STEM理念下“杰尼西亞的耳朵”原理與應(yīng)用探究
——基于高中數(shù)學(xué)課程項(xiàng)目式學(xué)習(xí)案例

李健康

（廣州科學(xué)城中學(xué)，廣東廣州 510530）

STEM 教育理念就是綜合教育理念，本質(zhì)上是一種基于建構(gòu)主義教學(xué)理念、以學(xué)習(xí)者為中心、使用跨學(xué)科的方法讓學(xué)習(xí)者習(xí)得認(rèn)識(shí)世界和改造世界綜合性知識(shí)的創(chuàng)新教育，STEM 是一種以項(xiàng)目學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決為導(dǎo)向的課程組織方式，它將科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)有機(jī)地融為一體，有利于學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的一種教學(xué)方式[1]。

該文就STEM 教育理念下高中數(shù)學(xué)課程項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究下寫的一個(gè)教學(xué)案例與大家一起分享。

1 案例分析——“杰尼西亞的耳朵原理”

傳說(shuō)，在意大利的西西里島有一個(gè)山洞，很久以前，敘拉古的暴君杰尼西亞把他的一些囚犯關(guān)在這個(gè)山洞里。囚犯?jìng)兌啻蚊苤\逃跑，但是每次計(jì)劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn)[2]。 起初囚犯?jìng)儜岩墒峭橹杏袃?nèi)奸。但是始終沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)囚犯告密，后來(lái)漸漸察覺(jué)到囚禁他們的山洞形狀古怪，洞壁把囚犯的話都反射到獄卒的耳朵里去了，囚犯?jìng)冊(cè){咒這個(gè)山洞是“杰尼西亞的耳朵”。

那這個(gè)山洞究竟藏著什么樣的秘密呢？ 下面我們分別從物理和數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。 根據(jù)有關(guān)的資料查詢，我們知道了山洞的大概切面形狀，見圖1。

圖1 山洞的大概切面形狀

原來(lái)這個(gè)山洞的內(nèi)部形狀就如同一個(gè)橢圓形，其中犯人就監(jiān)押在點(diǎn)B 處，而獄卒就在進(jìn)出口附進(jìn)地點(diǎn)A 處，而點(diǎn)A、B 恰好就是山洞這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)所在，于是無(wú)論獄卒在點(diǎn)B 處討論什么，點(diǎn)A 處的獄卒都能清楚地聽到。這是什么原理呢？下面我們就分別從物理和數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行分析。

1.1 物理角度

聲音的傳播速度是340 m/s，當(dāng)聲音在空氣中傳播，遇到障礙物的時(shí)候就會(huì)反彈，但前提條件是這個(gè)障礙物對(duì)聲音不怎么吸收，還有反彈的方向是與接觸面的角度有關(guān)的。由常識(shí)知道，逃犯商量逃獄計(jì)劃不可能大聲說(shuō)話的，而且說(shuō)話的聲音大小肯定是他們以為在這個(gè)距離范圍內(nèi)，獄卒是聽不到的。那么問(wèn)題就來(lái)了，為什么偏偏在這個(gè)山洞中，獄卒又聽到呢？原來(lái)是聲波的反射原理：欲求曲面上某點(diǎn)的反射聲線，則以過(guò)該點(diǎn)的曲面的切面作為鏡面，使其入射角等于反射角，即可確定反射聲線，利用凹曲面反射的特點(diǎn)使聲音會(huì)聚予某區(qū)域或出現(xiàn)聲焦點(diǎn)（獄卒所在A 處）。而這個(gè)山洞剛好是一個(gè)橢圓，所以，B 處發(fā)出的聲音，經(jīng)過(guò)洞壁進(jìn)行反射后都會(huì)匯聚到A 處，形成一個(gè)聲焦點(diǎn)[3]。 于是無(wú)論犯人商量什么，獄卒都能清楚知道了！

當(dāng)然，上面物理分析大家看完后好像是這樣有道理，但有一點(diǎn)最關(guān)鍵，相信大家還是有疑問(wèn)的，怎么證明從點(diǎn)B 處發(fā)出的聲音，經(jīng)過(guò)洞壁，就一定匯聚到A 處呢？ 下面我們?cè)購(gòu)臄?shù)學(xué)的角度進(jìn)行有關(guān)的證明。

1.2 數(shù)學(xué)角度證明

聲音從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)B 發(fā)出，經(jīng)過(guò)反射后，一定會(huì)匯聚在另外一個(gè)焦點(diǎn)A，如圖2 所示。

