直角坐標(biāo)系中雷達(dá)測量方差的兩種計(jì)算方法

高 效，董光波，張向榮

（1. 中國人民解放軍93209 部隊(duì)，北京 100085； 2. 西北核技術(shù)研究所，西安 710024）

0 引言

在分布式雷達(dá)情報(bào)組網(wǎng)系統(tǒng)中，存在2 種應(yīng)用較多的坐標(biāo)系：以雷達(dá)為原點(diǎn)的極坐標(biāo)系和以指揮處理中心為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系。一般認(rèn)為，極坐標(biāo)在近區(qū)容易產(chǎn)生較大的偽加速度，而直角坐標(biāo)系下能得到更高的估計(jì)精度[1]，故多雷達(dá)數(shù)據(jù)融合與目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)方法主要在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行研究。測量方差是指單雷達(dá)極坐標(biāo)系中距離、方位和仰角上的測量標(biāo)準(zhǔn)差。它是卡爾曼濾波等諸多目標(biāo)跟蹤算法的重要輸入?yún)?shù)，對(duì)它的準(zhǔn)確描述是各類濾波算法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確估值與穩(wěn)定跟蹤的前提條件。在多雷達(dá)數(shù)據(jù)融合算法中，數(shù)據(jù)融合的實(shí)際物理意義即合理地分配傳感器的權(quán)重系數(shù)，而精確描述系統(tǒng)中的測量噪聲是獲得良好狀態(tài)估值的一個(gè)必要條件[2-3]，因此，測量方差是確定多雷達(dá)數(shù)據(jù)融合權(quán)值的重要依據(jù)。另外，測量方差在解決測量精度不同、點(diǎn)跡數(shù)不同的航跡間的關(guān)聯(lián)問題時(shí)同樣具有至關(guān)重要的作用[4]。

測量方差一般是根據(jù)所采用傳感器的精度預(yù)先設(shè)定[2]，通常以雷達(dá)出廠或校飛后確定的距離、方位和仰角測量方差作為固定參數(shù)參與航跡濾波、關(guān)聯(lián)或融合計(jì)算。但須注意的是，在雷達(dá)方位測量誤差相同時(shí)，目標(biāo)在直角坐標(biāo)系中的位置測量誤差與極坐標(biāo)系中的測量距離成正比。例如，警戒雷達(dá)探測到50 km 遠(yuǎn)的目標(biāo)，則方位偏差1°將產(chǎn)生873 m的誤差，探測到500 km 遠(yuǎn)的目標(biāo)，就將產(chǎn)生8730 m的誤差[5]。這意味著對(duì)于兩部具有相同的方位測量方差的雷達(dá)，距目標(biāo)較近的雷達(dá)測得的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)比距目標(biāo)較遠(yuǎn)的雷達(dá)的測量值可信度要高，因此，以定值表示的極坐標(biāo)測量方差確定雷達(dá)測量權(quán)重的方法存在不合理性。將雷達(dá)在極坐標(biāo)系下的測量轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下，是諸多航跡濾波、關(guān)聯(lián)和融合算法的前提，同樣，將雷達(dá)在極坐標(biāo)系下的測量方差轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)系下的目標(biāo)位置誤差，是保證各類航跡濾波和加權(quán)融合算法穩(wěn)定有效的重要措施之一。然而，目前多數(shù)情況下仍將雷達(dá)極坐標(biāo)測量方差作為多雷達(dá)測量加權(quán)的主要依據(jù)，對(duì)直角坐標(biāo)系中目標(biāo)位置測量誤差的分析和研究還相對(duì)較少；諸多文獻(xiàn)對(duì)測量方差的使用較多，但是對(duì)極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換計(jì)算方法鮮有涉及。

針對(duì)以上情況，我們提出了依據(jù)雷達(dá)極坐標(biāo)測量標(biāo)準(zhǔn)差和采用雷達(dá)極坐標(biāo)測量數(shù)據(jù)估計(jì)直角坐標(biāo)系中目標(biāo)位置誤差的2 種轉(zhuǎn)換計(jì)算方法，并結(jié)合相關(guān)濾波方法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。這2 種方法分別稱為誤差傳遞法和基于直線航跡線參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法（下簡稱“統(tǒng)計(jì)學(xué)方法”）。

