連王偉，楊澤恒，王彭德，周紹艷

云南中考和PISA關(guān)于圖形與幾何試題的比較研究——以云南省兩所中學(xué)為例

連王偉1，2，楊澤恒1，王彭德1，周紹艷1

（1．大理大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南 大理 671003；2．西雙版納國際度假區(qū)中學(xué)，云南 西雙版納 666100）

設(shè)計(jì)由PISA2012和云南中考數(shù)學(xué)“幾何與圖形”方面試題組成的測試試卷，分別對城、鄉(xiāng)兩所初級中學(xué)初三部分學(xué)生進(jìn)行測試，并設(shè)計(jì)調(diào)查問卷進(jìn)行調(diào)查．對PISA2012和云南中考數(shù)學(xué)兩部分的試題考點(diǎn)和成績進(jìn)行比較分析，并調(diào)查分析學(xué)生對PISA試題的態(tài)度．結(jié)果顯示：云南中考涉及的數(shù)學(xué)知識和方法較廣、較深、綜合性較強(qiáng)、思維層次較深，對從實(shí)際應(yīng)用背景抽象出數(shù)學(xué)信息的要求不夠；云南師生很少接觸PISA數(shù)學(xué)測試的理念和試題；學(xué)生總體認(rèn)為PISA試題更有趣．由此建議：云南中考應(yīng)當(dāng)借鑒PISA的理念，在保留選拔學(xué)生功能的同時，適當(dāng)增加類似PISA數(shù)學(xué)試題中聯(lián)系生活的應(yīng)用問題，降低試題的難度；更加關(guān)注全體學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，加強(qiáng)應(yīng)用意識的培養(yǎng)．

PISA；中考試題；測試；比較

1 問題提出

PISA（Program for International Student Assessment）是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織舉辦的大型學(xué)生能力國際評估計(jì)劃“國際學(xué)生評價項(xiàng)目”的英文縮寫，是目前全球最權(quán)威的教育評估項(xiàng)目之一．主要評估各國正在學(xué)校就讀的15歲少年（在中國主要是處于義務(wù)教育階段末期學(xué)生）的閱讀能力、數(shù)學(xué)能力和科學(xué)能力，從而了解學(xué)生是否具備未來進(jìn)入社會所需的知識、技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．每次測試閱讀能力、數(shù)學(xué)能力、科學(xué)能力，并以其中一項(xiàng)為重點(diǎn)，3年一次，3次一循環(huán)，從2012年開始還增加財(cái)經(jīng)素養(yǎng)的測試．

中國的中考，即普通初中學(xué)業(yè)水平考試，是義務(wù)教育階段的終結(jié)性考試，是全面衡量初中學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)方面是否達(dá)到初中學(xué)業(yè)水平的水平考試，是促進(jìn)各級教育行政部門管理和引導(dǎo)義務(wù)教育學(xué)校認(rèn)真執(zhí)行國家課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步規(guī)范學(xué)校教育教學(xué)行為，科學(xué)評價學(xué)校教育教學(xué)質(zhì)量的重要手段．考試結(jié)果既是衡量學(xué)生是否達(dá)到畢業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的依據(jù)，也是高中階段學(xué)校招生的重要依據(jù)．根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，中考數(shù)學(xué)在能力方面主要考查學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識．由各省或地區(qū)自主命題．

PISA和國內(nèi)的中考都主要針對即將完成初中階段學(xué)習(xí)的學(xué)生，都為前一階段學(xué)習(xí)的終結(jié)性測試．兩者的數(shù)學(xué)測試都檢驗(yàn)前階段學(xué)生形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)、掌握數(shù)學(xué)知識和達(dá)到數(shù)學(xué)水平的情況，檢驗(yàn)學(xué)生后一階段學(xué)習(xí)或進(jìn)入社會而準(zhǔn)備的知識和能力情況．PISA數(shù)學(xué)測試更強(qiáng)調(diào)學(xué)生進(jìn)入社會的準(zhǔn)備情況，因而更強(qiáng)調(diào)在實(shí)際生活和大眾社會實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．PISA測驗(yàn)的重點(diǎn)不是生硬的知識和方法，而是數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是現(xiàn)實(shí)社會中應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，PISA不具有選拔學(xué)生的功能．中考更強(qiáng)調(diào)學(xué)生是否具備后一階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，具有選拔學(xué)生的功能，是目前絕大多數(shù)地區(qū)優(yōu)質(zhì)中學(xué)選拔學(xué)生的唯一依據(jù)，因而中考對學(xué)生初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)水平的要求相對較高．俄羅斯高等經(jīng)濟(jì)學(xué)院、美國斯坦福大學(xué)和密歇根大學(xué)的學(xué)者認(rèn)為，PISA測試成績并不能反映受試學(xué)生數(shù)學(xué)知識的豐富度，而中考更加重視知識的系統(tǒng)性和一定的豐富度．PISA強(qiáng)調(diào)通過比較研究，對教育政策等方面的改革提供依據(jù)．而中考的比較研究少而散，沒有政府教育部門或社會組織的整體比較研究，更沒有通過研究結(jié)果完善地區(qū)教育政策和學(xué)校辦學(xué)政策的工作．

