周偉
摘 要:計算教學中的算法和算理相輔相成、不可分割,算法能知其然,而算理能知其所以然。文章根據(jù)“兩位數(shù)除以一位數(shù)(首位除有余數(shù))”的教學實踐,思考了如何在探索算法中讓學生自然地理解算理,提高數(shù)學素養(yǎng),發(fā)展思維水平,培養(yǎng)數(shù)學思想。
關(guān)鍵詞:操作;探究;算理;算法
中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 收稿日期:2020-03-02 文章編號:1674-120X(2020)24-0073-02
一、各抒己見
今天C 老師教了新課“兩位數(shù)除以一位數(shù)(首位除有余數(shù))”(蘇教版三年級上冊),課堂練習不盡如人意,錯算 “68÷4=12”的就有8個學生。例題以圖文形式呈現(xiàn)“把52只羽毛球分給2個班,平均每班分得多少只?”圍繞問題,辦公室的教師你一言我一語,展開了激烈的討論。
T:很明顯,錯誤的算法是受了前面例題(百位、十位都能整除)的影響,個位直接用“8÷4” 的,我班也有。
C:課上講例題時還反復強調(diào),十位上的5除以2,余下來的1必須和2合起來除,但學生做題時卻忘了。
X:我在課上是用分小棒的方法讓學生理解這步的。先分整捆的,余下來的1捆可以表示10個1,和2的計數(shù)單位一樣,就應該合起來組成12,否則有什么意義呢?操作活動是必需的,這個算理也自然而然。
C:我何嘗沒分過呢?新課就新在這“一小步”上。
Z(筆者):或許我們認為很自然的“一小步”,卻是學生難點突破的“一大步”。
討論中教師用“肯定”“自然而然”等詞語來加強算理的說服力,果真如此嗎?或許有些問題上,教師嘴上的“自然而然”,在學生眼里卻是另一番樣子。如筆者所言,難點上每跨出的“一小步”都是一種飛躍。
二、課堂實踐
針對錯誤,筆者進行了調(diào)查,學生回答“之前教師講過,要一位一位地除”。這也驗證了:小棒是分了,計算時卻“濤聲依舊”,反映在豎式計算上就是機械模仿、“油水分離”,算法和算理的內(nèi)在關(guān)聯(lián)未能真正打通。因為筆者間隔一天教學,所以有機會進行課堂的實踐和再思考。
(一)借助操作理解算理
片段一:(注:例題中的“52只”改成“72只”)
師:同學們用豎式算出了結(jié)果,還驗算證明36是正確的,真了不起!為什么這樣算?能借助小棒(7整捆和零散2根)分一分嗎?(小組活動后交流)
生1:我們小組是先分2根,每份有1根。然后把7捆平均分,每份3捆,還多出來1捆再分,每份是5根。一共是3捆加1根,再加5根,合起來36根。
生2:我們先將7捆分成兩份,每份3捆。多出來的1捆再分,每份5根。最后分剩下的2根,每份1根。這樣3個十、5個一、1個一加起來是36。
生3:我們覺得第二步可以把1捆10根與2根合成12根,平均分成兩份,每份是6根。結(jié)果也是36。
師:哪種分法次數(shù)最少?同學們支持哪一種?
生4:我支持第三種,因為只要分兩次。再說“12÷2”可以口算。
(也有支持前兩種的,認為也簡便的)
思考:有學生會列豎式計算,教師追問“為什么這樣算”是為了讓學生“知其所以然”,分小棒活動就提供了探究的時間和空間。“兒童的智慧在指尖。”操作活動讓計算有了趣味性,為感悟算理提供了原型,算法便能落地生根。學生的分法多元化,但沒有明顯的優(yōu)劣之分,為后面的優(yōu)化做了鋪墊。
(二)通過改編例題豐富算理
片段二:
師:還是這72只羽毛球,如果分給3個班,平均每班得多少只,你又怎么分呢?(小組再合作)
生4:我們組這樣分,先把7捆平均分成3份,每份2捆,就分掉了6捆。再把剩下1捆與2根合成12根,12÷3=4。2捆加4根一共是24根。
師:那有沒有誰先分零散的2根呢?(生答沒有,師轉(zhuǎn)而問生1的意見)
生1:我們小組也是先分7捆的,如果先分2根,分不了啊。
師:可不是嘛!那余下的1捆,你們是單獨分,還是與2根合起來再分呢?(學生紛紛答“合起來分”)有不同意見嗎?
生2:10根平均分成3份有余數(shù),比較麻煩,和2根合起來一起分,正好每份4根。
生5:我發(fā)現(xiàn)整捆沒分完,余下的1捆,和零頭合起來分比較簡便。
師:確實這樣。這么多球,還可以平均分給幾個班?(學生說:4個、6個…)誰愿意來試一試,看看每份多少只?
生6:我把7捆平均分成4份,每份1捆,這樣就還余下3捆,與2合成32,32÷4=8,1捆加8根是18根。
…………
師:可以把72根小棒平均分成2份,還可以分成3份、4份…先分哪部分的小棒比較合理?如果有整捆的小棒余下來,怎么分才既簡便又合理呢?
