傅虹景，于守江，方 明，萬亞淳

(上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

雜波環(huán)境下的機(jī)動目標(biāo)跟蹤是現(xiàn)代雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中亟待解決的問題，其難點(diǎn)在于適應(yīng)目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)的不確定性和消除高密度雜波的影響[1-3]。對于雷達(dá)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)而言，首先需要決策雷達(dá)量測值來源于目標(biāo)還是雜波，為此引入了關(guān)聯(lián)波門的概念[4]。

關(guān)聯(lián)波門是用于確認(rèn)量測值是否來源于目標(biāo)的決策門限，它以目標(biāo)的預(yù)測值為中心，用于確定目標(biāo)下一時(shí)刻的量測值可能出現(xiàn)的范圍區(qū)域[5]。如果有量測值落入波門，則這些量測值將會關(guān)聯(lián)到航跡，做跟蹤濾波處理。關(guān)聯(lián)波門的主要作用是減少來源于雜波或虛警的虛假量測值[6-7]。如果波門門限太大，過多的量測值會落入波門內(nèi)，會降低數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的正確率，同時(shí)增加濾波算法的計(jì)算復(fù)雜度；如果波門門限太小，由于目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)的不確定性，來源于目標(biāo)的真實(shí)量測值可能不會落在波門內(nèi)，將直接影響到對目標(biāo)的跟蹤精度，甚至丟失目標(biāo)[8-10]。因此，正確設(shè)置關(guān)聯(lián)波門成為目標(biāo)跟蹤算法的重中之重[11]。

近年來，涌現(xiàn)出了許多關(guān)于關(guān)聯(lián)波門的設(shè)計(jì)方法?；讦?分布的橢圓波門是最簡單也是應(yīng)用最廣的方法[12]，該方法根據(jù)目標(biāo)落入波門內(nèi)的概率選擇波門的門限值，但是缺少自適應(yīng)能力。文獻(xiàn)[13]定義了一種雙重門限方法，通過引入目標(biāo)的速度和角度限制，進(jìn)一步縮小波門區(qū)域，然而該方法需要關(guān)于目標(biāo)的先驗(yàn)信息，工程應(yīng)用性較弱。文獻(xiàn)[14-15]提出了應(yīng)用于交互多模型概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(IMM-PDA)算法中的擴(kuò)大波門門限方法，雖然在一定程度上減少了目標(biāo)發(fā)生機(jī)動時(shí)丟失目標(biāo)的問題，但是并沒有考慮雜波密度對波門門限的影響。

針對以上問題，在PDA算法的基礎(chǔ)上，首先推導(dǎo)了關(guān)于最優(yōu)波門門限的數(shù)學(xué)模型，然后基于模糊推理，提出了一種根據(jù)目標(biāo)的機(jī)動性和目標(biāo)所處環(huán)境雜波密度自適應(yīng)調(diào)整關(guān)聯(lián)波門門限的方法，從而降低了丟失目標(biāo)的概率，提高了對目標(biāo)的跟蹤精度。

1 PDA算法

PDA算法是一種應(yīng)用于雜波環(huán)境下單目標(biāo)跟蹤的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法[16-17]，它考慮了所有候選回波與目標(biāo)相關(guān)聯(lián)的情況，計(jì)算每個(gè)關(guān)聯(lián)假設(shè)的似然概率，根據(jù)關(guān)聯(lián)概率，將候選回波的概率加權(quán)和作為源于目標(biāo)的真實(shí)回波，用于更新目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。PDA算法框圖如圖1所示。

圖1 概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法框圖Fig.1 Flowchart of probabilistic data association algorithm

(1)

式中，G為橢圓波門門限；S(k)為新息的協(xié)方差。橢圓波門的體積可以表示為：

(2)

式中，M為量測點(diǎn)跡的維度；cM為與M相關(guān)的常數(shù)，特別的，c1=2，c2=π，c3=4π/3。定義候選回波集合為：

(3)

式中，zi(k)為第i個(gè)滿足橢圓波門規(guī)則的候選回波；m(k)為候選回波數(shù)目。

定義βi(k)表示第i個(gè)量測點(diǎn)跡zi(k)來源于目標(biāo)的條件概率，即關(guān)聯(lián)概率，β0(k)表示沒有一個(gè)量測點(diǎn)跡是來源于目標(biāo)的真實(shí)量測值。根據(jù)關(guān)聯(lián)概率加權(quán)得到組合新息：

(4)

那么目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)值：

(5)