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)越來越受到重視的背景下，通過兩種測試的較為具體的比較研究，深化對中考和PISA測試的認(rèn)識，對教學(xué)改革有重要的指導(dǎo)意義．西部地區(qū)由于教學(xué)條件相對薄弱，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生相對較多，相當(dāng)數(shù)量的初中畢業(yè)生將進(jìn)入社會或進(jìn)入職業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)，通過比較研究探索中考改革，引導(dǎo)西部地區(qū)初中階段教學(xué)更好地面向全體學(xué)生，更好地讓學(xué)生具備未來進(jìn)入社會所需的知識、技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)顯得尤為重要．雖然已有一些關(guān)于兩者的比較研究，但結(jié)合學(xué)生實(shí)際的研究不多，與西部地區(qū)的中考比較也未見．

為更好地從西部地區(qū)的角度比較兩種測試，設(shè)計(jì)分別由PISA2012數(shù)學(xué)測試和云南中考數(shù)學(xué)“圖形與幾何”方面試題組成的測試試卷，對兩所初級中學(xué)初三部分學(xué)生進(jìn)行測試，并進(jìn)行問卷調(diào)查，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行比較研究．

2 文獻(xiàn)綜述

2009年上海學(xué)生首次參加PISA正式測試之后，國內(nèi)刊物逐漸出現(xiàn)關(guān)于PISA數(shù)學(xué)測試與中國中考數(shù)學(xué)測試比較研究的文獻(xiàn)，這些文獻(xiàn)既有針對PISA數(shù)學(xué)測試4個內(nèi)容主題中的一個或具有典型性的試題進(jìn)行研究的，也有對測試整體框架進(jìn)行研究的．

關(guān)于“空間與圖形”主題，周雪梅和周丹[1]利用綜合難度模型，從背景情況、題目水平、運(yùn)算、推理、知識點(diǎn)5個維度，比較了2009年上海中考和PISA樣題該主題試題的綜合難度．鐘文麗[2]圍繞該主題，從內(nèi)容的理解及要求、問題解決能力評價等方面對PISA2012測試和上海中考進(jìn)行了比較分析．朱黎生和楊慧娟[3]則在論述PISA對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定、對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評估、《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于評價建議的基礎(chǔ)上，從測試重點(diǎn)和要求、題目特點(diǎn)等方面比較了關(guān)于多個圖像信息相互轉(zhuǎn)化的PISA測試題（賽車的速度）和江蘇省徐州市2010年中考題（幾何圖形中點(diǎn)的運(yùn)動），并結(jié)合具體實(shí)例的分析，對學(xué)生“讀圖能力”培養(yǎng)提出建議．關(guān)于“變換與關(guān)系”主題，徐慶惠[4]在對比分析PISA及上海課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)論述的基礎(chǔ)上，就PISA2012數(shù)學(xué)測試與上海2010—2013年中考試卷關(guān)于該主題試題的內(nèi)容、知識點(diǎn)、背景、要求、得分率進(jìn)行比較分析．關(guān)于“不確定性和數(shù)據(jù)”主題，李俊和黃

華[5]圍繞該主題，對上海近十年數(shù)學(xué)中考題、PISA2009實(shí)測題及PISA2012機(jī)考候選題，從考題的情境與形式、考查的知識與技能、考查的過程與能力3個方面進(jìn)行了比較分析．王伶俐[6]在分析PISA2012測試中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、測評框架基礎(chǔ)上，就PISA2012測試和河南2014年中考該主題各一道數(shù)學(xué)試題，從出題風(fēng)格、內(nèi)容理念、測評背景、評卷理念4個方面進(jìn)行比較分析．圍繞“數(shù)量”主題，穆曉東和李娜娜[7]從PISA2012和《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》在能力水平方面不同界定方式、PISA2012樣題與上海教材例題、評價與命題3個方面進(jìn)行對比研究．梅松竹和王燕榮[8]則聚焦2010年安徽省中考及PISA具有各自測試特點(diǎn)的數(shù)學(xué)試題，從出題風(fēng)格、理念，測評目標(biāo)、內(nèi)容，測試的情景、能力，試卷評閱七個等方面進(jìn)行分析比較．姜曉剛[9]在分析PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)界定和測試框架、PISA2012數(shù)學(xué)問題解決的3個具體過程的基礎(chǔ)上，通過分析鹽城市、江西省、北京市2017年各一道中考試題，闡述PISA2012數(shù)學(xué)問題解決在2017年中考命題中的滲透，并結(jié)合PISA測試的特點(diǎn)，分析中考測試的不足．

從測試整體出發(fā)比較研究的則有：黃華[10]分析PISA數(shù)學(xué)測試的整體框架，并從數(shù)學(xué)素養(yǎng)、測試目標(biāo)、測試內(nèi)容3個方面對PISA數(shù)學(xué)測試和上海數(shù)學(xué)中考進(jìn)行了全面的比較分析．陳吉、嚴(yán)文蕃和徐煒蓉[11]用SEC方法對上海市2010年中考數(shù)學(xué)試題與PISA2006數(shù)學(xué)試題從內(nèi)容領(lǐng)域及認(rèn)知要求維度的分布、試題的一致性等方面進(jìn)行了詳細(xì)比較，得出兩者的一致性屬于低度一致，其差異源于主題的不同、認(rèn)知要求高度不同等方面的結(jié)論．佘丹[12]對PISA2012和南京市2016年數(shù)學(xué)中考的測試框架進(jìn)行比較分析，并從內(nèi)容維度、認(rèn)知維度、認(rèn)知水平3個方面對兩者的試題進(jìn)行較為全面的比較研究，得出各自的特點(diǎn)和不足．沈陽、喻平[13]采用SEC方法，從主題維度分布、認(rèn)知要求維度分布比較了PISA2012和2012年南京數(shù)學(xué)中考；并引用史寧中課程難度模型，研究PISA試題和中考題的難度；還從數(shù)學(xué)情景分布、題型分布兩個方面，比較了兩者的題目．

