陳亞
(安陽(yáng)師范學(xué)院,河南安陽(yáng) 455000)
每年的研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試中,積分上限函數(shù)是一個(gè)必考的知識(shí)點(diǎn),積分上限函數(shù)難度系數(shù)不算很高,但學(xué)生在求解過(guò)程中的計(jì)算步驟較多,中間有任何一步計(jì)算錯(cuò)誤就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論,近幾年的考試題目在傳統(tǒng)題型的基礎(chǔ)上不斷加大難度,出現(xiàn)了跟課本上不一樣的類(lèi)型,其目的還是考查學(xué)生對(duì)積分上限函數(shù)的概念是否理解,學(xué)生做題過(guò)程中經(jīng)常死搬硬套課本上的求導(dǎo)方法,結(jié)果導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤,本質(zhì)上還是對(duì)積分上限函數(shù)理解不到位,下面以一道考研題目為例,對(duì)積分上限函數(shù)常見(jiàn)的題目類(lèi)型進(jìn)行分析,并給出通用的解題方法及思路。
2017年考研數(shù)學(xué)三第15 題是一道簡(jiǎn)答題,題目如下:
這道題目本質(zhì)是求極限問(wèn)題,分子分母均趨向0,屬于不定型,符合洛必達(dá)法則使用條件,所以可以使用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解,求解過(guò)程中,需要涉及積分上限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題,在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教材中對(duì)積分上限函數(shù)給出了3 種情形,它們分別如下。
這3 種情形是最為常見(jiàn)的情形,它們的共同之處就是被積函數(shù)只包含形參,不含有f(x)的項(xiàng),若碰到積分里面含有f(x)的項(xiàng),則上述公式就失效,如果硬套用公式,就會(huì)得出的錯(cuò)誤結(jié)論[1-3]。 被積函數(shù)里含有f(x)的的積分上限統(tǒng)稱(chēng)為含參積分上限函數(shù),對(duì)于這類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)最常見(jiàn)的方法是通過(guò)變換將含x 的項(xiàng)分離出來(lái),分離之后再利用求導(dǎo)法則進(jìn)行求解。
解法1:將含x 的項(xiàng)分離出來(lái),將之轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)場(chǎng)景:
經(jīng)過(guò)變換,上述式子已經(jīng)完全轉(zhuǎn)化為普通的積分上限函數(shù),因此可以同基本求導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算。按照洛必達(dá)法則,原式
解法2:
一般來(lái)講,大多數(shù)含參積分函數(shù)可以通過(guò)換元積分法將含的項(xiàng)獨(dú)立出來(lái),獨(dú)立出來(lái)之后函數(shù)就變換為常見(jiàn)的3 種場(chǎng)景,然后可以根據(jù)教材上的求導(dǎo)方法進(jìn)行求導(dǎo),那對(duì)于一般的含參積分有沒(méi)有通用的求導(dǎo)方法呢?
我們有如下定理:
此定理沒(méi)有采用分離變量的辦法,而是將函數(shù)分離成兩個(gè)函數(shù),分離之后問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)f(x)和一個(gè)含參積分上限函數(shù),問(wèn)題就有可能轉(zhuǎn)化為上述常見(jiàn)的3 種情形,從而問(wèn)題得到解決。按照這個(gè)定理,我們就可以對(duì)一些含參積分上限函數(shù)進(jìn)行求解,下面以幾道例題進(jìn)行分析。
即f(x)為減函數(shù),且f(1)=0,故0<x<1 時(shí),f(x)>f(1)=0,當(dāng)x>1 時(shí),f(x)<f(1)=1,綜上,f(x)>0 成立的取值范圍為0<x<1。
思路分析: 不等式常見(jiàn)的方法有做差法和比商法,此題目采取做差的辦法,構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù),對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析,確定其增減性,根據(jù)增減性解決問(wèn)題。
分析:f(x)表達(dá)式是隱性的,無(wú)法直接通過(guò)積分得出具體表達(dá)式,但f'(x)可以通過(guò)求導(dǎo)公式表達(dá)出來(lái),因此符合分部積分法的特征,可以利用分部積分法進(jìn)行求解。
例4:設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(x)單調(diào)增加,0≤g(x)≤1,證明:
分析:第一問(wèn)是積分估值不等式的直接應(yīng)用,較為簡(jiǎn)單,第二問(wèn)可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)(a)=0,然后結(jié)合函數(shù)求極值的方法進(jìn)行解決。
證明:(1)∵x∈[a,b],g(x)在[a,x]上連續(xù),0≤g(x)≤1,由估值不等式
此題目為含參積分上限函數(shù),令F(x,t)=sin(x-t)2按照拓展定理,令,代入可得:
思路分析:此題目直接應(yīng)用定理,將求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為積分,積分函數(shù)為三角函數(shù)易于求解[7-9]。也可采用變量替換的方法求解,難度基本一致。
積分上限函數(shù)在考研題目屬于高頻題型,在很多數(shù)學(xué)教材上,僅僅針對(duì)3 種常見(jiàn)的情形進(jìn)行了說(shuō)明,對(duì)于含參積分上限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題學(xué)生往往束手無(wú)策,該文通過(guò)一道考研題目的分析,給出了含參積分上限函數(shù)的常見(jiàn)解法,并針對(duì)一些常見(jiàn)題目做了應(yīng)用分析,在考試中學(xué)生可結(jié)合洛必達(dá)求導(dǎo)法則、分部積分法、常微分方程求解等知識(shí)點(diǎn),分析題目難點(diǎn),充分理解積分上限函數(shù)的意義,掌握常見(jiàn)的求導(dǎo)方法,則在實(shí)際應(yīng)用中就能得心應(yīng)手。