廣州市第十六中學(xué)(510000) 陳丹霞

2021年起廣東省高考數(shù)學(xué)將采用新課標(biāo)卷,不分文理,坐標(biāo)系與參數(shù)方程模塊作為選修內(nèi)容,即將在明年的高考新課標(biāo)卷中被取消.盡管如此,今年試卷中對(duì)應(yīng)于該模塊的選做題(全國(guó)Ⅰ卷第22 題)所體現(xiàn)的“試題源于課本并注重基礎(chǔ)、蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想、體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的學(xué)科核心素養(yǎng)”,卻仍將是未來高考考核范疇的重要組成部分.

筆者有幸參加了2020年廣東省高考評(píng)卷工作,以下結(jié)合選做22 題的解析和考生的典型錯(cuò)誤分析,就如何在教學(xué)過程中進(jìn)行規(guī)范性數(shù)學(xué)表述與提高數(shù)學(xué)計(jì)算能力等,談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識(shí)與思考,不足之處敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、試題呈現(xiàn)與解析

高考真題(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文理科第22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ-16ρsinθ+3=0.

(1)當(dāng)k=1 時(shí),C1是什么曲線?

(2)當(dāng)k=4 時(shí),求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

問題分析試題考查學(xué)生對(duì)含字母的參數(shù)方程與直線極坐標(biāo)方程的掌握情況,以及能否通過方程組解出公共點(diǎn)坐標(biāo)的能力,更考查學(xué)生對(duì)參數(shù)方程這一章節(jié)的概念理解；同時(shí),考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想方法的運(yùn)用與運(yùn)算求解、邏輯推理的能力.

第一問求曲線是什么,考生只要對(duì)參數(shù)方程的參數(shù)和常數(shù)理解正確,正確代入k=1,就可以得到常見的圓的參數(shù)方程,也可通過參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化得出C1是什么樣的曲線.第一個(gè)問題的提出,考察的是基礎(chǔ)知識(shí),也為第二問k=4 作了鋪墊._______

第二問是求當(dāng)k=4 時(shí),兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo),考察的是基本技能.考生只要利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,就知道應(yīng)該將求公共點(diǎn)坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解.而很多考生因?yàn)闆]有見過這么高次冪的參數(shù)方程形式,無法獲知是哪種曲線或者無法實(shí)現(xiàn)降冪消元,便望而卻步.實(shí)際上,這一問的解題思路很多,學(xué)生只要抓住問題本質(zhì),愿意嘗試,有一定的數(shù)學(xué)計(jì)算能力,定能將問題解決.

解答第一問解法1.當(dāng)k=1 時(shí),C1:(t為參數(shù)),故曲線C1是以原點(diǎn)(0,0)為圓心,以1 為半徑的圓.

第一問解法2.當(dāng)k=1 時(shí),C1:(t為參數(shù)),由cos2t+sin2t=1 消參得x2+y2=1,故曲線C1是以原點(diǎn)(0,0)為圓心,以1 為半徑的圓.

點(diǎn)評(píng)第一問源于課本,屬于基礎(chǔ)題.在選修4-4 課本23頁(yè),寫道“(θ為參數(shù))是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.”因此,學(xué)生只要代入k=1,并對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行識(shí)別,就可以得到正確的結(jié)論.即使不能直接由參數(shù)方程判斷,在選修4-4 課本25 頁(yè),又寫道“將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識(shí)別曲線的類型”.這就給學(xué)生解決問題提供了第二種方法,也是學(xué)生更為熟悉的解法.不僅如此,課本25 頁(yè)例3 及習(xí)題2.1 第4 題提出同樣的問題“將下列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示什么曲線”的問題.因此學(xué)生只要通過方程的辨別,完整描述出曲線的位置與形狀,即可完成第一問.