這些研究分別就中考試題應(yīng)當(dāng)更貼近生活，試題的情境與學(xué)生生活的真實(shí)情境更加吻合，重視應(yīng)用，多一些探究開放式問題，更多體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)涵；評價應(yīng)該是多維度的，注重對學(xué)習(xí)與思考過程等過程性目標(biāo)的考查，突出評價的診斷、調(diào)節(jié)功能和激勵功能，更科學(xué)地判斷和評價學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維特點(diǎn)和學(xué)習(xí)過程；命題要實(shí)現(xiàn)由經(jīng)驗(yàn)性命題向科學(xué)性命題轉(zhuǎn)變，中考試題應(yīng)當(dāng)由知識考查向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查轉(zhuǎn)型等方面對中考命題、評價及數(shù)學(xué)教學(xué)提出建議．

PISA2015測試結(jié)果于2016年12月正式公布，中國更多地區(qū)（上海、北京、江蘇、廣東）學(xué)生參加該輪測試，數(shù)學(xué)排名第六．目前為止，知網(wǎng)上還未搜索到關(guān)于PISA2015數(shù)學(xué)測試相關(guān)文獻(xiàn)．關(guān)于PISA數(shù)學(xué)測試最具權(quán)威性的文獻(xiàn)是曹一鳴教授等翻譯的《數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評——走進(jìn)PISA測試》[14]，而張楠[15]關(guān)于該書的評介，對理解該書和全面深入研究PISA數(shù)學(xué)測試有很好的幫助．蔣倩倩和程嶺[16]以PISA測試發(fā)展動態(tài)及其評價優(yōu)勢和PISA影響下澳大利亞、美國、英國、德國的數(shù)學(xué)教學(xué)改革為背景，從新的視覺反思中國初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐性短板，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考改革有很好的參考價值．PISA數(shù)學(xué)測試的核心是對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評，文[17-18]對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評的實(shí)踐研究對中考研究也有很好的借鑒價值．

現(xiàn)有研究主要涉及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定及評估、測評框架及目標(biāo)、4個維度（情景、內(nèi)容、過程、能力）、評卷理念、題目形式、難度、試題一致性等方面，涉及上海、河南、江蘇（南京、鹽城、徐州、蘇州）、北京、江西、安徽的中考．借鑒PISA的測評理念，關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評的實(shí)踐也逐漸引起重視．但與西部地區(qū)的中考比較及對學(xué)生關(guān)于PISA的認(rèn)知分析是缺失的，聯(lián)系學(xué)生實(shí)際或基于參加測試學(xué)生的成績及調(diào)查的研究也不足，有必要開展這方面的研究．

3 研究方法

分別運(yùn)用問卷調(diào)查、紙筆測驗(yàn)及個別訪談等方法開展研究．

3.1 測試試卷設(shè)計(jì)

PISA2012數(shù)學(xué)的23道大題（主要調(diào)查項(xiàng)目11道，26問；現(xiàn)場試驗(yàn)項(xiàng)目12道，30問）中有8道幾何題，涉及空間圖形、圓的相關(guān)知識（圓、圓心角、圓弧、扇型等方面知識）、勾股定理及直角三角形相關(guān)知識、比例（含直尺應(yīng)用）、面積．在這8道題中選擇了能體現(xiàn)PISA所考查知識點(diǎn)的6道題目：

“購買公寓”涉及比例及直尺應(yīng)用、多矩形拼圖面積計(jì)算的最簡方法；“冰淇淋店”（第一問、第二問）涉及勾股定理的應(yīng)用、矩形及三角形面積計(jì)算；“擲骰子”涉及空間圖形觀察、推理及計(jì)算；“摩天輪”（第一問、第二問）涉及圓的直徑、半徑、比例、圓的等分；“車庫”（第一問、第二問）涉及空間圖形觀察、勾股定理、長方形面積計(jì)算及開方計(jì)算；“旋轉(zhuǎn)門”（第一問、第二問）涉及空間圖形、扇形的圓心角及弧長計(jì)算．這6道題組成測試卷的PISA試題部分．

針對這6道題目考查的知識點(diǎn)，在近年云南中考數(shù)學(xué)幾何題中選擇了8道相關(guān)題目（一些知識點(diǎn)相關(guān)，但難度大大高于PISA2012數(shù)學(xué)試題的題目未選入），組成測試卷的中考題部分：