圖2 幾何原理分析圖

我們?cè)O(shè)在B 點(diǎn)發(fā)出的聲音，隨意的一條聲波BD 傳到洞壁，經(jīng)過(guò)反射聲波DA，如果它剛好傳到點(diǎn)A 處，那么就應(yīng)該有α=β。

下面我們證明這個(gè)結(jié)論：α=β。

經(jīng)過(guò)點(diǎn)D 橢圓的切線為DE，設(shè)DE 的斜率為k，則直線DE 的方程為：y-y0=k（x-x0），消去y 代入化簡(jiǎn)，又由Δ=0，得，要證α=β，即要證tanα=tanβ，即tan[θ1-θ]成立。

上面我們是通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明知道一個(gè)橢圓的重要性質(zhì)：即從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波，最后一定會(huì)在另外一個(gè)焦點(diǎn)處聚合。

2 橢圓性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

通過(guò)分析，我們?nèi)w的學(xué)生對(duì)這個(gè)原理有了深刻的分析，筆者發(fā)動(dòng)了全體學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、圖書館或其他途徑進(jìn)行了挖掘，得到了一些的應(yīng)用情境的確認(rèn)或者糾正[4]。

（1）北京天壇的回音壁原理。

回音壁的墻壁是用磨磚對(duì)縫砌成的，墻頭覆著藍(lán)色琉璃瓦。圍墻的弧度十分規(guī)則，墻面極其光滑整齊，對(duì)聲波的折射是十分規(guī)則的。只要兩個(gè)人分別站在東、西配殿后，貼墻而立，一個(gè)人靠墻向北說(shuō)話，聲波就會(huì)沿著墻壁連續(xù)折射前進(jìn)，傳到一、二百米的另一端，無(wú)論說(shuō)話聲音多小，也可以使對(duì)方聽得清清楚楚，而且聲音悠長(zhǎng)，堪稱奇趣，給人造成一種“天人感應(yīng)”的神秘氣氛，所以稱之為“回音壁”，如圖3 所示，它與橢圓這個(gè)原理不一樣，天壇的回音壁是利用了聲音在圓形墻壁內(nèi)進(jìn)行多次折射或者直線傳播達(dá)成的，它不是利用聲波在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的發(fā)散和聚合原理，如圖4 所示。

圖3 天壇回音壁

圖4 回音壁聲音傳播分析圖

（2）電影放映機(jī)的原理，就是使用橢圓內(nèi)聲波傳播原理，但這次是個(gè)傳播是光線見圖5、圖6。

圖5 電影放映機(jī)光學(xué)圖

圖6 電影放音機(jī)工作原理圖

光源1 采用高壓短弧氙燈，它位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)橢圓反光鏡2 反射到橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)4 片門上，再經(jīng)過(guò)放映鏡頭投射到屏幕上就完成電影的播放[51]。

（3）學(xué)生還設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲桌面，如圖7 所示。原理如圖8 所示，游戲規(guī)則是：在一個(gè)橢圓桌面右半?yún)^(qū)的焦點(diǎn)位置立一小旗桿，左半?yún)^(qū)有一個(gè)玻璃小球，游戲者就在左半?yún)^(qū)輪流彈動(dòng)小球到桌壁再反彈，把小球反彈擊中小旗桿即為得分，每人3 次，得分多者為勝方。對(duì)于懂原理的人就知道：想反彈擊中的秘訣就是從讓球從橢圓的左焦點(diǎn)位置直線彈向桌邊的桌壁[6]。

圖7 橢圓游戲桌設(shè)計(jì)方案圖

圖8 游戲方案原理幾何圖

3 結(jié)語(yǔ)

該案例是通過(guò)一個(gè)故事杰尼西亞的耳朵開始探討，從而發(fā)現(xiàn)橢圓的一個(gè)性質(zhì)，并且從物理和數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行了說(shuō)明和嚴(yán)格的證明。 再查閱資料學(xué)習(xí)到該性質(zhì)在生活中的一些應(yīng)用，到最后學(xué)生們根據(jù)自己的理解設(shè)計(jì)出一個(gè)簡(jiǎn)單的游戲。 充分體現(xiàn)了STEM 精神中的探究、分析、驗(yàn)證、再應(yīng)用的思想。即案例是以學(xué)習(xí)者為中心、使用跨學(xué)科的方法讓學(xué)習(xí)者習(xí)得認(rèn)識(shí)世界和改造世界綜合性知識(shí)的創(chuàng)新教育。