廣東省深圳中學(518001) 周峻民

1 試題呈現(xiàn)

題目(2020年高考全國Ⅰ卷文理第23 題) 已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像；

(2)求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.

該題以分段一次函數(shù)的作圖與解不等式為載體,體現(xiàn)數(shù)形結合、分類討論、轉化與化歸等數(shù)學思想方法,滲透直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查.

2 試題解答與點評

2.1 試題第(1)問：畫出函數(shù)y=f(x)圖像

解由題意知,函數(shù)f(x)=函數(shù)y=f(x)圖像如圖所示：

點評本小題設問指向明確,解法單一,通過零點分段法,將含絕對值函數(shù)轉化為分段一次函數(shù),再根據(jù)各段一次函數(shù)的圖像,畫出y=f(x)的圖像.

2.2 試題第(2)問：求不等式f(x)＞f(x+1)的解集

解法1(函數(shù)圖像法)將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移一個單位長度后得到y(tǒng)=f(x+1)的圖像：

解法2(零點分段法)由題意知f(x+1)=|3x+4|-2|x|,故不等式f(x)＞f(x+1)即為|3x+1|-2|x-1|＞|3x+4|-2|x|.

①當x≤時,-(3x+1)+2(x-1)＞-(3x+4)+2x,即-3＞-4,恒成立,故x≤時原不等式成立；

④當0＜x≤1 時,(3x+1)+2(x-1)＞(3x+4)-2x,即故此時不等式無解；

⑤當x＞1 時,(3x+1)-2(x-1)＞(3x+4)-2x,即3＞4,不成立,故此時不等式無解.

綜上所述,不等式f(x)＞f(x+1) 的解集為

解法3(函數(shù)單調(diào)性法)由第(1)問y=f(x)的圖像可知,y=f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

①當x＜x+1 ≤即時,y=f(x) 在上單調(diào)遞減,從而f(x)＞f(x+1)恒成立,故

綜上所述,f(x)＞f(x+1)的解集為

點評解法1 將不等式問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題,體現(xiàn)數(shù)形結合思想、直觀想象核心素養(yǎng)；解法2 則采用零點分段法去絕對值,直接解不等式,體現(xiàn)了分類討論思想、數(shù)學運算核心素養(yǎng)；解法3 則是利用函數(shù)單調(diào)性這一函數(shù)工具處理不等式問題,體現(xiàn)了轉化與化歸思想、邏輯推理核心素養(yǎng).

3 備考建議

3.1 研究高考,把握方向

下面表1、表2分別是近五年全國卷“不等式選講”的考點分布表、2020年新高考全國卷涉及“不等式選講”的考點分布表：

表1：近五年全國卷“不等式選講”的考點分布表

表2：2020年新高考全國卷涉及“不等式選講”的考點分布表

從上表可以看出，近五年“不等式選講”在全國卷中的考點在內(nèi)容上穩(wěn)中有變，保持了相當高的穩(wěn)定性，大部分以考查絕對值不等式為主，穿插考查基本不等式的應用; 2020年新高考全國卷雖然刪減了選做題，但并不意味著不間接考查“不等式選講”的相關內(nèi)容，例如新高考的全國I卷(山東)第11題與全國II卷(海南)第12題，考查內(nèi)容涉及到了基本不等式的應用，“不等式選講”考點依然會在新高考中出現(xiàn)(特別是不等式性質、基本不等式、含絕對值不等式等).

3.2 回歸教材，理解本質

許多高三師生對課本不夠重視，然而“刷百題不如精教材”，我們應回歸教材，追本溯源，從知識的根源——概念、性質人手，并從教材的例題、習題中提煉出一般的通性通法，夯實雙基，加強對必備知識的理解和關鍵能力的訓練.

雖然今年是廣東高考最后-一次考查“不等式選講”，但從知識交會角度來看，不等式內(nèi)容的考查，并不單單立足于“不等式選講”這道題上，往往是將不等式融合到其他試題中，突出不等式的工具性，淡化其獨立性.在備考過程中，要理解不等式的本質，關注其與其他知識在交會處的應用，感悟其中蘊含的思想方法，熟悉不同問題的處理策略，把不等式作為一種解決問題的重要工具，在其他各種不同的知識情境中靈活應用(例如向量、復數(shù)的模與絕對值三角不等式，函數(shù)的值域、幾何最值與基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性與不等式的基本性質等).