“三視圖確定正方體形狀問題”涉及空間與圖形（2015年云南?。?；“扇形半徑計(jì)算”涉及扇形半徑與面積關(guān)系（2015年云南省）；“圓周角度數(shù)問題”涉及等邊三角形內(nèi)角、圓心角與圓周角關(guān)系（2015年云南?。?；“相切圓半徑計(jì)算”涉及直線與圓的相切、勾股定理、內(nèi)切及外切圓、半徑計(jì)算（2011年大理等八地州）；“圓冠面積計(jì)算”涉及扇形面積、三角形面積計(jì)算（2011年曲靖）；“圓柱體積計(jì)算”涉及圓柱側(cè)面矩形邊長與圓柱底面圓的圓周長、圓柱高的關(guān)系、圓面積及圓柱體積計(jì)算（2016年云南?。弧皽y量河的寬度問題”涉及勾股定理及直角三角形其它性質(zhì)（2015年云南?。?；“菱形及矩形問題”涉及比例、菱形及矩形性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)（2016年云南?。?/p>

整套試卷測試時間兩小時，兩部分分值各50分，用中考常用方式評分．以“圖形與幾何”題為例進(jìn)行測試和比較研究是因?yàn)閹缀沃R的考查在PISA數(shù)學(xué)測試和云南中考數(shù)學(xué)測試中都占有較大比例，幾何知識和方法既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中應(yīng)用的重點(diǎn)，其思維方式是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面．PISA數(shù)學(xué)試題和云南中考數(shù)學(xué)試題涉及到的幾何知識點(diǎn)較為接近，針對相同或相近知識點(diǎn)，用不同的兩部分題目進(jìn)行比較更加容易凸顯出各自試題的特點(diǎn)．

3.2 調(diào)查問卷設(shè)計(jì)

從學(xué)生個人基本情況，對PISA試題的態(tài)度及認(rèn)識、對數(shù)學(xué)的態(tài)度、數(shù)學(xué)作業(yè)情況、閱讀課外讀物等方面設(shè)計(jì)調(diào)查問卷．問卷與試卷一起發(fā)放，要求學(xué)生測試后當(dāng)天完成調(diào)查問卷的填寫，當(dāng)天收回．在試卷批改結(jié)束后，針對試卷中存在的問題，進(jìn)行了部分個別訪談．

3.3 樣本選取

考慮到云南城鄉(xiāng)教育差距較大，在選取測試學(xué)生時，分別選擇了鄉(xiāng)鎮(zhèn)初中一所（B中學(xué)）和城市（地級）初中一所（A中學(xué)）．在B中學(xué)初三10個班隨機(jī)選取了3個班共155名學(xué)生，在A中學(xué)初三8個班隨機(jī)選取了兩個班共101名學(xué)生．共發(fā)放試卷256份，收回有效試卷256份；發(fā)放調(diào)查問卷256份，收回有效問卷204份（B中學(xué)一個班測試結(jié)束后臨時有班級活動，沒有完成問卷）．

3.4 分析方式

從考查的主要知識點(diǎn)出發(fā)，從5個方面分類對考點(diǎn)進(jìn)行描述性對比分析；用SPSS軟件通過檢驗(yàn)對測試成績相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較；對調(diào)查結(jié)果用百分比進(jìn)行分析．

4 研究結(jié)果分析

分別對考點(diǎn)、試卷成績和調(diào)查結(jié)果進(jìn)行分析．

4.1 考點(diǎn)對比分析

4.1.1 關(guān)于空間立體圖形三視圖問題

空間立體圖形三視圖問題是兩種測試的必測內(nèi)容．云南中考每年都有此類題目，但僅涉及長（正）方體、圓柱等規(guī)則幾何體，與實(shí)際生活情景沒有聯(lián)系，直接可從三視圖判斷．該次測試中，中考題“三視圖確定正方體形狀問題”正確率高達(dá)98.8%，這既體現(xiàn)了該題的簡單程度（圖形簡單常見，思路直接），也體現(xiàn)了教師教學(xué)的重視（云南中考必考內(nèi)容）．而PISA部分關(guān)于空間立體圖形三視圖考查的“擲骰子”問題，不但涉及空間圖形觀察，還涉及推理判斷及計(jì)算3個層級的思維；不僅考查學(xué)生的直觀想象能力，還考查推理能力和運(yùn)算能力，右后側(cè)骰子點(diǎn)數(shù)的判斷和5個面骰子點(diǎn)數(shù)和的考慮增加了題目的難度，需要學(xué)生在觀察骰子點(diǎn)數(shù)時細(xì)心、精確推理和計(jì)算．該題的正確率相對略低一些，為94.5%，出錯學(xué)生主要在計(jì)算點(diǎn)數(shù)和對右后側(cè)骰子點(diǎn)數(shù)的判斷方面出問題．雖然該題得分率比中考題低，但學(xué)生更喜歡“擲骰子”這種貼近生活的問題．這是少有的PISA比中考對應(yīng)題難、思維層次要深的試題．

PISA試題“車庫”第一問考查帶有門窗的車庫立體圖的直觀想象和邏輯推理（通過圖形及門窗的位置進(jìn)行推理），也涉及不同側(cè)面對車庫的觀察，學(xué)生正確率為78%，出錯學(xué)生主要在直觀想象或邏輯推理上存在問題．計(jì)算房頂面積第二問也涉及正面和側(cè)面的正確觀察及“勾股定理”應(yīng)用，正確率為71%，出錯學(xué)生主要在正面圖和側(cè)面圖尺寸的理解上出問題，深層是實(shí)際問題中的直觀想象能力較弱，體現(xiàn)教學(xué)中這方面較為實(shí)用的問題重視不夠．

