1 320 Hz。琴弦的泛音理論中，琴弦在分段振動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生與其相應(yīng)的倍音，即整數(shù)倍的倍音。然而，琴弦振動(dòng)時(shí)，盡管有抗彎性，但由于自身的剛性，其分割的段長會(huì)比理論值短一點(diǎn)。因此，它的倍音會(huì)比理論值高。

1.1 影響琴弦泛音非協(xié)和性的因素

泛音非協(xié)和性對(duì)于多數(shù)弦樂器的影響是輕微的，容易被忽略。因?yàn)槎鄶?shù)樂器的琴弦非常細(xì)并且易彎曲，只有少許固有的非協(xié)和性。另外，很多弦樂器琴弦支撐也相對(duì)短，并且音量不大，演奏者經(jīng)常可以彎曲琴弦來改變音高。但是在鋼琴上，泛音非協(xié)和性的影響可以很明顯地聽出來，因?yàn)殇撉俚那傧矣执钟钟病?/p>

其中，B是泛音非協(xié)和性系數(shù)；K是常量，代表琴弦材料；d是琴弦直徑；f是琴弦頻率，可等同于張力；l是琴弦長度。

由公式可知，琴弦的非協(xié)和性由四個(gè)因素決定：材料、直徑、長度、張力。這四個(gè)因素由鋼琴設(shè)計(jì)者決定，調(diào)律師無法控制。

1.2 添加泛音非協(xié)和性后琴弦的變化

盡管不同琴弦的泛音非協(xié)和性系數(shù)不同，但分布在分段琴弦振動(dòng)的倍音中的量是一樣的，即按幾何級(jí)數(shù)遞增，是倍音數(shù)的平方。琴弦泛音非協(xié)和性的量等于諧音數(shù)的平方乘以B。例如，第一倍音是12乘以B；第二倍音是22乘以B等。換言之，在高頻倍音中，這種泛音非協(xié)和性會(huì)更明顯。

為一根A4弦添加不協(xié)和系數(shù)，來說明它的一系列倍音的頻率是如何被影響的。鋼琴中音區(qū)這部分B（非協(xié)和性系數(shù)）大概0.5左右，B乘以每個(gè)倍音的平方，可以計(jì)算出高頻倍音偏離其理論頻率的量。當(dāng)B=0.5時(shí)，A4的前六個(gè)倍音的偏差值見圖1?？梢钥闯?，一根琴弦的倍音隨著倍音數(shù)的遞增，其偏差值越來越大。

2 泛音非協(xié)和性影響八度音程的寬度

在八度音程中，兩根琴弦有一系列的共同倍音，冠音的一倍音（基音）和根音的二倍音的音高頻率一致，即在2∶1層級(jí)中，為共同倍音。向上還有4∶2層級(jí)以及6∶3層級(jí)。在理想琴弦中，音程在這三個(gè)層級(jí)中可同時(shí)吻合。也就是說，這三個(gè)層級(jí)的共同倍音能夠同時(shí)在這三個(gè)層級(jí)調(diào)至一個(gè)無拍音狀態(tài)。然而，由于泛音非協(xié)和性因素的影響，情況發(fā)生了變化。如圖2所示，兩根相同非協(xié)量的琴弦，為八度音程，其基音的頻率值為理論平均值的二倍。在這個(gè)八度音程中，泛音中每一層級(jí)都沒有吻合。盡管兩個(gè)基音的頻率比已達(dá)到理論的2∶1，但是聽起來會(huì)有些窄，因?yàn)楣谝羲械谋兑舳急雀粝鄬?duì)應(yīng)的共同倍音低。

調(diào)音時(shí)，調(diào)律師更注重聽的是拍音，而不是基音。聽拍音，耳朵會(huì)集中在拍頻的變化以及共同倍音是否純上。在理想琴弦中，八度音程可以做到在三個(gè)層級(jí)中的共同倍音同時(shí)調(diào)純。然而，現(xiàn)實(shí)琴弦的八度音程，不能將三個(gè)層級(jí)同時(shí)調(diào)純。只能隨著逐漸拉寬八度音程，首先在2∶1層級(jí)調(diào)純，進(jìn)而是4∶2層級(jí)，最后是6∶3層級(jí)。其對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3～圖5所示。