第二問解法1.當(dāng)k=4 時(shí),由C1:(t為參數(shù))可得(t為參數(shù))消去參數(shù)t得C1的直角坐標(biāo)方程為

由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得C2的直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0.聯(lián)立消元得一元二次方程解得或(舍去),所以故C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)第二問高于課本,屬于中檔題.解法1 通過開方運(yùn)算將4 次方化成熟悉的三角函數(shù)式,實(shí)現(xiàn)曲線C1的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程,借助互化公式將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,進(jìn)而通過聯(lián)立兩個(gè)直角坐標(biāo)方程,消元,解得方程組的解,又通過變量的取值范圍限制,最終得到唯一的交點(diǎn)坐標(biāo).實(shí)際上,消去不同的元,我們可以得到不同的一元二次方程,如：12x-+13=0 或144y2-232y+49=0 或144x2-712x+169=0.這里著重考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,如何消參、如何消元、如何解一元二次方程,每一步都要求學(xué)生抓住問題本質(zhì),并且有清晰的解題方向,擁有良好的計(jì)算能力.事實(shí)上,我們通過曲線C1的直角坐標(biāo)方程進(jìn)行變形,可得到方程x2-2xy+y2-2x-2y+1=0.這是一個(gè)以直線y=x為對(duì)稱軸的拋物線方程.又由于在變形過程中,擴(kuò)大了變量的取值范圍,因此曲線C1普通方程的另一種表達(dá)是x2-2xy+y2-2x-2y+1=0(0 ≤x≤1,0 ≤y≤1),也即曲線是拋物線的一部分.由此通過數(shù)形結(jié)合的方法(如圖1所示),我們可以驗(yàn)證直線與曲線只有唯一公共點(diǎn).

圖1

第二問解法2.由x=ρcosθ,y=ρsinθ可 得C2的直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0.當(dāng)k=4時(shí),將C1:(t為參數(shù)) 代入C2方程可得4 cos4t-16 sin4t+3=0.因?yàn)閏os2t+sin2t=1,所以12 cos4t-32 cos2t+13=0,解得cos2t=或(舍去),所以故C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)解法2 通過直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程與普通方程的聯(lián)立,整理出關(guān)于sin2t或cos2t的一元二次方程,求解得sin2t或cos2t,從而回代參數(shù)方程,得到公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).相對(duì)解法1 而言,計(jì)算量更小.但要求學(xué)生能理解直角坐標(biāo)系下,參數(shù)方程與普通方程只是不同的表達(dá)方式,依舊可以合二為一.當(dāng)然,無論解法1 還是解法2,解一元二次方程都是解決本問的一個(gè)必要途徑,學(xué)生可以通過十字相乘法或公式法得到方程的根.這里,仍需注意變量的取值范圍.

第二問解法3.C2的直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0.當(dāng)k=4 時(shí),C1:(t為參數(shù)).

點(diǎn)評(píng)解法3 先通過二倍角公式將變量x,y用同一個(gè)元cos 2t表示,再將兩曲線方程進(jìn)行聯(lián)立,得到關(guān)于cos 2t的一個(gè)一元二次方程,從而解得公共點(diǎn)坐標(biāo).數(shù)學(xué)運(yùn)算講究的是統(tǒng)一,這樣處理,從一開始就將兩個(gè)變量統(tǒng)一起來,也不失為一個(gè)好的想法.當(dāng)然,易錯(cuò)點(diǎn)在于代入后的展開化簡(jiǎn)及有沒有分類討論,若直接將化簡(jiǎn)后的一元二次方程中的cos 2t約去,沒有討論cos 2t=0 的情況,就會(huì)造成錯(cuò)解.考生在考試過程中,必須熟悉每一步的運(yùn)算法則,并且計(jì)算正確,才能得到最終正解.

第二問解法4.由C1的直角坐標(biāo)方程為且x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得

點(diǎn)評(píng)解法4 利用極坐標(biāo)系解決問題.這里需要將C1的參數(shù)方程先轉(zhuǎn)化成普通方程,再利用互化公式,寫成極坐標(biāo)方程.聯(lián)立過程應(yīng)采用消去極徑ρ更好,進(jìn)而由sinθ與cosθ的關(guān)系,得到交點(diǎn)的極坐標(biāo),最后回歸直角坐標(biāo),回答問題.此解法中,需要注意參數(shù)方程中參數(shù)t與極坐標(biāo)方程中極角θ的定義不同.筆者在評(píng)卷過程中發(fā)現(xiàn),不少考生會(huì)將參數(shù)t換成熟悉的字母θ,便直接利用極坐標(biāo)解決問題,這是知識(shí)性的錯(cuò)誤.因此,還需不斷強(qiáng)調(diào)概念教學(xué),滲透數(shù)學(xué)的符號(hào)化定義.