4.1.2 關(guān)于扇形的相關(guān)問題

扇形是各種現(xiàn)實(shí)情景常見的圖形，兩種測試都涉及關(guān)于扇形的問題．云南中考對扇形基本知識的考查一直是重點(diǎn)，而扇形面積更是各年試卷都考查的內(nèi)容．中考題“扇形半徑計(jì)算”直接通過扇形面積公式由已知面積、角（需要化為弧度制）計(jì)算半徑，并需要開平方化簡，學(xué)生正確率為87%，學(xué)生的錯誤主要出現(xiàn)在扇形面積公式、開方的計(jì)算方面．中考題“圓冠面積計(jì)算”涉及扇形面積、三角形面積、三角形性質(zhì)及勾股定理、等邊三角形的外接圓圓心性質(zhì)，需要3步以上的步驟才能通過間接方法獲得結(jié)果，知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，思維層次較深，著重考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力要求高，正確率為29.1%，出錯學(xué)生主要在多步推理和多步計(jì)算方面出問題，也有一定數(shù)量的學(xué)生無從下手，有懼怕心理．

PISA“旋轉(zhuǎn)門”考查的側(cè)重點(diǎn)為圓心角、扇形的弧長公式，主要考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．第一問求三等分圓周角，98%的學(xué)生都正確作答；第二問涉及“對稱、最大”的思考，學(xué)生需要通過閱讀題目，動態(tài)觀察圖形，挖掘出隱含的信息，正確率為31.6%．大部分學(xué)生在直觀想象上有所欠缺，無法通過閱讀題目挖掘出題目中的隱含信息，雖然考查知識點(diǎn)相對比較簡單，只需要學(xué)生掌握扇形的弧長公式，但是對學(xué)生的直觀想象和和邏輯推理能力要求較高．一些學(xué)生沒有接觸過“旋轉(zhuǎn)門”這一情景，也是造成他們思維受阻的原因．

4.1.3 關(guān)于圓的相關(guān)知識

中考題“相切圓半徑計(jì)算”主要考查學(xué)生對內(nèi)切圓和外切圓的理解和掌握，考查學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，題目難度較高，在考查內(nèi)、外切圓知識的同時，還涉及“勾股定理”的考查，對學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力要求較高，同時對初中階段要初步掌握的分類數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了考查．學(xué)生首先要應(yīng)用勾股定理計(jì)算邊長，然后分外切圓、內(nèi)切圓分別進(jìn)行計(jì)算，獲得兩個結(jié)果．正確率為70.4%，多數(shù)出錯學(xué)生的分類討論意識不強(qiáng)，只考慮了一種情況，體現(xiàn)教學(xué)中對開放性問題重視不夠．中考題“圓周角度數(shù)問題”考查圓心角、圓周角及兩者的關(guān)系、等邊三角形性質(zhì)，是云南中考常見的考查類型，但PISA少有此類型的題目．

PISA摩天輪問題第一問考查圓的半徑、直徑及河床與登艙平臺的關(guān)系，主要考查學(xué)生的觀察能力、直觀想象能力和邏輯推理能力，難度比較低，正確率為86.0%，未做出正確答案的同學(xué)主要忽略了河床到登艙平臺的高度，直觀想象的嚴(yán)謹(jǐn)性出了問題．第二問涉及圓周四等分及比例，正確率為78.0%，學(xué)生主要在通過40分鐘對應(yīng)轉(zhuǎn)動一周，考慮30分鐘對應(yīng)轉(zhuǎn)動一周的四分之三的比例思想方面出了問題．

4.1.4 關(guān)于圖形面積

中考題“圓冠面積計(jì)算”考查圓冠面積與扇形面積、三角形面積的關(guān)系及相關(guān)面積公式．中考題“圓柱體積計(jì)算”涉及圓柱側(cè)面邊長、圓周長、底面圓半徑及面積、圓柱體積公式．通過側(cè)面邊長與周長的關(guān)系獲得底面圓半徑，進(jìn)而獲得底面圓面積，最終獲得圓柱體積．主要考查直觀想象和計(jì)算能力．因未指定圓柱側(cè)面哪一邊為底邊，有兩個答案．正確率為86.3%，學(xué)生的錯誤主要在靈活性或計(jì)算方面．中考題“測量河的寬度問題”一題多解，重點(diǎn)考查勾股定理等直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，一些學(xué)生在應(yīng)用性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過三角形面積公式的靈活應(yīng)用獲得結(jié)果．該題要求學(xué)生能夠靈活、熟練運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識，解法的靈活性較大，對促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散思維提高有一定意義．能力方面，涉及直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．表面看是一個應(yīng)用問題，但幾乎沒有讓學(xué)生通過題目論述及圖抽象出數(shù)學(xué)信息，建立數(shù)學(xué)模型的要求，基本上是一個直接的數(shù)學(xué)題，這是云南中考一些應(yīng)用問題的共同特點(diǎn)，這與南京中考題也是類似的[12]．該題雖然有一定難度，但正確率達(dá)91.2%，這類題目在中考復(fù)習(xí)資料中較常見，教師比較重視，學(xué)生已多次練習(xí)類似題目．