式中，K(k)為卡爾曼濾波增益。協(xié)方差的估計(jì)值：

P(k|k)=β0(k)P(k|k-1)+[1-β0(k)]×

(6)

式中，

Pc(k|k)=[I-K(k)H(k)]P(k|k-1)，

(7)

(8)

2 確定最優(yōu)關(guān)聯(lián)波門門限

對于機(jī)動目標(biāo)跟蹤問題，若目標(biāo)發(fā)生較強(qiáng)的機(jī)動時(shí)，可能會出現(xiàn)關(guān)聯(lián)波門內(nèi)沒有目標(biāo)的真實(shí)量測點(diǎn)跡，如圖2所示，傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法會把預(yù)測值作為狀態(tài)的估計(jì)，或者關(guān)聯(lián)上波門的虛假量測點(diǎn)跡，出現(xiàn)誤跟現(xiàn)象[18]。因此，期望能夠根據(jù)目標(biāo)的機(jī)動性來調(diào)整關(guān)聯(lián)波門，使目標(biāo)的真實(shí)點(diǎn)跡落入波門內(nèi)。同時(shí)，目標(biāo)所處環(huán)境的雜波密度也會對關(guān)聯(lián)波門門限有影響，所以在跟蹤機(jī)動目標(biāo)時(shí)，需要設(shè)立最優(yōu)的關(guān)聯(lián)波門來保證跟蹤性能最佳。

圖2 目標(biāo)跟蹤丟失示意Fig.2 Schematic diagram of tracking target loss

最優(yōu)關(guān)聯(lián)波門的含義是使得源于目標(biāo)的真實(shí)量測點(diǎn)跡zT(k)落入關(guān)聯(lián)波門內(nèi)，即滿足式(1)的要求，同時(shí)使得波門內(nèi)的虛假量測點(diǎn)跡數(shù)目N(k)盡可能的少。通常假設(shè)雜波的空間密度是服從泊松分布，波門內(nèi)雜波數(shù)目N(k)即為：

(9)

式中，λ為雜波的密度；V(k)為橢圓波門的體積。最優(yōu)波門門限的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

(10)

根據(jù)式(10)可知，最優(yōu)波門門限Gopt是隨著時(shí)間變化，即具備自適應(yīng)的能力，所以最優(yōu)關(guān)聯(lián)波門即自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門。由于目標(biāo)的真實(shí)量測點(diǎn)跡zT(k)和雜波密度λ的時(shí)變性和不確定性，不便于直接求解最優(yōu)波門門限Gopt。因此借鑒模糊邏輯的思想，根據(jù)相應(yīng)的模糊規(guī)則，推理得到關(guān)聯(lián)波門的門限，實(shí)現(xiàn)一種近似最優(yōu)的自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門，其關(guān)系可以用雙層映射來描述，如圖3所示。

圖3 模糊映射原理Fig.3 The principle of fuzzy mapping

3 基于模糊推理的自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門算法 設(shè)計(jì)

模糊推理是從一組模糊規(guī)則和已知事實(shí)中得出結(jié)論的推理過程，可以作為處理先驗(yàn)知識的數(shù)學(xué)工具[19]?；谀：评淼淖赃m應(yīng)波門算法的核心思想是，從雷達(dá)的量測信息和濾波結(jié)果中提取出表征目標(biāo)機(jī)動性和目標(biāo)環(huán)境雜波密度的參數(shù)，并對其進(jìn)行模糊化處理，作為模糊推理的輸入，然后根據(jù)模糊規(guī)則得到輸出結(jié)果，將輸出結(jié)果去模糊化可以得到關(guān)聯(lián)波門的門限，算法的具體流程如圖4所示。

步驟1：確定輸入、輸出量并模糊化

在PDA算法中，往往采用假設(shè)目標(biāo)運(yùn)動模型來描述目標(biāo)的運(yùn)動方式，模型中過程噪聲的協(xié)方差表示了目標(biāo)的機(jī)動性，但通常是先驗(yàn)假設(shè)的，所以無法準(zhǔn)確作為表征目標(biāo)機(jī)動性的參數(shù)。新息表示了量測值與預(yù)測值之間的差值，新息的大小與過程噪聲的協(xié)方差和雷達(dá)量測噪聲的協(xié)方差有關(guān)，而量測噪聲的協(xié)方差是雷達(dá)的量測精度，為已知量，所以新息可以用作表征目標(biāo)機(jī)動性的參數(shù)。由于無法準(zhǔn)確地決策來源于目標(biāo)的真實(shí)量測值，因此選擇組合新息表征目標(biāo)機(jī)動性的參數(shù)。對于單目標(biāo)跟蹤的PDA算法，假設(shè)候選回波中只有一個(gè)是來自于目標(biāo)的真實(shí)量測值，其余都是虛假量測值，所以對其進(jìn)行歸一化可以得到表征雜波密度的參數(shù)：