第二問解法5.C2的直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0.將C1:(t為參數(shù))代入4x-16y+3=0,得4 cos4t-16 sin4t+3=0.

將3=3(cos2t+sin2t)2=3(cos4t+2 cos2tsin2t+sin4t)代入,得4 cos4t-16 sin4t+3 cos4t+6 cos2tsin2t+3 sin4t=0,即7 cos4t+6 cos2tsin2t-13 sin4t=0,同除以cos4t可得13 tan4t-6 tan2t-7=0,解得tan2t=1 或tan2t=(舍去).所以所以故C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

第二問解法6.當(dāng)k=4 時(shí),有C1:(t為參數(shù)),由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得C2的直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0.從而C2的參數(shù)方程為u為參數(shù).聯(lián)立得方程組消去參數(shù)u得令a=sin2t可得12a2+8a-7=0,所以從而故C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)解法5 利用三角函數(shù)平方關(guān)系得齊次式,利用三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系化弦為切,從而得到關(guān)于tan2t的一元二次方程,最終將問題解決.本解法對(duì)考生三角函數(shù)模塊的公式使用與化“1”的解題技巧要求較高,計(jì)算量偏大.解法6 給出了將直角坐標(biāo)系下兩組參數(shù)方程聯(lián)立的思路.雖較少用,但對(duì)于學(xué)生理解兩個(gè)不同坐標(biāo)系(直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系)的不同方程形式,以及它們是否能直接產(chǎn)生聯(lián)系,起到一定的作用.解法5 和6 在評(píng)卷時(shí)并不多見,在此列出,供大家教學(xué)參考.

二、考生答題情況分析

1 答題情況綜述

本題是選做題之一,分值為10 分,有六分之五的考生選做,考生基本能讀懂問題.第一問大部分學(xué)生能代入k=1并回答曲線是圓；第二問學(xué)生主要采用解法1 和解法2,大部分考生能寫出直線C2的普通方程并與曲線C1聯(lián)立.但考生的計(jì)算能力有待提高,往往只能表達(dá)出聯(lián)立的步驟,并不能實(shí)現(xiàn)消元；或者能夠通過消元得到一元二次方程,卻無法解得方程的正解.通過典型錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì),可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這一模塊的知識(shí)掌握情況并不樂觀,主要體現(xiàn)在基本概念不清晰、基本方法不熟練,運(yùn)算能力、表達(dá)能力等方面的欠缺.因此,在數(shù)學(xué)基本概念的理解教學(xué)上,在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力上,我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn).

2 典型錯(cuò)誤分析

(1)第一問曲線描述正確但不完整在抽樣統(tǒng)計(jì)中,有24%的考生只回答“圓”或“半徑為1 的圓”或“圓心在原點(diǎn)的圓”.反映了考生不知道描述一條曲線不能僅僅說明形狀,還應(yīng)該包含這條曲線的關(guān)鍵要素.也就是說描述應(yīng)該產(chǎn)生一個(gè)唯一確定的結(jié)果,即能根據(jù)曲線的文字描述將曲線還原.體現(xiàn)了考生的規(guī)范意識(shí)有所欠缺.

(2)第一問曲線描述不正確或沒有回答問題部分考生轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時(shí),得到錯(cuò)誤曲線y=xtant或x2+y2=t2,并回答曲線是“直線”或“橢圓、雙曲線”等.這部分考生有的不知道如何消參,有的對(duì)參數(shù)的理解錯(cuò)誤,造成轉(zhuǎn)化過程并沒有消去參數(shù)t；也有的認(rèn)為cost是cos 乘t；還有的是對(duì)于常見曲線方程的形式不能給出正確判斷.反映出考生的基本概念不清晰.

(3)第二問參數(shù)方程C1 無法正確消參在抽樣統(tǒng)計(jì)中,也有22%的考生卡在如何消去參數(shù)這個(gè)步驟.大部分考生只代入k=4,或者嘗試用x-y=cos2t-sin2t就沒有后續(xù),或者消參后得到錯(cuò)誤的方程x+y=1.究其原因,是考生對(duì)三角恒等式的運(yùn)用不熟練,不能觀察出=cos2t與=sin2t或者不懂得進(jìn)一步化成cos 2t完成消元,進(jìn)而消參.也有部分考生錯(cuò)用cos2t+sin2t=1.體現(xiàn)考生觀察能力不佳,解題的基本方法沒有掌握.