圖3中，A3～A4這個(gè)八度，將根音降低，使其在2∶1層級(jí)的共同倍音一致，即在2∶1層級(jí)是純的。這個(gè)八度聽起來不錯(cuò)，但是，此八度在4∶2層級(jí)和6∶3層級(jí)是窄的。

圖4中，拉寬八度，使其在4∶2層級(jí)的共同倍音一致，即在4∶2層級(jí)是純的。但是，此八度在6∶3層級(jí)依然窄，但是在2∶1層級(jí)變寬。

圖1 當(dāng)B=0.5時(shí)，A4前六個(gè)倍音的偏差值

圖2 兩根琴弦在相同泛音非協(xié)和性下基頻調(diào)純的情況

圖3 兩根琴弦在相同泛音非協(xié)和性下2∶1層級(jí)調(diào)純的情況

圖4 兩根琴弦在相同泛音非協(xié)和性下4∶2層級(jí)調(diào)純的情況

圖5 兩根琴弦在相同泛音非協(xié)和性下6∶3層級(jí)調(diào)純的情況

圖5中，將八度拉得更寬，使其在6∶3層級(jí)的共同倍音一致，即在6∶3層級(jí)是純的。但是，此八度在2∶1層級(jí)和4∶2層級(jí)都是寬的。

3 選擇不同檢驗(yàn)音程確定八度音程寬度

由上文可知，由于鋼琴琴弦的泛音非協(xié)和性，如果只考慮基音頻率值對(duì)應(yīng)八度頻率值來進(jìn)行調(diào)律，聽覺上八度音程會(huì)窄，并且在調(diào)律中不能同時(shí)將每個(gè)層級(jí)調(diào)純?；谶@個(gè)特性，用音叉校對(duì)49A后，向下調(diào)八度音37A，可用不同的檢驗(yàn)音來檢驗(yàn)八度，使該八度的寬度不同。

當(dāng)在2∶1層級(jí)調(diào)純時(shí)，為了確定該八度的距離，通常使用F2作為檢驗(yàn)音，因?yàn)锳3與A4的2∶1層級(jí)的共同倍音是A4，那么F2的第五倍音就是A4，通過由F2～A3構(gòu)成的大十度和F2～A4構(gòu)成的大十七度拍頻一致來檢驗(yàn)這個(gè)八度，本質(zhì)上還是利用大三度的頻率來獲得聽覺上的一致。

當(dāng)在4∶2層級(jí)調(diào)純時(shí)，為了確定該八度的距離，通常使用F3作為檢驗(yàn)音，因?yàn)锳3與A4的4∶2層級(jí)的共同倍音是A5，那么F3的第五倍音就是A5，通過由F3～A3構(gòu)成的大三度和F3～A4構(gòu)成的大十度拍頻一致來檢驗(yàn)這個(gè)八度。

當(dāng)在6∶3層級(jí)調(diào)純時(shí)，為了確定該八度的距離，通常使用C4作為檢驗(yàn)音，因?yàn)锳3與A4的6∶3層級(jí)的共同倍音是E6，那么C4的第五倍音就是E6，通過由A3～C4構(gòu)成的小三度和C4～A4構(gòu)成的大六度拍頻一致來檢驗(yàn)這個(gè)八度。

雖然有不同檢驗(yàn)音來設(shè)定八度音程的寬度，但是，琴弦泛音非協(xié)和性的特點(diǎn)讓調(diào)律師在選擇起始八度時(shí)往往不會(huì)選擇在2∶1層級(jí)，因?yàn)樵?∶1層級(jí)調(diào)純，在4∶2層級(jí)以及6∶3層級(jí)中八度聽起來會(huì)窄。在鋼琴這件和聲樂器中，相隔數(shù)個(gè)八度的和聲的協(xié)和性非常重要。因此，調(diào)律師多用F3作為第一個(gè)八度，用A3～A4來檢驗(yàn)該八度的寬度，進(jìn)而確定A3的音高，完成十二平均律每個(gè)音的音高設(shè)置。