1 誤差傳遞法

雷達(dá)出廠或校飛后通常會(huì)給出其距離、方位和仰角上的測量標(biāo)準(zhǔn)差，我們采用誤差傳遞定律一般式，可以計(jì)算得到每個(gè)測量點(diǎn)在統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中的x、y、z 方向上的標(biāo)準(zhǔn)偏差，進(jìn)而得到目標(biāo)位置間接測量標(biāo)準(zhǔn)差，此法我們稱之為誤差傳遞法，具體描述如下。

雷達(dá)R 對(duì)目標(biāo)的1 個(gè)位置觀測點(diǎn)（距離、方位、仰角）用極坐標(biāo)(ρ ,θ,α) 表示，距離ρ、 方位 θ和仰角α的測量標(biāo)準(zhǔn)差分別為 σρ、 σθ和 σα。在忽略地圖投影轉(zhuǎn)換誤差影響的情況下，統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中的目標(biāo)位置坐標(biāo)的間接測量可表示為

其中 (XR,YR,ZR)為雷達(dá)R 在統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，在選定雷達(dá)陣地、固定地圖投影模型的情況下可以看做常量。則目標(biāo)在統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中各坐標(biāo)分量上的標(biāo)準(zhǔn)差 σx、 σy和 σz按照誤差傳遞定律一般式[6]可表示為：

將各坐標(biāo)分量上的間接測量看做等精度測量，則目標(biāo)在三維統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中的位置誤差均方根可采用真誤差法、貝塞爾公式和彼得斯公式等方法求得[6-7]。本文按照最簡單的真誤差法[6]計(jì)算位置測量的誤差均方根

2 統(tǒng)計(jì)學(xué)方法

如雷達(dá)經(jīng)過校準(zhǔn)且狀態(tài)穩(wěn)定，則可以采用式(2)得到直角坐標(biāo)系中的目標(biāo)位置測量標(biāo)準(zhǔn)差。但在多雷達(dá)組網(wǎng)應(yīng)用系統(tǒng)中，廣泛使用的是二維直角坐標(biāo)系，同時(shí)，雷達(dá)老化以及自身設(shè)計(jì)中無法預(yù)料的測量誤差、不同陣地環(huán)境對(duì)雷達(dá)周邊不同空域測量產(chǎn)生的影響、大量部署的兩坐標(biāo)雷達(dá)缺乏仰角測量數(shù)據(jù)以及分布式系統(tǒng)大區(qū)域地圖投影產(chǎn)生的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差等，使每個(gè)單雷達(dá)測量點(diǎn)經(jīng)統(tǒng)一直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后都產(chǎn)生了x、y 方向上的不同分布特征的誤差，這就需要通過統(tǒng)計(jì)學(xué)方法計(jì)算單雷達(dá)測量在二維直角坐標(biāo)系中不同區(qū)域的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。其中，統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)來自日常觀測積累，而對(duì)于不同樣本數(shù)據(jù)可能獲得不同的標(biāo)準(zhǔn)差，需要按區(qū)域進(jìn)行聚類、平均處理。工程應(yīng)用中需要經(jīng)過大量統(tǒng)計(jì)和平均，建立對(duì)應(yīng)不同典型氣候環(huán)境（春、夏、秋、冬、云、雨等）、不同探測區(qū)域（例如按照探測距離ρ 和探測方位θ 分區(qū)）的測量方差估值表，在一組固定測量方差估值不能涵蓋所有條件的情況下，就要具體問題具體分析，因地制宜開展應(yīng)用。對(duì)此，我們給出基于直線航跡線參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，計(jì)算雷達(dá)測量在二維統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中x、y 方向上的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差，進(jìn)而得到目標(biāo)位置間接測量標(biāo)準(zhǔn)差。