(4)不會(huì)求解方程組在抽樣統(tǒng)計(jì)中,有14%的考生懂得通過聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo),卻不知道如何求解方程組.考生的心理素質(zhì)有待提高,很多學(xué)生看到根號(hào)就懵了.對(duì)代入消元法解方程組沒有掌握到位,以至于只能表達(dá)出聯(lián)立步驟.部分考生能通過消元法得到一個(gè)一元二次方程,卻無法正確使用十字相乘法或公式法求解得方程的根.這正體現(xiàn)了考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng)的欠缺.

(5)寫出4 cos4 t-16 sin4 t+3=0 后不會(huì)消元在抽樣統(tǒng)計(jì)中,約有13%考生看到四次方就不知所措,實(shí)際上反映出考生指數(shù)運(yùn)算不過關(guān),不知道可以把cos4t看成(cos2t)2,并利用cos2t+sin2t=1 實(shí)現(xiàn)消元,化成一個(gè)一元二次方程.指數(shù)運(yùn)算的不過關(guān)還體現(xiàn)在二倍角公式的使用錯(cuò)誤,有些考生將寫成錯(cuò)誤形式實(shí)屬不該.

(6)書寫過程出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤或結(jié)果出現(xiàn)增根等有考生將直線的方程4x-16y+3=0 寫成錯(cuò)誤形式4x-6y+3=0,4x-16y+3,4x+16y+3=0 或2x-16y+3=0 等.這種錯(cuò)誤屬于考生的非智力因素失分,應(yīng)盡量避免粗心導(dǎo)致的符號(hào)或系數(shù)的抄錯(cuò).有的考生將變形錯(cuò)誤得到或x2+y2=1 等,體現(xiàn)的是對(duì)完全平方公式的使用不熟練.也有考生回答公共點(diǎn)坐標(biāo)為或并沒有舍去增根,是作答過程中缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.

三、教學(xué)建議

由于2021年起廣東省高考數(shù)學(xué)采用新課標(biāo)卷,不分文理,取消選做題,因此本模塊學(xué)習(xí)不再作為新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的教學(xué)內(nèi)容.但基于以上試題呈現(xiàn)與問題分析,結(jié)合解法研究及考生典型錯(cuò)誤分析,不難發(fā)現(xiàn)考生運(yùn)算能力薄弱與數(shù)學(xué)基本概念不清晰是導(dǎo)致高考數(shù)學(xué)失分的一個(gè)重要因素.2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).

筆者針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng),結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算能力的提升策略,給出如下教學(xué)建議.

1 立足運(yùn)算對(duì)象,實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移,講好數(shù)學(xué)運(yùn)算法則

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,幾乎都是在利用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決各種問題,從低年級(jí)實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算到高年級(jí)的集合、指對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、向量、概率等,運(yùn)算不斷拓展與深化.然而,很多學(xué)生只知其一不知其二,甚至只會(huì)通過記背公式的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,導(dǎo)致無法熟練掌握運(yùn)算法則,容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.

數(shù)學(xué)教育家傅種孫提出：知其然,知其所以然,何由以知其所以然!在教學(xué)過程中,學(xué)生要真正掌握知識(shí)本身,教師應(yīng)該做好第一步,讓學(xué)生“知其然,知其所以然”.教學(xué)中,教師應(yīng)該立足運(yùn)算對(duì)象,首先讓學(xué)生了解我們的運(yùn)算對(duì)象是什么.例如在講集合的運(yùn)算前,學(xué)生可以從一類事物的實(shí)例了解集合提出的背景,再對(duì)研究對(duì)象的概念進(jìn)行剖析,讓學(xué)生理解何為集合,接著從集合的基本關(guān)系出發(fā)定義集合的運(yùn)算.而不是草率地把集合的概念拋出,接著類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算給出集合的交并補(bǔ)運(yùn)算.教師只有帶著學(xué)生一步一步探索知識(shí)本身,重視知識(shí)的生成過程,學(xué)生清楚地知道其來龍去脈,才能形成自己的知識(shí)框架,才能擁有自己的思維模式,才能將運(yùn)算真正理解透徹.

