漆勇方，黃祖峰，歐陽慧敏

分?jǐn)?shù)階霍頓滲透模型及其應(yīng)用

漆勇方1，黃祖峰2，歐陽慧敏3

（1. 萍鄉(xiāng)學(xué)院 工程與管理學(xué)院；2. 蘆溪縣大安中學(xué)；3. 萍鄉(xiāng)市第七中學(xué)，江西 萍鄉(xiāng) 337000）

文章研究了Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階和Caputo分?jǐn)?shù)階霍頓滲透模型，得到了分?jǐn)?shù)階霍頓下滲公式。首先利用分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)理論知識，構(gòu)建了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階和Caputo分?jǐn)?shù)階霍頓滲透模型。其次，利用分?jǐn)?shù)階線性微分方程的求解公式，對分?jǐn)?shù)階霍頓滲透模型進(jìn)行求解，得到了分?jǐn)?shù)階霍頓下滲公式。研究結(jié)果可運(yùn)用到城市雨水累積入滲量問題中。

分?jǐn)?shù)階；霍頓；下滲；柯西問題

引言

近幾年，城市內(nèi)澇成為了公眾普遍關(guān)心的問題。為了緩解城市內(nèi)澇災(zāi)害，2015年開始，國家著手海綿城市建設(shè)并公布了第一批海綿城市名單。經(jīng)過幾年的發(fā)展，我國在海綿城市建設(shè)方面積累了一些的經(jīng)驗(yàn)。海綿城市建設(shè)過程中，大家最關(guān)注的是雨水下滲問題。一直以來，霍頓下滲公式被廣泛運(yùn)用，成為研究城市水文化的有力工具。

1941年，霍頓構(gòu)建了一階微分系統(tǒng)，并對其進(jìn)行了求解，得到了雨水下滲速度和時間的函數(shù)關(guān)系式，也就是霍頓下滲公式，霍頓下滲公式生動地描述了下降滲透能力從最大容量到最小容量的過程[1]。1982年，Verma對霍頓方程進(jìn)行了改善，模型考慮了雨水達(dá)到穩(wěn)定下滲速度以后，下滲函數(shù)值的變化情況[2]。

利用霍頓下滲方程研究城市地表的降雨徑流行為是一個重要的科學(xué)和實(shí)踐問題。Redfern Thomas W等研究了一種復(fù)雜的水文行為，其入滲速率比通常假設(shè)的要大，其構(gòu)造的水文模型有助于進(jìn)一步了解城市表面和水文行為之間的聯(lián)系[3]。Leandro J等人揭示了一種考慮建筑類型變異性和地表空間異質(zhì)性的方法，該方法依賴于開放式街道地圖（OSM）的蓄水能力有限的城市地區(qū)。研究結(jié)果表明：城市特征的空間異質(zhì)性對估計(jì)的陸上洪水深度具有中等到高度的影響；由于模型模擬的動態(tài)效應(yīng)，多個城市特征的添加具有更高的累積效應(yīng)；將建筑物的徑流連接到下水道有助于在地表洪水深度上觀察到的非線性效應(yīng)；OSM數(shù)據(jù)有助于確定沖擊區(qū)域和可滲透自然地表水流路徑[4]。Steffen Davidsen等人利用霍頓下滲方程，在給定城市透水表面的初始條件的情況下估計(jì)入滲能力。研究表明，對于典型的大暴雨，一般來說，前期條件會降低砂土和黏性土的入滲能力1~10年以上的重現(xiàn)期有大量徑流[5]。

一直以來，霍頓微分系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用，但在實(shí)際運(yùn)用過程中，難免產(chǎn)生誤差。為了盡可能地減小誤差，本文引進(jìn)分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)知識，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階霍頓微分系統(tǒng)，并將研究結(jié)果運(yùn)用到城市雨水累積入滲量問題中。

1 基本概念和有用的引理

本小節(jié)主要介紹Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分以及Caputo 分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)的定義和性質(zhì)，為后面的研究奠定基礎(chǔ)。

2 主要結(jié)果

利用常數(shù)變異法，或者直接用一階線性微分方程的求解公式，不難得到霍頓下滲公式：

分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確地描述復(fù)雜的物理現(xiàn)象和自然現(xiàn)象。很多用整數(shù)階微分方程無法解決的實(shí)際問題，借助分?jǐn)?shù)階微分微積分的相關(guān)理論，都能得到圓滿地解決。分?jǐn)?shù)階微積分在近20年的時間里，取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，為其他學(xué)科的創(chuàng)新與發(fā)展提供了理論依據(jù)。本小節(jié)將在已有的研究成果基礎(chǔ)上，研究分?jǐn)?shù)階霍頓下滲系統(tǒng)及其應(yīng)用。

的解為

結(jié)論

[1] Horton, R. E. An approach toward a physical interpretation of infiltration-capacity[J]. Soil Science Society of America Journal, 1941, 5(C): 399~400.

[2] Verma, S. C.Modified Horton’s infiltration equation[J]. Journal of Hydrology, 1982,58: 383~388.

[3] Redfern, T. W., Macdonald, N., Kjeldsen, T. R., etal. Current understanding of hydrological processes on common urban surfaces[J]. Progress in Physical Geography, 2016, 40(5): 699~713.

[4] Leandro J., Schumann A. , