基于最大剪應力理論的本構(gòu)模型推導

陳燁開，馬雷鳴

(安徽理工大學 土木建筑學院，安徽 淮南 232001)

0 前 言

大量的工程實踐表明，地下巖石工程中常發(fā)生循環(huán)加卸載作用，如道路橋梁等。巖石受到循環(huán)加卸載的作用，其力學性質(zhì)將會產(chǎn)生變化，是影響工程長期穩(wěn)定性的重要元素，因此，提高巖石穩(wěn)定性的關(guān)鍵是精確的損傷本構(gòu)模型。

許多學者在巖石循環(huán)加-卸載試驗、本構(gòu)關(guān)系等方面都取得了豐碩的研究成果[1-6]。曹文貴等[7-9]研究基于Weibull公式對巖石的損傷模型，將統(tǒng)計強度理論和連續(xù)損傷理論結(jié)合起來，在巖石本構(gòu)模型的研究方面得到了重大進展。

本文根據(jù)巖石微元強度理論服從最大剪應力理論，從Weibull 隨機分布的特點出發(fā)，建立出能夠表現(xiàn)出分等級加卸載的本構(gòu)模型。由于本構(gòu)模型中代表巖石的微元強度的參數(shù)包含損傷變量，致使損傷變量中包含損傷變量使得本構(gòu)無法擬合，本文對本構(gòu)模型進行等式變換，消去巖石微元強度和損傷變量表達式中的損傷變量，進一步把本構(gòu)關(guān)系變換成簡單的冪函數(shù)，彌補了非線性曲線擬合初值不易選取的缺點。

1 巖石本構(gòu)模型

1.1 本構(gòu)模型的建立

依據(jù)Lemaitre理論[1]，得出巖石損傷本構(gòu)模型的基本關(guān)系式為：

(1)

假設(shè)微元的總數(shù)為N，發(fā)生破壞的微元數(shù)為N1,定義損傷變量D為N1與N的比值。D的范圍為0～1，D為0時未發(fā)生破壞，D為1時巖石完全破壞。根據(jù) Weibull 分布損傷變量D的表達式為[9]：

(2)

1.2 微元強度的確定

目前，巖石力學研究中采用多種表現(xiàn)形式的破壞準則，曹文貴等[9]以Drucker-Prager、Coulomb-Mohr作為巖石的強度準則,這種研究方法有參數(shù)物理意義明確優(yōu)點，但巖石在復雜應力狀態(tài)下的性狀研究的不夠，這些理論不能無條件地適用。在單向試驗中，試件表面出現(xiàn)了與桿軸大約成45°角的斜線。因為最大剪應力發(fā)生在與桿軸成45°角的斜面上，這些條紋是材料內(nèi)部晶格間的相對剪切的結(jié)果。一般認為這種晶格的錯動是產(chǎn)生塑性變形的根本原因，得出最大剪應力決定材料的破壞。最大剪應力準則這一理論對于解決塑性巖石的問題給出了滿意的結(jié)果，筆者確定了基于最大剪應力破壞準則的巖石微元強度為：

(3)

1.3 單軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系

天然材料的巖石內(nèi)部存在著一定的先期損傷，其內(nèi)部強度并不完全相同，而是呈隨機分布。損傷力學認為巖石材料在加載過程中，損傷是一個連續(xù)的過程，做出以下假設(shè)。

1)假設(shè)巖石斷裂前是線彈性體。

2)巖石材料服從各向同性假設(shè)。

3)假設(shè)巖石各微元破壞服從Weibull分布，其概率密度函數(shù)為[9]：

(4)

式中，F(xiàn)為巖石的微元強度；F0與巖石平均宏觀強度有關(guān)，m與巖石微元分布集中程度有關(guān)，反映了巖石材料的力學性質(zhì)。將式(4)代入式(1)、(2)可得單軸加卸載損傷本構(gòu)模型為:

(5)

(6)

(7)

(8)

B=F0An

(9)

2 結(jié) 論

假設(shè)巖石微元強度服從最大剪應力理論和微元破壞服從Weibull的概率公式，建立一種能夠描述巖石在循環(huán)加卸載狀態(tài)下的本構(gòu)模型，對本構(gòu)的等式變換消去損傷變量和巖石微元強度表達式里的損傷變量，得到采用應力、應變、彈性模量等參數(shù)表示的關(guān)于損傷變量和巖石宏觀強度的表達式。

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