PISA“雯雯冰淇淋店的面積問題”（求柜臺外緣邊長和地板面積）主要考查學(xué)生對勾股定理的掌握程度，在能力方面，主要考查學(xué)生的直觀想象、運(yùn)算能力和生活中常見的比例應(yīng)用．題目情景接近生活、有趣，考查知識點(diǎn)相對較少．題目難度雖然較低，但學(xué)生得分并不理想，第一問正確率為57.1%，第二問正確率為46.5%，未作答學(xué)生比例為11.8%，究其原因，學(xué)生不熟悉此類問題，圖形陌生，不能領(lǐng)會圖形后面的數(shù)學(xué)，直觀想象能力弱．中考和教材極少出現(xiàn)類似問題，導(dǎo)致教學(xué)中這方面的缺失．

PISA“柏睿的父母想要購買公寓的面積問題”涉及測量邊長、比例尺應(yīng)用、面積計(jì)算．考查的知識點(diǎn)雖然只有長方形的面積公式，但是對學(xué)生的長度測量能力、直觀想象能力有較高要求．情境真實(shí)，實(shí)用性較強(qiáng)，可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．題目的設(shè)置有一定靈活性和開放性，有多個答案，對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)有很好的促進(jìn)作用．錯誤或未作答學(xué)生比例為16.7%，主要在測量邊長上出錯或直觀想象上有問題．PISA試題“車庫”的第二問也是面積問題，將計(jì)算房頂面積與正面圖、側(cè)面圖的觀察、“勾股定理”應(yīng)用有機(jī)結(jié)合．

PISA2012數(shù)學(xué)試題對平面圖形面積的考查在知識點(diǎn)方面比較少，側(cè)重于考查學(xué)生的測量、直觀想象（平面圖觀察）、比例應(yīng)用、運(yùn)算能力，較為直觀地把數(shù)學(xué)直接運(yùn)用于實(shí)際生活，指導(dǎo)生活中的一些決策．而相關(guān)云南中考試題重點(diǎn)考查對知識的綜合運(yùn)用能力及勾股定理等直角三角形性質(zhì)多個知識點(diǎn)的考查，難度略大，需要學(xué)生有較好的邏輯推理能力，題型設(shè)置相對枯燥和抽象，數(shù)學(xué)建模思想要求不高，未涉及不規(guī)則圖形面積的計(jì)算．

4.1.5 比例問題

PISA2012數(shù)學(xué)試題僅涉及長度測量、比例尺及比例思想的應(yīng)用．而近幾年云南中考試題中都沒有涉及比例尺應(yīng)用的問題，有涉及純數(shù)學(xué)比例計(jì)算問題．中考題“菱形及矩形問題”的考點(diǎn)為比例計(jì)算、菱形性質(zhì)、矩形性質(zhì)、直角三角形銳角的三角函數(shù)，需要多步運(yùn)算才能獲得結(jié)果，各種數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的綜合性較強(qiáng)，對直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力的要求較高．

4.2 試卷成績分析

用SPSS軟件對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析．

4.2.1 兩部分成績關(guān)系分析

一般認(rèn)為中考部分分?jǐn)?shù)高的同學(xué)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為扎實(shí)，水平相對較高，所以PISA部分的分?jǐn)?shù)也應(yīng)該不錯，但情況并不如此．

表1顯示，中考成績的平均值要比PISA部分的平均值高6分多．因?yàn)槠綍r的測試和復(fù)習(xí)均以中考標(biāo)準(zhǔn)為重點(diǎn)，相對PISA云南地區(qū)學(xué)生對中考的考點(diǎn)和測試方式更加擅長，這與上海學(xué)生的情況類似[4]．值為7.217，值為0.000，小于0.001，即中考成績與PISA成績有顯著差異．一些云南中考試題成績好的學(xué)生，雖然數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，但因?yàn)椴皇煜栴}的實(shí)際背景和PISA這類型試題，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題的能力不強(qiáng)，PISA部分成績并不理想．部分云南中考試題分?jǐn)?shù)不高的同學(xué)，因?yàn)镻ISA數(shù)學(xué)試題對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求并不高，且其生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力相對較強(qiáng)，熟悉問題的實(shí)際背景，做PISA試題分?jǐn)?shù)反而高一些．這也給人們一種啟示，適當(dāng)降低對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，特別是對解題技巧的要求，增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生熟悉實(shí)際情境的聯(lián)系，更多學(xué)生能夠?qū)W好數(shù)學(xué)，教學(xué)中要處理好面向全體與數(shù)學(xué)優(yōu)秀學(xué)生培養(yǎng)的關(guān)系．

表1 中考部分與PISA部分測試成績的t檢驗(yàn)

4.2.2 城鄉(xiāng)學(xué)生成績差異分析

表2是對兩個學(xué)校學(xué)生中考成績的分析，A中學(xué)的成績均值比B中學(xué)高達(dá)7分之多，標(biāo)準(zhǔn)差基本相同．在用獨(dú)立樣本檢驗(yàn)考慮學(xué)校的不同是否會對中考部分的總分造成影響時，值為0.000，說明學(xué)校的不同對中考部分的成績有明顯影響．A中學(xué)生源和教學(xué)條件相對B中學(xué)好，學(xué)校和教師更加重視中考，學(xué)生對中考考點(diǎn)和相關(guān)類型的題練習(xí)多，中考題成績更好．