生7(驚喜地):我發(fā)現(xiàn)把72根小棒無論平均分成幾份,都是先分7捆小棒,只要有余下來的,無論是1捆或者幾捆,都和剩下的2根合起來,再分一次就可以了,這樣分最簡便,次數(shù)也最少。(學生鼓掌)
思考:要想讓學生理解算理真正地自然而然,操作活動就不能簡單地“走過場”。在活動中,筆者通過創(chuàng)設“把72只羽毛球平均分成3份、4份、6份,每份多少”的問題情境,讓學生在觀察、比較中體會到“余下的一或幾捆和2根合起來再分”是合理、恰當?shù)?,為列豎式計算打好基礎,以實現(xiàn)從“一小步”向“一大步”的跨越。
(三)用數(shù)學語言歸納算法
“語言是思維的外殼?!狈中“舻拿恳徊蕉夹枰獙W生用數(shù)學語言條理清晰地講出來,先分什么,平均分成幾份,每份多少,分去多少,還余多少,再怎么分?學生每說一步,筆者就啟發(fā)學生在豎式計算旁邊“注解”(見下式),按“一除、二乘、三減”的步驟,除到有余數(shù)時筆者追問:“余下的1表示多少?怎么繼續(xù)除下去?”學生聯(lián)想到剛才分小棒的過程,一致認為如果“有余數(shù)”,應該和個位的2合起來繼續(xù)除,自然而然地加上一步“四合”后再除。每一步算法和分小棒(算理)達到一一對應。這樣,算法清清楚楚,算理明明白白,更重要的是算法和算理能互相說明、水乳交融,顯得自然而然,避免了算法的“生吞活剝”。
以“72÷2”為例:
(四)通過多層練習對比算法
通過專項練習、對比練習和改錯練習等,突出算理,突破難點,明確算法。比如,針對上面的豎式,教師提問“豎式中的兩個6有什么不同?分別表示多少?怎么得到的?”檢驗學生對算理是否清楚。設計對比題組,如“77÷7”和“91÷7”“96÷3”和“96÷6”等,比較每組題計算時的相同點和不同點,把算法和算理融合、夯實。作業(yè)反饋效果好、正確率高,也證明這是教學的自然之道。
三、教學反思
(一)完善“直觀操作—表象操作—抽象分析” 的過程提升,為算法和算理提供思維支撐
算法和算理好比一枚硬幣的兩面,相輔相成、不可分離,尤其對理解能力不夠強的學困生而言,操作活動對理解算理、掌握算法起到了支撐作用。在操作中借助“小棒”“計數(shù)器”等數(shù)學工具,調(diào)動學生手、腦、口等各種感官參與,將抽象的算理形象地顯示出來,為算理的構(gòu)建提供原型支撐,學生初步形成了形象化的算理認識,有效地突破了“余下的整捆小棒怎么分”這個難點。但教師不能僅限于此,要逐步引導學生擺脫對具體形象的依賴,向“表象操作”“思維表征”過渡,用數(shù)學語言將算理和算法勾連,在經(jīng)歷數(shù)學化的過程中,學會抽象地思考問題。從直觀、表象再到抽象的過程中,實現(xiàn)形象和抽象雙向互通式的結(jié)合,為學生真正理解算理、構(gòu)建算法提供支撐。
(二)注重算理的遷移、類比與拓展,為算法的“再創(chuàng)造”提供平臺
算法是計算的規(guī)則和程序,但不應作為一種“強勢規(guī)定”塞給學生,只有合情合理的結(jié)論,才能以理服人?!靶W生的數(shù)學學習是一個經(jīng)驗激活、利用、調(diào)整、積累和提升的過程,是建立在經(jīng)驗基礎之上的一個主動建構(gòu)的過程”(周玉仁)。本課建立在舊知“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)(百位、十位都能整除)”上,新在“首位除有余數(shù)”怎么辦?筆者通過創(chuàng)設“平分72只羽毛球”的問題情境,讓學生在活動中充分探索,在新舊知識間展開意義聯(lián)結(jié),主動遷移、類比推理算理,進而讓學生認識到在計算中“十位余下的數(shù)與個位合起來再除”是合理的、恰當?shù)?,為有效形成“新算法”的“再造”,進行結(jié)構(gòu)建模,提升運算能力助力。
(三)順應學生“數(shù)學思維—數(shù)學思想”的發(fā)展脈絡,實現(xiàn)計算教學的旨歸
在探索算法中讓學生自然地理解算理,進而提高數(shù)學素養(yǎng),發(fā)展思維水平,豐富數(shù)學思想,才是計算教學的旨歸。學生在操作活動中經(jīng)歷著一系列的觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維活動,培養(yǎng)了縝密思考、勇于批判、比較擇優(yōu)、綜合分析的思維水平和理性精神,從中感受到數(shù)學運算的思想精髓和神奇奧秘,并不斷推向更高的思想境界。
一是數(shù)形結(jié)合思想。加強直觀操作讓數(shù)形相結(jié)合,不僅是一種數(shù)學思想,也是分析問題、解決問題的一種策略,能幫助學生化難為易、掌握本質(zhì)。二是對應思想。簡潔的除法豎式里的每一步運算,與小棒均分的過程一一對應,更好地實現(xiàn)了從算理到算法、從表象到抽象、從感性到理性的進階與融合。三是最優(yōu)化思想。通過創(chuàng)設數(shù)學問題情境串,教師能讓學生在不斷思考中自然而然地理解算理,優(yōu)化思維,培養(yǎng)和豐富數(shù)學思想。
參考文獻:
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[2]紀玉潔.在計算教學中尋找“理”與“法”的平衡點[J].遼寧教育,2017(23):39-40.