廣東省惠州市第一中學(516007) 郭慧敏

華南師范大學數(shù)學科學學院(5106311) 蘇洪雨

歷年高考中,“函數(shù)與導數(shù)”是較為重要,也是較為穩(wěn)定的考查模塊,今年也不例外.其題型設置選擇題,填空題,解答題均有；難度分布易,中,難,梯度明顯；知識點考查全面,主要涉及：函數(shù)模型識別,指對數(shù)函數(shù),導數(shù)的幾何意義及應用,函數(shù)單調性研究,函數(shù)零點等；將函數(shù)與方程,轉化與化歸,分類與整合,數(shù)形結合的數(shù)學思想方法貫穿始終；深刻體現(xiàn)了數(shù)學建模,邏輯推理,數(shù)學運算、直觀想象等的數(shù)學核心素養(yǎng).其“穩(wěn)”且“重”的試題特點,以“秤砣效應”突出了今年試題的均衡與平穩(wěn),為數(shù)學整體達到高考評價“一核四層四翼”的要求,做出了重要的貢獻.

一、2020年全國Ⅰ卷函數(shù)與導數(shù)試題分布一覽表

科 別題型題號分 值考查內容難 度選擇5 5函數(shù)模型識別易理 科選擇6 5函數(shù)的切線方程中全國Ⅰ卷選擇12 5指對數(shù)函數(shù)單調性,比較大小中解答21 12導數(shù)研究函數(shù)單調性,含參賽不等式恒成立問題難選擇5 5函數(shù)模型識別易文 科選擇8 5指對數(shù)運算中填空15 5函數(shù)的切線方程中解答20 12導數(shù)研究函數(shù)單調性,零點個數(shù)問題難

二、2020年函數(shù)與導數(shù)客觀題評析

類型一：函數(shù)應用

數(shù)學建?；顒邮钦n程改革中地位特別突出的內容之一,函數(shù)的應用不僅體現(xiàn)在用函數(shù)解決數(shù)學問題,更重要的是用函數(shù)解決實際問題.新課標則明確指出“理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.在實際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律”,題目1 正充分體現(xiàn)了過渡階段,新課程改革的導向性.

題目1(2020 全國Ⅰ卷文理科第5 題)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關系,在20 個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：

由此散點圖,在10°C至40°C之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( )

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析由散點圖分布可知,散點分布呈現(xiàn)上凸遞增的趨勢,與選項相應的函數(shù)圖象比對,A 選項為一次函數(shù),圖象呈直線上升趨勢；B 選項為二次函數(shù),圖象呈下凸上升趨勢；C選項為指數(shù)型函數(shù),圖象下凸上升趨勢,且增長速度最快；D選項為對數(shù)型函數(shù),圖象呈現(xiàn)上凸遞增趨勢與散點圖基本相符,故選D.

類型二、指對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是最基本的、應用最廣泛的函數(shù),是進一步學習數(shù)學的基礎.新舊課標相比,對于指對數(shù)的運算,及指對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的研究沒有太大變化.題目2 是文科,主要突出了指對數(shù)的運算；題目3 是理科,則更靈活地考查了函數(shù)構造,指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調性及應用函數(shù)單調性比較大小的問題,文理對比之下,難度設置有區(qū)別.

題目2(2020 全國Ⅰ卷文科第8 題)設alog34=2,則4-a=( )

解析由alog34=2 得log34a=2=log39,故4a=9,所以有4-a=故答案為B.

例3(2020 全國Ⅰ卷理科第12 題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

解析構造函數(shù)f(x)=2x+log2x,則f(x)為增函數(shù),因為2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,所以

因此f(a)＜f(2b),故a＜2b.因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,從而

當b=1 時,f(a)-f(b2)=2＞0,此時f(a)＞f(b2),有a＞b2；當b=2 時,f(a)-f(b2)=-1＜0,此時f(a)＜f(b2),有a＜b2.因此C、D 不符合題意,故答案為B.

類型三、函數(shù)的切線方程

導數(shù)是微積分的核心內容之一,學生通過豐富的實際背景理解導數(shù)的概念,函數(shù)切線的斜率則是導數(shù)概念的幾何化表現(xiàn),對比新舊課標,兩者描述相同：“通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義”,故掌握用導數(shù)求函數(shù)在某點處的切線方程是高考中較為穩(wěn)定的考查點,題目4,5 均體現(xiàn)了這一要求.

題目4(2020 全國Ⅰ卷理科第6 題)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為( )

A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

解析f(x)=x4-2x3,f′(x)=4x3-6x2,f(1)=-1,切點為(1,-1),切線斜率為f′(1)=-2,所求切線的方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故答案為B.