表2 兩所中學(xué)中考成績的t檢驗(yàn)

盡管中考部分的平均分A中學(xué)高出B中學(xué)7分之多，但表3顯示，兩校PISA部分平均分相差不多，標(biāo)準(zhǔn)差也相差不明顯．值為0.233，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，兩校學(xué)生PISA部分成績沒有明顯差異，這與PISA試題對學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和知識點(diǎn)考查的要求相對中考的要求低，兩校對PISA類型的題目都少有接觸有關(guān)．

表3 兩所中學(xué)PISA成績的t檢驗(yàn)

4.3 關(guān)于PISA的調(diào)查分析

4.3.1 學(xué)生對PISA數(shù)學(xué)測試的了解情況

對學(xué)生關(guān)于PISA數(shù)學(xué)測試的了解情況進(jìn)行了調(diào)查，之前，僅有1.5%學(xué)生聽說過PISA數(shù)學(xué)測試．盡管中國的教育研究者越來越重視PISA，上海多次參加測試，2015年更多地區(qū)參加測試，但在西部地區(qū)教育一線，教師對PISA數(shù)學(xué)測試的理念和試題認(rèn)知很少，教師和學(xué)生更多關(guān)注的還是中考，這對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)是不利的．云南學(xué)校要加強(qiáng)先進(jìn)教育理念的學(xué)習(xí)，切實(shí)落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

4.3.2 學(xué)生對PISA試題的感受情況

對學(xué)生完成測試后關(guān)于PISA試題的感受進(jìn)行調(diào)查，有78.2%的學(xué)生認(rèn)為PISA試題很有趣，比平時的測試題目更有實(shí)際意義，這部分學(xué)生女生占75%．一般而言，女生比較擅長直觀形象思維，對生活中的一些生活現(xiàn)象觀察比較仔細(xì)，容易理解PISA數(shù)學(xué)試題，并對這些試題產(chǎn)生好奇和興趣，也是因?yàn)楦J(rèn)真仔細(xì)，在計(jì)算方面，女生要優(yōu)于男生，因而對PISA試題女生的態(tài)度更積極．

5 結(jié)論及討論

PISA2012數(shù)學(xué)更重視數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想在實(shí)際情景中的應(yīng)用，重視學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其試題都從實(shí)際應(yīng)用問題出發(fā)，涉及的數(shù)學(xué)知識和方法都是初中階段最重要和最基本的，解題過程不復(fù)雜（最多兩個步驟就可解決問題），知識的綜合應(yīng)用要求不高，更加貼近生活，趣味性和實(shí)用性強(qiáng)，對熟悉題目所涉及應(yīng)用背景的學(xué)生，題目沒有復(fù)雜性，簡單實(shí)用，獲學(xué)生認(rèn)可，容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．但其考查的知識點(diǎn)相對較少，并未達(dá)到云南中考大綱的要求，不能考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的扎實(shí)程度，起不到選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能．

云南中考幾何試題涉及實(shí)際應(yīng)用背景的并不多，生活中常遇上的比例尺應(yīng)用及實(shí)際應(yīng)用背景下的面積計(jì)算都未涉及．8道題中僅有“測量河的寬度問題”有實(shí)際應(yīng)用背景，但情境已數(shù)學(xué)化，對學(xué)生從實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)信息的要求并不高．因?yàn)橹锌加羞x拔學(xué)生的功能，云南中考涉及的數(shù)學(xué)知識和方法較廣、較深，多數(shù)題的解題過程都較復(fù)雜，需要兩步以上的推理計(jì)算解決問題，綜合性較強(qiáng)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識和邏輯推理、計(jì)算的考查，雖然能考查學(xué)生進(jìn)入下一階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)情況，但也容易傷害學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心．兩種測試都將勾股定理的應(yīng)用作為考查的重點(diǎn)，充分體現(xiàn)勾股定理的重要性．

參加測試的學(xué)生在通過實(shí)際問題中的圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系等方面的直觀想象能力、實(shí)際問題中的比例應(yīng)用、實(shí)用的不規(guī)則圖形面積計(jì)算等方面都較弱，體現(xiàn)教學(xué)中對PISA強(qiáng)調(diào)的各種情境下認(rèn)識、使用和解釋數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)重視不夠，這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)恰恰是云南學(xué)生最需要的，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)．云南作為欠發(fā)達(dá)西部地區(qū)省份，初中學(xué)生有應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識和面向未來生活和工作所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)更加重要．云南中考應(yīng)當(dāng)借鑒PISA的理念，在保留選拔學(xué)生功能的同時，適當(dāng)增加類似PISA數(shù)學(xué)試題中聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用問題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，降低試題的純數(shù)學(xué)難度，更加關(guān)注全體學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，加強(qiáng)應(yīng)用意識的培養(yǎng)．PISA數(shù)學(xué)問題的情境涉及“個人性的”“社會性的”“職業(yè)性的”“科學(xué)性的”，是學(xué)生生活和未來面對社會將遇到的．云南義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要從云南少數(shù)民族數(shù)學(xué)文化的豐富，學(xué)生眼界有局限的實(shí)際出發(fā)，充分利用少數(shù)民族數(shù)學(xué)文化資源，并通過加強(qiáng)科普教育，培養(yǎng)學(xué)生讀看新聞的習(xí)慣和重視不同學(xué)科課程的交叉融合，增強(qiáng)學(xué)生對各種現(xiàn)實(shí)情境的認(rèn)識和情境中問題數(shù)學(xué)化的能力，這也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)所需要的．