(11)

式中，V(k)為當(dāng)前波門的體積。

圖4 基于模糊推理的自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門算法流程Fig.4 The flow of adaptive association gate algorithm based on fuzzy inference

定義模糊系統(tǒng)的輸入，即組合新息v(k)和歸一化候選回波數(shù)目m(k)的模糊子集為{S(小)，M(中)，B(大)}，在這里輸入的隸屬度函數(shù)使用高斯型函數(shù)，如圖5所示。

圖5 輸入隸屬度函數(shù)Fig.5 Input membership degree function

其表達(dá)式為：

(12)

可以根據(jù)雷達(dá)的量測精度選擇不同的c，σ值，確定輸入模糊集合的位置。模糊系統(tǒng)輸出為關(guān)聯(lián)波門門限Gout，定義其模糊集合為{VS(較小)，S(小)，M(中)，B(大)}，輸出隸屬度函數(shù)采用高斯型，如圖6所示。

圖6 輸出隸屬度函數(shù)Fig.6 Output membership degree function

當(dāng)關(guān)聯(lián)波門內(nèi)沒有候選回波時(shí)，即m(k)=0，說明此時(shí)目標(biāo)的機(jī)動性特別強(qiáng)，已無法通過模糊推理來調(diào)整關(guān)聯(lián)波門門限，所以下一時(shí)刻的關(guān)聯(lián)波門門限取最大模糊子集的門限值GB。

步驟2：用模糊規(guī)則表征模糊推理過程

由最優(yōu)關(guān)聯(lián)波門的表達(dá)式可知，輸出量關(guān)聯(lián)波門門限和輸入量存在以下相互約束關(guān)系：如果當(dāng)前的組合新息較小，歸一化候選回波數(shù)目較小，說明此時(shí)目標(biāo)的機(jī)動性小且雜波密度較小，輸出量關(guān)聯(lián)波門門限可以取?。欢?dāng)組合新息較大，歸一化候選回波數(shù)目較小時(shí)，說明目標(biāo)的機(jī)動性略強(qiáng)，那么輸出量關(guān)聯(lián)波門門限應(yīng)當(dāng)相應(yīng)的增大。同理，運(yùn)用Mamdani方法[20]可以把上述模糊推理過程轉(zhuǎn)換為模糊規(guī)則表，如表1所示。模糊推理過程的運(yùn)算為：

表1 模糊規(guī)則表Tab.1 Fuzzy rule table

Ri：μ(G)=μ(v)∧μ(N)，

(13)

式中，∧表示取小的符號；μ(v)，μ(N)分別表示在第i個(gè)模糊規(guī)則中輸入對應(yīng)的模糊子集隸屬度函數(shù)值；μ(G)表示輸出對應(yīng)的模糊隸屬度函數(shù)值。

步驟3：去模糊化

采用面積重心法進(jìn)行去模糊化[21]，對模糊系統(tǒng)輸出進(jìn)行去模糊化，也就是計(jì)算輸出隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)軸圍成的面積，輸出量為此面積的重心。假設(shè)模糊輸出集合中的某一元素為Gi，且此處的隸屬度為μ(Gi)，則有：

(14)

式中，Gout為關(guān)聯(lián)波門的門限，也就是模糊推理系統(tǒng)輸出的精確值。

4 仿真試驗(yàn)與結(jié)果分析

為驗(yàn)證基于模糊推理的自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門方法的性能，選用相同的目標(biāo)跟蹤場景，分別運(yùn)用自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門方法與門限不同的固定橢圓波門對單個(gè)機(jī)動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的性能。

目標(biāo)運(yùn)動場景如下：跟蹤對象為雜波環(huán)境下二維平面中的單個(gè)機(jī)動目標(biāo)，目標(biāo)起始位置狀態(tài)為x(0)=[0 m，10 m/s，10 m/s2，0 m，100 m/s，0 m/s2]，目標(biāo)的運(yùn)動軌跡如圖7所示。雜波的數(shù)目服從參數(shù)λ的泊松分布且是時(shí)變的，雜波位置在以目標(biāo)預(yù)測值為中心的矩形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布。

