在操作中悟理 在探究中求法

周偉

摘 要：計算教學中的算法和算理相輔相成、不可分割，算法能知其然，而算理能知其所以然。文章根據(jù)“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位除有余數(shù)）”的教學實踐，思考了如何在探索算法中讓學生自然地理解算理，提高數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展思維水平，培養(yǎng)數(shù)學思想。

關(guān)鍵詞：操作;探究;算理;算法

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2020-03-02 文章編號：1674-120X（2020）24-0073-02

一、各抒己見

今天C 老師教了新課“兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位除有余數(shù)）”（蘇教版三年級上冊），課堂練習不盡如人意，錯算 “68÷4=12”的就有8個學生。例題以圖文形式呈現(xiàn)“把52只羽毛球分給2個班，平均每班分得多少只？”圍繞問題，辦公室的教師你一言我一語，展開了激烈的討論。

T：很明顯，錯誤的算法是受了前面例題（百位、十位都能整除）的影響，個位直接用“8÷4” 的，我班也有。

C：課上講例題時還反復強調(diào)，十位上的5除以2，余下來的1必須和2合起來除，但學生做題時卻忘了。

X：我在課上是用分小棒的方法讓學生理解這步的。先分整捆的，余下來的1捆可以表示10個1，和2的計數(shù)單位一樣，就應該合起來組成12，否則有什么意義呢？操作活動是必需的，這個算理也自然而然。

C：我何嘗沒分過呢？新課就新在這“一小步”上。

Z（筆者）：或許我們認為很自然的“一小步”，卻是學生難點突破的“一大步”。

討論中教師用“肯定”“自然而然”等詞語來加強算理的說服力，果真如此嗎？或許有些問題上，教師嘴上的“自然而然”，在學生眼里卻是另一番樣子。如筆者所言，難點上每跨出的“一小步”都是一種飛躍。

二、課堂實踐

針對錯誤，筆者進行了調(diào)查，學生回答“之前教師講過，要一位一位地除”。這也驗證了：小棒是分了，計算時卻“濤聲依舊”，反映在豎式計算上就是機械模仿、“油水分離”，算法和算理的內(nèi)在關(guān)聯(lián)未能真正打通。因為筆者間隔一天教學，所以有機會進行課堂的實踐和再思考。

（一）借助操作理解算理

片段一：（注：例題中的“52只”改成“72只”）

師：同學們用豎式算出了結(jié)果，還驗算證明36是正確的，真了不起！為什么這樣算？能借助小棒（7整捆和零散2根）分一分嗎？（小組活動后交流）

生1：我們小組是先分2根，每份有1根。然后把7捆平均分，每份3捆，還多出來1捆再分，每份是5根。一共是3捆加1根，再加5根，合起來36根。

生2：我們先將7捆分成兩份，每份3捆。多出來的1捆再分，每份5根。最后分剩下的2根，每份1根。這樣3個十、5個一、1個一加起來是36。

生3：我們覺得第二步可以把1捆10根與2根合成12根，平均分成兩份，每份是6根。結(jié)果也是36。

師：哪種分法次數(shù)最少？同學們支持哪一種？

生4：我支持第三種，因為只要分兩次。再說“12÷2”可以口算。

（也有支持前兩種的，認為也簡便的）

思考：有學生會列豎式計算，教師追問“為什么這樣算”是為了讓學生“知其所以然”，分小棒活動就提供了探究的時間和空間。“兒童的智慧在指尖。”操作活動讓計算有了趣味性，為感悟算理提供了原型，算法便能落地生根。學生的分法多元化，但沒有明顯的優(yōu)劣之分，為后面的優(yōu)化做了鋪墊。

（二）通過改編例題豐富算理

片段二：

師：還是這72只羽毛球，如果分給3個班，平均每班得多少只，你又怎么分呢？（小組再合作）

生4：我們組這樣分，先把7捆平均分成3份，每份2捆，就分掉了6捆。再把剩下1捆與2根合成12根，12÷3=4。2捆加4根一共是24根。

師：那有沒有誰先分零散的2根呢？（生答沒有，師轉(zhuǎn)而問生1的意見）

生1：我們小組也是先分7捆的，如果先分2根，分不了啊。

師：可不是嘛！那余下的1捆，你們是單獨分，還是與2根合起來再分呢？（學生紛紛答“合起來分”）有不同意見嗎？

生2：10根平均分成3份有余數(shù)，比較麻煩，和2根合起來一起分，正好每份4根。

生5：我發(fā)現(xiàn)整捆沒分完，余下的1捆，和零頭合起來分比較簡便。

師：確實這樣。這么多球，還可以平均分給幾個班？（學生說：4個、6個…）誰愿意來試一試，看看每份多少只？

生6：我把7捆平均分成4份，每份1捆，這樣就還余下3捆，與2合成32，32÷4=8，1捆加8根是18根。

…………

師：可以把72根小棒平均分成2份，還可以分成3份、4份…先分哪部分的小棒比較合理？如果有整捆的小棒余下來，怎么分才既簡便又合理呢？

生7（驚喜地）：我發(fā)現(xiàn)把72根小棒無論平均分成幾份，都是先分7捆小棒，只要有余下來的，無論是1捆或者幾捆，都和剩下的2根合起來，再分一次就可以了，這樣分最簡便，次數(shù)也最少。（學生鼓掌）