題目5(2020 全國Ⅰ卷文科第15 題)曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為____.

解析設切線的切點坐標為(x0,y0),y=lnx+x+1,y′=+1,所以切線斜率為+1=2,解得x0=1,y0=2,所以切點坐標為(1,2),由點斜式得切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.

三、2020年函數(shù)與導數(shù)解答題評析

歷年高考,函數(shù)與導數(shù)的解答題都是壓軸之作,因為其綜合了多個方面的知識,蘊含了豐富的數(shù)學思想方法,能從多層次,多維度考查學生的能力.今年的函數(shù)與導數(shù)解答題,文科是將指數(shù)函數(shù)和含參一次函數(shù)作差,組合成新函數(shù),討論其單調性和零點個數(shù)；理科則是將指數(shù)函數(shù)和含參二次及三次函數(shù)組合,討論單調性和研究含參不等式恒成立條件.兩題都具有起點低,落差大,滿分難的共同特點,在參數(shù)的研究上有相似之處.充分考查了學生在代數(shù)運算,數(shù)形結合,極限思想上的數(shù)學能力,讓每個層次學生的能力都能得到真實的體現(xiàn).

題目6(2020 全國Ⅰ卷文科第20 題)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

第一問解析.給出a=1,通過求導,研究導數(shù)與0 的關系,即可得出答案.考查基礎知識和能力,是起點較低的一問,具體解答如下：

(1)當a=1 時,f(x)=ex-(x+2),f′(x)=ex-1,令f′(x)=0,得x=0.

當x＜0 時,f′(x)＜0,f(x)在(-∞,0)上單調遞減；當x＞0 時,f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

第二問解析.結合參數(shù)a,討論零點個數(shù),從參數(shù)與變量的關系可從“不分參”,“局部分參”及“完全分參”三種思路進行解析,具體分析如下：

方法一(不分參：帶參討論函數(shù)最值與零的關系.)f′(x)=ex-a,當a≤0 時,f′(x)＞0,所 以f(x) 在(-∞,+∞)單調遞增,故f(x)至多存在1 個零點,不合題意.當a＞0 時,令f′(x)=0 可得x=lna,當x ∈(-∞,lna)時,f′(x)＜0,當x ∈(lna,+∞)時,f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,lna)單調遞減,在(lna,+∞)單調遞增,故當x=lna時,f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a(1+lna).

(i)若0＜a≤則f(lna) ≥0,f(x)在(-∞,+∞)至多存在1 個零點,不合題意；

(ii) 若a＞則f(lna)＜0,由于f(-2)=e-2＞0,所以f(x) 在(-∞,lna) 存在唯一零點.f(2a)=e2a-a(2a+2)=e2a-2a(a+1),下證ex≥x+1：

構造函數(shù)g(x)=ex-(x+1),g′(x)=ex-1,x ∈(-∞,0),g′(x)＜0,x ∈(0,+∞),g′(x)＞0,g(x)在(-∞,0) 單調遞減,在(0,+∞) 單調遞增,故g(x)min=g(0)=0,所以ex≥x+1,所以ea≥a+1＞0,ea-1≥a＞0,則e2a=e·ea-1·ea≥e·a·(a+1)＞2a(a+1),即f(2a)＞0,且2a＞lna,故f(x)在(lna,+∞)存在唯一零點,從而f(x)在(-∞,+∞)上有兩個零點.

綜上,a的取值范圍是

方法二(局部分參：討論指數(shù)函數(shù)圖象與一次函數(shù)直線交點個數(shù).)f(x)=0,即ex=a(x+2),y=f(x)的零點個數(shù)即為y=ex與y=a(x+2)交點的個數(shù).y=a(x+2)恒過點(-2,0).

下求y=ex過點(-2,0) 的切線斜率：設切點為(x0,y0),則切線的斜率k=因為(ex)′=ex,所以切線的斜率k=ex0,即有ex0=解得x0=-1,故k=e-1.

當a ∈時,f(x) 在(-∞,+∞) 上無零點；當a=或a ∈(-∞,0) 時,f(x) 在(-∞,+∞) 上有一個零點；當a ∈時,由于y=ex為下凸遞增函數(shù),y=a(x+2)為直線,以相切為參照,當直線斜率a＞時,兩圖象有兩個交點,即f(x)在(-∞,+∞)上有兩個零點.