兩校學(xué)生的成績情況既體現(xiàn)城鄉(xiāng)的教育差距，也從一個角度體現(xiàn)中考在城市學(xué)校更受到重視，這種重視與城市社會對學(xué)生進(jìn)入優(yōu)質(zhì)高中的過度看重不無關(guān)系，不利于學(xué)生的全面發(fā)展．在應(yīng)試文化短期很難有根本扭轉(zhuǎn)的情況下，中考數(shù)學(xué)滲透更多數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評更顯重要．要以中考改革促進(jìn)學(xué)校和教師對學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重視．

中考數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性、廣泛性和深入性，使進(jìn)入高中及未來進(jìn)一步學(xué)習(xí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為扎實(shí)，但因?yàn)槠鋵W(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的要求不高，導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不足，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力不強(qiáng)．同時，因?yàn)閷?shù)學(xué)知識的深度和廣度要求較高，導(dǎo)致部分學(xué)生懼怕數(shù)學(xué)．應(yīng)當(dāng)充分考慮全體學(xué)生的發(fā)展，在保持中考好的方面的同時，借鑒PISA的測試?yán)砟睿瑢χ锌歼M(jìn)行改革，并通過中考加強(qiáng)地區(qū)教育的比較研究，引導(dǎo)義務(wù)教育階段的教育教學(xué)改革，引領(lǐng)學(xué)生的全面發(fā)展和“育人為本”的根本落實(shí)．

該研究的試卷設(shè)計(jì)及成績評定都不夠精準(zhǔn)和全面，試卷的評閱未采用PISA評閱的理念，未體現(xiàn)學(xué)生的思維過程，問卷調(diào)查也很粗淺，缺少對教師和學(xué)校管理人員有針對性的訪談，樣本的代表性也不夠．可進(jìn)一步借鑒PISA數(shù)學(xué)測試的測評框架、評分方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價及關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)等方面的調(diào)查開展更精準(zhǔn)的研究．引導(dǎo)中考研究從僅僅對教師教學(xué)有指導(dǎo)作用的局部性到聯(lián)系學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對教育理念和教育政策的完善在宏觀上有幫助．該研究試題選擇的局部性和樣本的局限性，對聯(lián)系學(xué)生非智力因素研究的不足都限制了該研究的宏觀參考作用，西部地區(qū)需要教育管理部門參與的類似PISA的更大范圍的宏觀與微觀相結(jié)合的研究．

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A Comparative Study of Yunnan Students’ Performance on Items Related to Figures and Geometry in PISA and the Yunnan Middle School Entrance Examination

LIAN Wang-wei1, 2, YANG Ze-heng1, WANG Peng-de1, ZHOU Shao-yan1

(1. Department of Mathematics and Computer, Dali University, Yunnan Dali 671003, China;2. Xishuangbanna International Resort Middle School, Yunnan Xishuangbanna 666100, China)

This study used an instrument consisting of figures and geometry items from both the PISA 2012 Mathematics and Yunnan Middle School Entrance Examination in Mathematics. The instrument was administered to all three grades of junior middle school students in urban and rural areas. These students have also answered a questionnaire to investiage their attitudes toward the PISA items. We compared the examination points and scores of PISA and Yunnan Middle School Entrance Examination Mathematics and concluded that the mathematics knowledge and solving strategies involved in the middle school entrance exam are wider, deeper, and more comprehensive in thinking than those of PISA, but the requirement of abstracting mathematical information from practical application backgrounds is not as high as on PISA. Teachers and students in Yunnan rarely experience or understand the ideas on or the type of test that is PISA, and the students reported that the questions of PISA were more interesting than those of the Middle School Entrance Examination. This study also puts forward two suggestions: (1) the middle school entrance examination of Yunnan Province should incorporate the ideas of PISA, while retaining the function of selecting students, by appropriately increasing the questions which relate to real life as on PISA; (2) the difficulty of the test should be reduced, emphasizing student’s ability to solve real-life problems and improving their awareness of applying mathematics in real life.

PISA; Middle School Entrance Examination; test; comparative analysis

G40–059.3

A

1004–9894（2020）05–0085–06

連王偉，楊澤恒，王彭德，等．云南中考和PISA關(guān)于圖形與幾何試題的比較研究——以云南省兩所中學(xué)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（5）：85-90．

2020–03–07

國家自然科學(xué)地區(qū)基金項(xiàng)目——基于BISQ方程的高階NAD方法數(shù)值模擬研究（41664005）；云南省教育廳教學(xué)改革項(xiàng)目——數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生實(shí)踐能力培養(yǎng)體系建設(shè)的實(shí)踐與研究（2013云南高校教改43）

連王偉（1991—），男，山西潞城人，碩士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．楊澤恒為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]