思考：要想讓學生理解算理真正地自然而然，操作活動就不能簡單地“走過場”。在活動中，筆者通過創(chuàng)設“把72只羽毛球平均分成3份、4份、6份，每份多少”的問題情境，讓學生在觀察、比較中體會到“余下的一或幾捆和2根合起來再分”是合理、恰當?shù)?，為列豎式計算打好基礎，以實現(xiàn)從“一小步”向“一大步”的跨越。

（三）用數(shù)學語言歸納算法

“語言是思維的外殼?！狈中“舻拿恳徊蕉夹枰獙W生用數(shù)學語言條理清晰地講出來，先分什么，平均分成幾份，每份多少，分去多少，還余多少，再怎么分？學生每說一步，筆者就啟發(fā)學生在豎式計算旁邊“注解”（見下式），按“一除、二乘、三減”的步驟，除到有余數(shù)時筆者追問：“余下的1表示多少？怎么繼續(xù)除下去？”學生聯(lián)想到剛才分小棒的過程，一致認為如果“有余數(shù)”，應該和個位的2合起來繼續(xù)除，自然而然地加上一步“四合”后再除。每一步算法和分小棒（算理）達到一一對應。這樣，算法清清楚楚，算理明明白白，更重要的是算法和算理能互相說明、水乳交融，顯得自然而然，避免了算法的“生吞活剝”。

以“72÷2”為例：

（四）通過多層練習對比算法

通過專項練習、對比練習和改錯練習等，突出算理，突破難點，明確算法。比如，針對上面的豎式，教師提問“豎式中的兩個6有什么不同？分別表示多少？怎么得到的？”檢驗學生對算理是否清楚。設計對比題組，如“77÷7”和“91÷7”“96÷3”和“96÷6”等，比較每組題計算時的相同點和不同點，把算法和算理融合、夯實。作業(yè)反饋效果好、正確率高，也證明這是教學的自然之道。

三、教學反思

（一）完善“直觀操作—表象操作—抽象分析” 的過程提升，為算法和算理提供思維支撐

算法和算理好比一枚硬幣的兩面，相輔相成、不可分離，尤其對理解能力不夠強的學困生而言，操作活動對理解算理、掌握算法起到了支撐作用。在操作中借助“小棒”“計數(shù)器”等數(shù)學工具，調(diào)動學生手、腦、口等各種感官參與，將抽象的算理形象地顯示出來，為算理的構(gòu)建提供原型支撐，學生初步形成了形象化的算理認識，有效地突破了“余下的整捆小棒怎么分”這個難點。但教師不能僅限于此，要逐步引導學生擺脫對具體形象的依賴，向“表象操作”“思維表征”過渡，用數(shù)學語言將算理和算法勾連，在經(jīng)歷數(shù)學化的過程中，學會抽象地思考問題。從直觀、表象再到抽象的過程中，實現(xiàn)形象和抽象雙向互通式的結(jié)合，為學生真正理解算理、構(gòu)建算法提供支撐。

（二）注重算理的遷移、類比與拓展，為算法的“再創(chuàng)造”提供平臺

算法是計算的規(guī)則和程序，但不應作為一種“強勢規(guī)定”塞給學生，只有合情合理的結(jié)論，才能以理服人?！靶W生的數(shù)學學習是一個經(jīng)驗激活、利用、調(diào)整、積累和提升的過程，是建立在經(jīng)驗基礎之上的一個主動建構(gòu)的過程”（周玉仁）。本課建立在舊知“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)（百位、十位都能整除）”上，新在“首位除有余數(shù)”怎么辦？筆者通過創(chuàng)設“平分72只羽毛球”的問題情境，讓學生在活動中充分探索，在新舊知識間展開意義聯(lián)結(jié)，主動遷移、類比推理算理，進而讓學生認識到在計算中“十位余下的數(shù)與個位合起來再除”是合理的、恰當?shù)?，為有效形成“新算法”的“再造”，進行結(jié)構(gòu)建模，提升運算能力助力。

（三）順應學生“數(shù)學思維—數(shù)學思想”的發(fā)展脈絡，實現(xiàn)計算教學的旨歸

在探索算法中讓學生自然地理解算理，進而提高數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展思維水平，豐富數(shù)學思想，才是計算教學的旨歸。學生在操作活動中經(jīng)歷著一系列的觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維活動，培養(yǎng)了縝密思考、勇于批判、比較擇優(yōu)、綜合分析的思維水平和理性精神，從中感受到數(shù)學運算的思想精髓和神奇奧秘，并不斷推向更高的思想境界。

一是數(shù)形結(jié)合思想。加強直觀操作讓數(shù)形相結(jié)合，不僅是一種數(shù)學思想，也是分析問題、解決問題的一種策略，能幫助學生化難為易、掌握本質(zhì)。二是對應思想。簡潔的除法豎式里的每一步運算，與小棒均分的過程一一對應，更好地實現(xiàn)了從算理到算法、從表象到抽象、從感性到理性的進階與融合。三是最優(yōu)化思想。通過創(chuàng)設數(shù)學問題情境串，教師能讓學生在不斷思考中自然而然地理解算理，優(yōu)化思維，培養(yǎng)和豐富數(shù)學思想。

參考文獻：

[1]高 靜.算理探究應與算法孕伏融為一體[J].小學教學研究·教師版，2009（8）：8.

[2]紀玉潔.在計算教學中尋找“理”與“法”的平衡點[J].遼寧教育，2017（23）：39-40.