其次是運(yùn)算法則的講解,如何講好?實(shí)際上就是如何讓學(xué)生接受一個(gè)新的事物,并能將其納入自己的知識(shí)體系,融會(huì)貫通.講一個(gè)新的概念,特別是數(shù)學(xué)概念,往往是比較抽象的,學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突,甚至無法理解與接受.如何做好教學(xué)工作,使得新舊知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系,又能使學(xué)生明確他們之間的區(qū)別,尤為重要.人教版數(shù)學(xué)書寫道“數(shù)學(xué)中,引進(jìn)一個(gè)新的概念或法則時(shí),總希望它與已有的概念或法則相容”.因此,講好運(yùn)算法則,需要注重知識(shí)的遷移,通常運(yùn)用類比、歸納、公式的正向與逆向使用對(duì)比等方法.如有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì),是可以從整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比得到的,它們是相容的；又如向量的加法運(yùn)算,是從物理的合力概念而來,由位移的合成到向量的加法歸納得出向量的加法運(yùn)算法則；再如十字相乘法解一元二次方程,先將二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行多次因式分解,再逆向交叉相乘驗(yàn)證,直至配湊出正確的因式.除了注重知識(shí)的遷移,筆者認(rèn)為,還需要注重運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo).例如數(shù)列的性質(zhì),對(duì)于等差數(shù)列{an},?m,n,p,q ∈??,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.不能要求學(xué)生只記憶“下標(biāo)和相等,兩項(xiàng)和相等”,建議從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式出發(fā),推導(dǎo)證明得出公式的正確性,學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上,才能更好地進(jìn)行數(shù)列的運(yùn)算.

高考始終圍繞基本知識(shí)和基本技能進(jìn)行考核,題目只是考核的形式和載體,教學(xué)中應(yīng)立足基礎(chǔ),注重遷移,不能過度地以題為本,否則容易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)和備考中的高強(qiáng)度和低效率,產(chǎn)生厭學(xué)情緒.

2 板書詳細(xì)解答,強(qiáng)化變式訓(xùn)練,提升學(xué)生計(jì)算能力

學(xué)生計(jì)算能力的提升需要教師的言傳身教,無論計(jì)算的難易、步驟的繁簡(jiǎn),教師若能事無巨細(xì),條理清晰,詳細(xì)板書計(jì)算過程,一定可以給學(xué)生起到良好的示范作用.學(xué)生在解答的過程中,也會(huì)模仿老師的做法,規(guī)劃好草稿區(qū)域,盡量細(xì)化每一步運(yùn)算,不斷深化自己的計(jì)算功力.如若教師在授課過程中,不愿意用黑板或白板書寫詳細(xì)解答過程,只依賴課件或者通過投影進(jìn)行答案的展示,則很難讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)解題過程中需要注意的細(xì)節(jié)問題,包括解題思路、書寫規(guī)范、計(jì)算過程等.

當(dāng)然,教師還需要強(qiáng)化變式訓(xùn)練,讓學(xué)生能夠在有限的題型訓(xùn)練中,獲取更多的思維碰撞,實(shí)現(xiàn)計(jì)算的靈活性.計(jì)算并不是一條路走到黑,而是可以有多種途徑選擇,如何明確自己的計(jì)算方向,簡(jiǎn)化運(yùn)算,降低計(jì)算錯(cuò)誤率是學(xué)生提升計(jì)算能力的重要環(huán)節(jié).正如本試題解答所提及的解一個(gè)一元二次方程,我們有公式法、十字相乘法、配方法等,在解題的過程中,我們會(huì)依據(jù)方程的特點(diǎn),選用最合適的方法.例如對(duì)于方程12 cos4t-32 cos2t+13=0 采用十字相乘法更佳,對(duì)于方程3(cos 2t)2-10 cos 2t=0 采用提公因式法更加,對(duì)于方程12y+-7=0 采用十字相乘法或公式法均可.