2.1 建立單雷達(dá)加權(quán)直線航跡線參數(shù)迭代估計(jì)模型[8]

某時(shí)間段內(nèi)單雷達(dá)觀測到直線航路上的某一飛行目標(biāo)的總點(diǎn)數(shù)為n，所有測量點(diǎn)轉(zhuǎn)換到二維統(tǒng)一直角坐標(biāo)系后表示為 {(xi,yi)，i=1,2,···,n}。定義單一測量點(diǎn) (xi,yi)對(duì)目標(biāo)航跡線參數(shù)估計(jì)的貢獻(xiàn)率為該點(diǎn)的權(quán)值，記為νi。首先按照以下方法計(jì)算單一測量點(diǎn)的初步權(quán)值。

基于直線方程一般式 y?k0x?d0=0，測量點(diǎn)(xi,yi)到直線的垂直距離為

用所有單雷達(dá)觀測點(diǎn){ (xi,yi)，i=1,2,···,n}到該直線的垂直距離li的平方和最小作為條件構(gòu)造直線，計(jì)算在此條件下這條直線的最佳參數(shù) (k0,d0)，即為不加權(quán)直線航跡線參數(shù)估計(jì)模型

在νi已知的基礎(chǔ)上，同樣基于直線方程一般式，用所有單雷達(dá)觀測點(diǎn){ (xi,yi)，i=1,2,···,n}到某直線的垂直加權(quán)距離 (vi×li)的平方和最小作為條件構(gòu)造直線，計(jì)算在此條件下這條直線的最佳參數(shù) (k,d)，即為單雷達(dá)加權(quán)直線航跡線參數(shù)估計(jì)模型

對(duì)于式(5)的求解，可以構(gòu)造方程

求解式(6)，可以得到一組合理的直線參數(shù)解 (k,d)。然后計(jì)算所有測量點(diǎn) (xi,yi)到新直線的加權(quán)距離之和

直到 fm(k,d)不 再減小為止，此時(shí)的 (k,d)即為最佳直線參數(shù)；否則按照當(dāng)前 (k,d)重新計(jì)算所有測量點(diǎn)(xi,yi)的最新權(quán)值νi，回歸對(duì)式(5)的求解過程。式(7)中的m 表示迭代次數(shù)。

2.2 計(jì)算目標(biāo)在x、y 分量上的雷達(dá)觀測航跡線參數(shù)

選取雷達(dá)在典型航路（目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng)）上對(duì)某一目標(biāo)的一組觀測點(diǎn)數(shù)據(jù){(ti,ρi,θi,αi)，i=1,2,···,n} ，其中 (ρi,θi,αi)分別表示ti時(shí)刻雷達(dá)測量到的目標(biāo)極坐標(biāo)距離、方位和仰角（對(duì)于兩坐標(biāo)雷達(dá)，認(rèn)為所有測量點(diǎn)的仰角均為0）。采用式(1)同時(shí)忽略高度影響，將極坐標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到二維統(tǒng)一直角坐標(biāo)系下，得到{ (ti,Xi,Yi)，i=1,2,···,n}。

將x 軸運(yùn)動(dòng)分量 {(ti,Xi)，i=1,2,···,n}簡記為{(xi,yi)，i=1,2,···,n}，采用單雷達(dá)加權(quán)直線航跡線參數(shù)迭代估計(jì)模型計(jì)算目標(biāo)在x 方向上的直線參數(shù)( kx,dx)， 得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程y ?kxx?dx=0。

將y 軸運(yùn)動(dòng)分量 {(ti,Yi)，i=1,2,···,n}簡記為{(xi,yi)，i=1,2,···,n}，采用單雷達(dá)加權(quán)直線航跡線參數(shù)迭代估計(jì)模型計(jì)算目標(biāo)在y 方向上的直線參數(shù)( ky,dy)， 得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程y ?kyx?dy=0。

