幾個特殊廣義積分的計算

叢愛玲 韓朝陽

(1牡丹江市教育教學研究院， 黑龍江 牡丹江 157000；2哈爾濱理工大學理學院， 哈爾濱 150080)

對于一些積分計算題我們很難采用常規(guī)方法得出原函數，甚至根本不能用初等函數來進行表示，利用幾個特殊廣義積分的計算結果作為結論處理這些計算題，很容易處理復雜的積分計算。

1 Euler積分

解：這是一個無界的瑕積分，瑕點為x=0.利用柯西判別法，容易驗證該積分的收斂性。

先做代換x=2t,得到

所以答案為

2 Froullani積分

設函數f(x)在[0,+)上連續(xù)，極限f(+)存在且有限，實數a,b>0，計算積分

解 本題廣義積分的收斂性將在下面的計算過程中建立。對0

對上式右邊的兩個定積分分別應用積分第一中值定理，得到

在上式中分別令r→0+,R→+,注意到這時ξ→0+，η→+，由于f(0+)=f(0),f(+)存在有限，而且在此時的極限為Froullani積分，得到

除此之外，從上面的證明過程中可以得到Froullani積分的兩種變型：

若x→+時f(x)沒有有限極限，但是對某個A>0,積分收斂，則有

3 Dirichlet積分

因此Dn(x)在[0,π]上可積。直接對Dn(x)積分比較困難，為此我們利用三角恒等式作如下變換

將Dn(x)分解為

逐項積分得到

現在再來證明Dirichlet積分，先觀察將其分母換為x所產生的影響。因為

可見有

因此f(x)在[0,π]上常義可積。應用Riemann引理就有

得到

即證得

4Euler-Possion積分

證明：由于積分值只與被積函數和積分區(qū)域有關，與積分變量無關，從而我們有

用極坐標變換x=rcosθ,y=rsinθ轉化為二重積分進行計算，則有

因為e-r2≥0，則I≥0,即

得證。