3 作業(yè)精細(xì)批改,強(qiáng)化檢驗(yàn)意識(shí),培養(yǎng)良好計(jì)算習(xí)慣

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握,更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展,制定科學(xué)合理的學(xué)業(yè)質(zhì)量要求,促進(jìn)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.筆者認(rèn)為,學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng),是在掌握了數(shù)學(xué)運(yùn)算法則之后對(duì)該法則的使用中不斷實(shí)現(xiàn)的.在現(xiàn)階段的教學(xué)形式上,作業(yè)與考試是反饋學(xué)生學(xué)習(xí)效果的最佳手段,也是教師在階段性評(píng)價(jià)上能幫助學(xué)生更好地掌握運(yùn)算法則的重要途徑.

很多時(shí)候,學(xué)生在計(jì)算上出現(xiàn)的錯(cuò)誤,我們并不能一概而論；學(xué)生對(duì)法則的掌握程度也是不相同的；甚至我們不能想象在高考中學(xué)生也會(huì)出現(xiàn)抄錯(cuò)數(shù)字的低級(jí)錯(cuò)誤.事實(shí)上,任何計(jì)算過程都難免出錯(cuò),例如錯(cuò)位相減法求和運(yùn)算中,很多學(xué)生不能得到正確的運(yùn)算結(jié)果,有的學(xué)生是乘公比后作差時(shí)最后一項(xiàng)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤,有的學(xué)生是等比公式使用時(shí)指數(shù)書寫錯(cuò)誤,有的學(xué)生是化簡(jiǎn)時(shí)系數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤等等,這些都需要教師更為細(xì)致地點(diǎn)撥,才能助力學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此,要減少在運(yùn)算法則的進(jìn)一步使用中出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤,教師在批改作業(yè)時(shí)應(yīng)盡可能精細(xì),若能用紅筆圈出錯(cuò)誤步驟,在課后一對(duì)一輔導(dǎo)找出錯(cuò)誤原因,并指明更正方向；同時(shí)在學(xué)生廣泛涉獵題型和題目的基礎(chǔ)上,教師有計(jì)劃有目的地安排少量典型題目展開精解和細(xì)評(píng)活動(dòng),將是有益的；甚至可以要求學(xué)生盡可能以最少的筆墨不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙⒔忸}過程展現(xiàn)出來,先讓學(xué)生之間相互批改共同進(jìn)步,后由教師課上進(jìn)行權(quán)威點(diǎn)評(píng).在作業(yè)批改過程中,對(duì)表達(dá)過程的這種嚴(yán)苛要求,將促使學(xué)生能清晰地知道自己每個(gè)步驟在做什么(所依據(jù)的是題目中的什么條件和課本中的哪些命題結(jié)論),從而實(shí)現(xiàn)對(duì)相關(guān)知識(shí)和計(jì)算方法的嚴(yán)謹(jǐn)梳理.

培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣,還需要強(qiáng)化學(xué)生的檢驗(yàn)意識(shí).事實(shí)上,計(jì)算結(jié)果正確與否,只需代入驗(yàn)算即可.然而許多教師在教學(xué)過程中卻“重頭輕腳”,只想著如何將運(yùn)算法則講好講細(xì),如何在訓(xùn)練中使學(xué)生熟練掌握運(yùn)算法則,卻忽略了驗(yàn)算這一重要的計(jì)算習(xí)慣.同樣的,不少學(xué)生極力展示解答問題的過程和步驟,甚至到了啰嗦冗余的地步,但卻不愿花費(fèi)僅約十分之一的時(shí)間去對(duì)所得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,錯(cuò)失糾錯(cuò)機(jī)會(huì).例如解一元二次方程12y+-7=0 時(shí),將結(jié)果代入驗(yàn)證,即可確定其正確性；而把代入驗(yàn)證,等式不成立即為錯(cuò)解.因此,只要學(xué)生能夠有意識(shí)的進(jìn)行計(jì)算的檢驗(yàn),就可以有效發(fā)現(xiàn)自己的計(jì)算錯(cuò)誤,減少失分.

只有在教學(xué)過程中做好細(xì)節(jié),積累經(jīng)驗(yàn),不斷探索,才能實(shí)現(xiàn)計(jì)算能力的穩(wěn)步提升,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).