綜上,a的取值范圍是

圖1

圖2

方法三(完全分參：研究不含參數(shù)的新函數(shù)圖象.)f(-2)=e-2≠ 0.在x≠-2 的前提下,f(x)=0,即a=y=f(x) 的零點個數(shù)即為y=a與g(x)=(x≠-2)交點的個數(shù).

g′(x)=當x＜-2 時,g′(x)＜0,y=g(x) 在(-∞,-2) 上遞減,且g(x)=＜0；當-2＜x≤-1 時,g′(x) ≤0,y=g(x)在(-2,-1]上遞減,且當x＞-1時,g′(x)＞0,y=g(x)在(-1,+∞)上遞增,且由洛必達法則,

綜上可得g(x)=示意圖,由圖2可知：當時,f(x)在(-∞,+∞)上有兩個零點.

題目7(2020 全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1 時,討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2)當x≥0 時,f(x) ≥+1 恒成立,求a的取值范圍.

第一問解析給出a=1,通過求導,研究導數(shù)與0 的關系,即可得出答案,考查基礎知識和能力,和文科20 題如出一轍,同樣是起點較低的一問.具體解答如下：

a=1 時,f(x)=ex+x2-x,f′(x)=ex+2x-1.當x ∈(-∞,0)時,f′(x)＜0；當x ∈(0,+∞)時,f′(x)＞0.所以f(x)在(-∞,0)單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.

第二問解析含參不等式恒成立,求參數(shù)a范圍的問題,可轉化為研究或討論函數(shù)的最值問題.如何分析函數(shù)的最值呢? 和文科20 題一樣,以參數(shù)與變量的關系,可從“不分參”,“局部分參”及“完全分參”三種思路進行思考.

方法一(不分參：帶參分類討論函數(shù)的最值.)f(x) ≥+1 等價于設函數(shù)則

(i)若2a+1 ≤0,即a≤則當x ∈(0,2) 時,g′(x)＞0.所以g(x) 在(0,2) 上單調遞增,而g(0)=1.故當x ∈(0,2)時,g(x)＞1,不合題意.

(ii)若0＜2a+1＜2,即則當x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)時,g′(x)＜0；當x ∈(2a+1,2)時,g′(x)＞0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上單調遞減,在(2a+1,2)上單調遞增.

由于g(0)=1,所以g(x) ≤ 1,當且僅當g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥所以當時,g(x)≤1.

(iii)若2a+1 ≥2,即a≥此時x ∈(0,2)∪(2a+1,+∞),g′(x)＜0,函數(shù)g(x)在(0,2),(2a+1,+∞)上單調遞減；x ∈(2,2a+1),g′(x)＞0,g(x)在(2,2a+1)單調遞增.

注意到g(0)=1,g(2a+1)=下面證明x≥時,因而h(x) 在單調遞減,又從而時,g(2a+1)≤1.

綜上,a的取值范圍為

方法二(局部分參：討論新函數(shù)圖象與一次函數(shù)直線交點個數(shù).) 對任意的x≥0,f(x) ≥+1 等價于則

令φ(x)=x2+x+1-ex,則φ′(x)=2x+1-ex,φ′′(x)=2-ex.當x ∈(0,ln 2) 時,φ′′(x)＞0,φ′(x) 在(0,ln 2)上單調遞增；當x ∈(ln 2,+∞)時,φ′′(x)＜0,φ′(x)在(ln 2,+∞)上單調遞減.

圖3

因為φ′(0)=0,x→+∞,φ′(x)→-∞,φ′(x) 的簡圖如圖3所示,存在t0∈(1,2)使得φ′(t0)=0,當x ∈(0,t0) 時,φ′(x)＞0,所以φ(x) 在(0,t0)上遞增；當x ∈(t0,+∞) 時,φ′(x)＜0,所以φ(x)在(t0,+∞)上遞減.

又因為φ(0)=0,x→+∞,φ(x)→-∞,因為φ(1)=3-e＞0,φ(2)=7-e2＜0,φ(x) 的簡圖如圖4所示,存在x0∈(1,2),使得φ(x0)=0.令g′(x)=0,得x=1,或x=x0,所以當x ∈(0,1)時,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調遞減；當x ∈(1,x0)時,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)在(1,x0)上單調遞增；當x ∈(x0,+∞)時,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)在(x0,+∞)上單調遞減.