圖7 二維平面中單個(gè)機(jī)動目標(biāo)的運(yùn)動軌跡Fig.7 Motion trajectory of single maneuvering target in two-dimensional plane

狀態(tài)模型及算法：數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法運(yùn)用PDA算法，其中濾波算法采用勻加速模型的卡爾曼濾波算法。

傳感器量測及其他參數(shù)：雷達(dá)的量測噪聲均值為0，方差為100 m2的高斯白噪聲，目標(biāo)的檢測概率PD=1，采用橢圓跟蹤波門規(guī)則，采樣間隔T=1 s，每次仿真步數(shù)100步。仿真結(jié)果由100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得到。

如果連續(xù)4個(gè)采樣周期目標(biāo)的位置估計(jì)誤差超過了量測標(biāo)準(zhǔn)差的5倍，則認(rèn)為丟失目標(biāo)。定義失跟率為蒙特卡羅仿真中出現(xiàn)丟失跟蹤目標(biāo)的次數(shù)占總仿真次數(shù)的比例[17]。算法耗時(shí)是指不同算法在仿真實(shí)驗(yàn)中完成對目標(biāo)的跟蹤所需時(shí)間。

在不同關(guān)聯(lián)波門下目標(biāo)的濾波曲線如圖8所示。不同關(guān)聯(lián)波門在目標(biāo)失跟率和算法耗時(shí)方面的性能對比如表2所示。由于丟失目標(biāo)后的濾波會發(fā)散，誤差無限增大，會對均方根誤差有誤導(dǎo)影響，所以統(tǒng)計(jì)目標(biāo)的均方根誤差時(shí)，剔除了丟失目標(biāo)的跟蹤結(jié)果。

圖8 目標(biāo)軌跡的濾波曲線Fig.8 Filter curve of target trajectory

表2 不同算法性能對比Tab.2 Performance of different algorithms

由圖8中可以看出，對于門限較小的固定橢圓波門，在目標(biāo)發(fā)生機(jī)動時(shí)，很容易丟失目標(biāo)，跟蹤性能最差，而自適應(yīng)波門與門限較大的固定橢圓波門能夠較好地跟蹤目標(biāo)。由于門限較小的固定橢圓波門丟失了目標(biāo)，其濾波結(jié)果中的目標(biāo)位置均方根誤差越來越大，所以在圖9中沒有畫出其曲線。

目標(biāo)位置的均方根誤差曲線和目標(biāo)速度的均方根誤差曲線如圖9所示。

圖9 目標(biāo)跟蹤狀態(tài)的均方根誤差曲線Fig.9 Root mean square error curve of target tracking state

由圖9可以看出，門限較大的固定橢圓波門的均方根誤差要大于自適應(yīng)波門，所以自適應(yīng)波門提高了對目標(biāo)的跟蹤精度。

由表2可以看出，門限較小的固定橢圓波門的失跟率最高，這是顯而易見的，自適應(yīng)波門的失跟率比門限較大的固定橢圓波門降低了21%，算法耗時(shí)增加了13.3%。對于算法的耗時(shí)對比，由于固定波門存在丟失目標(biāo)的情況，所以不需要進(jìn)行濾波處理，這將會導(dǎo)致算法耗時(shí)大大降低，從理論上分析，自適應(yīng)波門方法能夠減少波門內(nèi)候選回波數(shù)目，是可以降低計(jì)算量的。

5 結(jié)束語

在PDA算法框架下，提出了一種基于模糊推理的自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門的設(shè)計(jì)方法，該方法主要借鑒模糊推理的思想求解最優(yōu)波門數(shù)學(xué)模型，首先根據(jù)雷達(dá)的量測信息和濾波結(jié)果，提取出表征目標(biāo)機(jī)動性和雜波密度的參數(shù)，然后通過查詢模糊規(guī)則表，推理出關(guān)聯(lián)波門的門限值。其中自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門的設(shè)計(jì)，可以得到近似最優(yōu)的量測點(diǎn)跡集合，進(jìn)一步降低目標(biāo)失跟率，提高了跟蹤精度。通過仿真實(shí)驗(yàn)對比測試，驗(yàn)證了自適應(yīng)關(guān)聯(lián)波門的設(shè)計(jì)方法在輕微增加算法耗時(shí)的情況下能夠有效提高雜波環(huán)境下的機(jī)動目標(biāo)跟蹤能力。另外，本文提出的自適應(yīng)波門方法只考慮了單目標(biāo)場景下的跟蹤問題，針對雜波中多目標(biāo)的跟蹤問題將是下一步需要研究的內(nèi)容。