2.3 計(jì)算目標(biāo)在x、y 分量上的測量標(biāo)準(zhǔn)差

將x 軸運(yùn)動(dòng)分量 {(ti,Xi)，i=1, 2, ···, n}簡記為{(xi,yi)，i=1,2,···,n}， 計(jì)算樣本點(diǎn){(xi,yi)，i=1,2,···,n}到 直線y =kxx+dx的平均距離

計(jì)算樣本點(diǎn) {(xi,yi)，i=1,2,···,n}到直線y =kxx+dx的 距離的標(biāo)準(zhǔn)偏差 σx，即為雷達(dá)測量在x 坐標(biāo)分量上的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差，

同樣，將y 軸運(yùn)動(dòng)分量{ (ti,Yi)，i=1,2,···,n}簡記為{(xi,yi)，i=1,2,···,n}， 根據(jù)參數(shù)( ky,dy)，仿照式(8)、(9)得到樣本點(diǎn)到直線 y=kyx+dy的距離的標(biāo)準(zhǔn)偏差σy，即為雷達(dá)測量在y 坐標(biāo)上的樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差。

按照真誤差法[6]計(jì)算目標(biāo)在二維統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中的位置測量誤差均方根為

3 應(yīng)用與實(shí)踐

在模擬環(huán)境中使用本文提出的誤差傳遞法和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)二維直角坐標(biāo)系中多部雷達(dá)測量方差進(jìn)行了計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果應(yīng)用于多雷達(dá)雙層加權(quán)直線航跡線融合模型中。圖1 是在二維直角坐標(biāo)系中采用本文提出的2 種雷達(dá)測量方差計(jì)算方法參與多雷達(dá)測量數(shù)據(jù)權(quán)值動(dòng)態(tài)分配后的多雷達(dá)航跡融合結(jié)果。試驗(yàn)表明，各雷達(dá)測量方差對(duì)其測量數(shù)據(jù)權(quán)值動(dòng)態(tài)分配起到了關(guān)鍵作用，航跡融合均取得了預(yù)期效果。另外，由于試驗(yàn)環(huán)境中存在大量兩坐標(biāo)雷達(dá)，以及誤差傳遞法缺乏仰角測量數(shù)據(jù)等原因，雷達(dá)測量方差計(jì)算的準(zhǔn)確度不及統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，造成其多雷達(dá)航跡融合效果略遜于后者。

圖1 兩種雷達(dá)測量方差計(jì)算方法在多雷達(dá)加權(quán)航跡融合模型中的應(yīng)用效果Fig.1 Application of two kinds of calculation methods for the variance of radar measurements in the multi-radar weighted track fusion model

4 結(jié)束語

本文提出了依據(jù)雷達(dá)極坐標(biāo)測量標(biāo)準(zhǔn)差（誤差傳遞法）和采用雷達(dá)極坐標(biāo)測量數(shù)據(jù)（統(tǒng)計(jì)學(xué)方法）估計(jì)直角坐標(biāo)系中雷達(dá)測量方差以及目標(biāo)位置誤差這2 種計(jì)算方法，并應(yīng)用于多雷達(dá)雙層加權(quán)直線航跡線融合模型中的雷達(dá)測量權(quán)值動(dòng)態(tài)分配過程中，均取得了良好效果。其中，誤差傳遞法適用于經(jīng)過校準(zhǔn)且狀態(tài)穩(wěn)定的三坐標(biāo)雷達(dá)，要求雷達(dá)測量誤差分布特征較為一致；統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)于雷達(dá)的適用條件更加寬松，但對(duì)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有一定要求（目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的觀測數(shù)據(jù)）。這2 種雷達(dá)測量方差估計(jì)方法對(duì)于卡爾曼濾波器等傳統(tǒng)濾波器和多雷達(dá)航跡關(guān)聯(lián)算法也具有較高的推廣和應(yīng)用價(jià)值。另外，本文得出的雷達(dá)測量方差是指測量標(biāo)準(zhǔn)差 σ，對(duì)于工程上取值 3σ（置信區(qū)間為99.7%）或2σ（置信區(qū)間為95%）的極限誤差估計(jì)同樣適用。