圖4

圖5

因為x0∈(1,2),g(x0)＜0,設直線y=bx與函數(shù)y=g(x)相切,切點為(x1,g(x1)),則切線方程為

因為切線過原點,所以

構造函數(shù)易證ex1--x1-1＞0.所以x1=2,此時b=所以a≥

方法三(完全分參：研究不含參數(shù)的新函數(shù)形態(tài).) 對?x≥0,f(x)≥+1 等價于ax2≥+x+1-ex.當x=0 時,不等式對任意的a都成立,當x＞0 時,

令g(x)=則g′(x)=

令φ(x)=6+2x-ex(x2-4x+6),x＞0,則φ′(x)=2-ex(x2-2x+2),φ′(0)=0,φ′′(x)=-x2ex≤0,φ′(x)在(0,+∞) 上遞減,于是φ′(x) ≤φ′(0)=0,所以φ(x)在(0,+∞) 上遞減,所以φ(x) ≤φ(0)=0,于是g′′(x)＜0,g′(x)在(0,+∞)上單調遞減.而g′(2)==0,x ∈(0,2) 時,g′(x)＞0,g(x)遞增；x ∈(2,+∞) 時,g′(x)＜0,g(x) 遞減.所以g(x)max=g(2)=故

綜合評析

題目6 和題目7 都是含參數(shù)的函數(shù)問題.解決這類問題,以參數(shù)與變量的關系,可從“不分參”,“局部分參”及“完全分參”三種思路進行思考.

“不分參”,即是以導數(shù)為工具,帶著參數(shù)去討論函數(shù)的形態(tài),進而分析每種情況中的單調區(qū)間、最值或零點等問題.這種思路是最直接的,但往往也是較繁雜的,其困難在于,參數(shù)a分類討論的依據(jù)是什么? 導函數(shù)的是否有零點,零點的個數(shù),零點的大小往往是常見的分類標準；若需研究函數(shù)的最值,就需進一步分類討論區(qū)間端點的函數(shù)值與函數(shù)的極值的大小.討論依據(jù)越多,分類情況越復雜,題目難度也就越大.

“局部分參”,即是通過函數(shù)與方程,不等式的關系,將一個函數(shù)分解兩個新函數(shù),一個帶參數(shù),一個不帶參數(shù).“局部分參”的思考點在于,如何分離重組兩個新函數(shù),才能使得分類討論最優(yōu)化? 若能分離出一個直線函數(shù),另一個曲線函數(shù),并且將參數(shù)放在直線函數(shù)上,這就是關鍵技巧所在.接著,通過數(shù)形結合將問題轉化為直線與曲線圖像關系的研究,此時“相切”往往是分類討論的臨界狀態(tài).“局部分參”通過圖像分析優(yōu)化了分類討論,但此法具有“先天缺陷”,圖像分析只能輔助解題,不能代替數(shù)學的嚴謹推理分析,盡管對圖形特征進行描述,也并非就十分周全.

“完全分參”,即是通過恒等變形,把原來的函數(shù)中的參數(shù)獨立分離出,把參數(shù)看成一個常數(shù)函數(shù),把不含參數(shù)的部分看成一個新函數(shù).只研究不含參的新函數(shù)形態(tài),進而通過圖像分析,探究問題的結論.這種方法的困難在于,新函數(shù)雖不含參數(shù),但形式會比較復雜,求導運算量較大；求導函數(shù)零點時,常常要面對解超越方程的困難；通過導函數(shù)分析圖像時,也往往要分析函數(shù)的極限,這就需要借助更多靈活的方法,如多次求導、虛設零點、洛必達法則求極限等.

綜上分析,含參數(shù)的函數(shù)問題的三種思路各有利弊,需要結合題目特點,學生的認知水平進行選擇和使用.

四、教學與備考建議

表1：近三年全國Ⅰ卷函數(shù)與導數(shù)試題考點與分值統(tǒng)計表(理科)

表2：近三年全國Ⅰ卷函數(shù)與導數(shù)試題考點與分值統(tǒng)計表(文科)

通過對比近三年全國Ⅰ卷函數(shù)與導數(shù)試題考點,可以發(fā)現(xiàn)：全國Ⅰ卷對函數(shù)與導數(shù)內容的考查總體穩(wěn)定,層次分明,主要考查關鍵詞為：函數(shù)圖象(模型),切線方程,指對數(shù)函數(shù),比較大小、零點、單調性、含參不等式恒成立等.結合此對比分析,我們給出如下教學和備考建議：

(一)認真研究新課標,準確把握方向

近幾年是新課程標準實施的過渡時期,新的高考制度下,沒有了《考試大綱》的參考,課程標準是唯一的命題依據(jù).在“函數(shù)與導數(shù)”模塊上,將新舊課標對比,變化如下：

