積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法及其應(yīng)用
——以一道考研試題的解法和拓展為例

陳亞

（安陽(yáng)師范學(xué)院，河南安陽(yáng) 455000）

每年的研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試中，積分上限函數(shù)是一個(gè)必考的知識(shí)點(diǎn)，積分上限函數(shù)難度系數(shù)不算很高，但學(xué)生在求解過(guò)程中的計(jì)算步驟較多，中間有任何一步計(jì)算錯(cuò)誤就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論，近幾年的考試題目在傳統(tǒng)題型的基礎(chǔ)上不斷加大難度，出現(xiàn)了跟課本上不一樣的類(lèi)型，其目的還是考查學(xué)生對(duì)積分上限函數(shù)的概念是否理解，學(xué)生做題過(guò)程中經(jīng)常死搬硬套課本上的求導(dǎo)方法，結(jié)果導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，本質(zhì)上還是對(duì)積分上限函數(shù)理解不到位，下面以一道考研題目為例，對(duì)積分上限函數(shù)常見(jiàn)的題目類(lèi)型進(jìn)行分析，并給出通用的解題方法及思路。

2017年考研數(shù)學(xué)三第15 題是一道簡(jiǎn)答題，題目如下：

1 題目分析

這道題目本質(zhì)是求極限問(wèn)題，分子分母均趨向0，屬于不定型，符合洛必達(dá)法則使用條件，所以可以使用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，求解過(guò)程中，需要涉及積分上限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教材中對(duì)積分上限函數(shù)給出了3 種情形，它們分別如下。

這3 種情形是最為常見(jiàn)的情形，它們的共同之處就是被積函數(shù)只包含形參，不含有f（x）的項(xiàng)，若碰到積分里面含有f（x）的項(xiàng)，則上述公式就失效，如果硬套用公式，就會(huì)得出的錯(cuò)誤結(jié)論[1-3]。 被積函數(shù)里含有f（x）的的積分上限統(tǒng)稱(chēng)為含參積分上限函數(shù)，對(duì)于這類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)最常見(jiàn)的方法是通過(guò)變換將含x 的項(xiàng)分離出來(lái)，分離之后再利用求導(dǎo)法則進(jìn)行求解。

2 題目解法

解法1：將含x 的項(xiàng)分離出來(lái)，將之轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)場(chǎng)景：

經(jīng)過(guò)變換，上述式子已經(jīng)完全轉(zhuǎn)化為普通的積分上限函數(shù)，因此可以同基本求導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算。按照洛必達(dá)法則，原式

解法2：

3 問(wèn)題總結(jié)與拓展

一般來(lái)講，大多數(shù)含參積分函數(shù)可以通過(guò)換元積分法將含的項(xiàng)獨(dú)立出來(lái)，獨(dú)立出來(lái)之后函數(shù)就變換為常見(jiàn)的3 種場(chǎng)景，然后可以根據(jù)教材上的求導(dǎo)方法進(jìn)行求導(dǎo)，那對(duì)于一般的含參積分有沒(méi)有通用的求導(dǎo)方法呢？

我們有如下定理：

此定理沒(méi)有采用分離變量的辦法，而是將函數(shù)分離成兩個(gè)函數(shù)，分離之后問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)f（x）和一個(gè)含參積分上限函數(shù)，問(wèn)題就有可能轉(zhuǎn)化為上述常見(jiàn)的3 種情形，從而問(wèn)題得到解決。按照這個(gè)定理，我們就可以對(duì)一些含參積分上限函數(shù)進(jìn)行求解，下面以幾道例題進(jìn)行分析。

4 應(yīng)用實(shí)例

即f（x）為減函數(shù)，且f（1）=0，故0＜x＜1 時(shí)，f（x）＞f（1）=0，當(dāng)x＞1 時(shí)，f（x）＜f（1）=1，綜上，f（x）＞0 成立的取值范圍為0＜x＜1。

思路分析： 不等式常見(jiàn)的方法有做差法和比商法，此題目采取做差的辦法，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析，確定其增減性，根據(jù)增減性解決問(wèn)題。

分析：f（x）表達(dá)式是隱性的，無(wú)法直接通過(guò)積分得出具體表達(dá)式，但f'（x）可以通過(guò)求導(dǎo)公式表達(dá)出來(lái)，因此符合分部積分法的特征，可以利用分部積分法進(jìn)行求解。

例4：設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（x）單調(diào)增加，0≤g（x）≤1，證明：

分析：第一問(wèn)是積分估值不等式的直接應(yīng)用，較為簡(jiǎn)單，第二問(wèn)可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)（a）=0，然后結(jié)合函數(shù)求極值的方法進(jìn)行解決。

證明：（1）∵x∈[a，b]，g（x）在[a，x]上連續(xù)，0≤g（x）≤1，由估值不等式

此題目為含參積分上限函數(shù)，令F（x，t）=sin（x-t）2按照拓展定理，令，代入可得：

思路分析：此題目直接應(yīng)用定理，將求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為積分，積分函數(shù)為三角函數(shù)易于求解[7-9]。也可采用變量替換的方法求解，難度基本一致。

5 結(jié)語(yǔ)

積分上限函數(shù)在考研題目屬于高頻題型，在很多數(shù)學(xué)教材上，僅僅針對(duì)3 種常見(jiàn)的情形進(jìn)行了說(shuō)明，對(duì)于含參積分上限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題學(xué)生往往束手無(wú)策，該文通過(guò)一道考研題目的分析，給出了含參積分上限函數(shù)的常見(jiàn)解法，并針對(duì)一些常見(jiàn)題目做了應(yīng)用分析，在考試中學(xué)生可結(jié)合洛必達(dá)求導(dǎo)法則、分部積分法、常微分方程求解等知識(shí)點(diǎn)，分析題目難點(diǎn)，充分理解積分上限函數(shù)的意義，掌握常見(jiàn)的求導(dǎo)方法，則在實(shí)際應(yīng)用中就能得心應(yīng)手。