模塊內容新舊課標變化_________________函數(shù)的概念與性質1.刪除“會求簡單函數(shù)的值域”.2.刪除“了解映射的概念”.3.增加“了解奇偶性的幾何意義”.4.增加“結合三角函數(shù),了解周期性的概念和幾____________________________________________________________________________________________何意義”.函數(shù)冪、指、對數(shù)函數(shù)5.順序調整：指對冪→冪指對.6.對冪函數(shù)變化規(guī)律的要求從“了解”變?yōu)椤袄斫狻?7.對畫出指對數(shù)函數(shù)的圖像,增加“描點法”.______三角函數(shù)8.將原來獨立的三角模塊整體納入函數(shù)范疇.______函數(shù)應用9.將原來的“函數(shù)與方程”“函數(shù)模型及其應用”整合為新課標的“函數(shù)應用”.10.增加對“函數(shù)模型”的具體要求強調會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.________導數(shù)概念及其意義11.增加“體會極限思想”.______________________導數(shù)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用12.會用導數(shù)求極值的函數(shù)類型從“不超過三次________________________________________________________________________________________________的多項式函數(shù)”變?yōu)椤澳承┖瘮?shù)”.

通過以上對比,我們可以發(fā)現(xiàn)：冪函數(shù)地位的提高,三角函數(shù)的整體納入,函數(shù)模型的強調,極限思想的增加等,都是變化較大的關注點.教師在日常的教學和備考中,要積極研究,聚焦關注點,準確把握過渡時期的改革方向.

(二)重視基礎知識和基本方法的教學

提到函數(shù)與導數(shù),學生總是會聯(lián)想到難度最大,最不容易得分的題目.但事實上,今年函數(shù)與導數(shù)的題目中,基礎中檔難度分值約占70%,這說明函數(shù)與導數(shù)并非只能“高高在上”的難題,而是可以“袋袋平安”的得分題.而在基礎知識和基本方法上,學生的認知和學習能力基本不存在差異,所以在教學和訓練過程中,要強調基礎知識和基本方法,不可盲目將函數(shù)和導數(shù)的題目提升難度,將其基礎落實到平時的作業(yè)和檢測中,讓學生在學習的過程中獲得信心,獲得分數(shù).

(三)重視靈活數(shù)學思維的培養(yǎng)

函數(shù)與導數(shù)的問題有著非常豐富數(shù)學思想和靈活的數(shù)學思維,包括函數(shù)與方程,轉化與化歸,分類與整合,代數(shù)與幾何,局部與整體等.通過函數(shù)與導數(shù)的學習和研究,學生思考和解決問題的能力能得到有效的強化和提升.但是,由于函數(shù)與導數(shù)問題是高考中的較為穩(wěn)定的考向,已形成了一些固定的解題套路,形成思維定勢.思維要“活”,“活”在問題的呈現(xiàn)形式,問題的探究過程,及問題解決方法的開放性,常研究的函數(shù)模型,函數(shù)零點問題,不等式恒成立問題,參數(shù)的分類討論問題等,可以作為學生思考研究的素材,但不能成為解決問題的模板.學生只有具備了靈活的思維,才能具備獨立解決新問題的能力.

(四)重視數(shù)學運算能力的落實

數(shù)學運算能力是解決數(shù)學問題的基本手段,數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一,在解決函數(shù)與導數(shù)問題中的尤為重要.數(shù)學運算能力表現(xiàn)為：理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結果.例如,今年文理都考查了指對數(shù)的運算,此題的考查重點應該是運算的法則；而題目6 第一問,將函數(shù)求導后得出導函數(shù)零點后,卻討論了原函數(shù)的正負,這就是搞錯了運算對象；題目7 完全參變分離后,對分離出來的新函數(shù)求導,可以從導函數(shù)中局部取不同的函數(shù)進一步研究,如何是最簡便的呢? 這實為運算思路最優(yōu)化的問題.所以,運算能力的培養(yǎng),不是一件簡單的事,要提升學生的運算能力,不是用一句話“你們自己再算一算! ”就能實現(xiàn)的.

(五)重視高觀點下的數(shù)學視角

函數(shù)和導數(shù),是高等數(shù)學的基礎,將高等數(shù)學中常見的素材簡化為中學數(shù)學的問題,是常見的試題命制方法,題目6和題目7 中的函數(shù),就是源于高等數(shù)學中 的一個常見的泰勒展開式o(xn)(n→∞)；解答過程中圖象極限的分析,用到高等數(shù)學洛必達法則也能簡化答題過程.當然,這并不意味著要過多的將高等數(shù)學知識下放到中學教學,而是對教師的專業(yè)能力提出更高的要求,教師若能站在高觀點下看待問題,找到問題的本質內涵,便能更好地指導中學的數(shù)學教學.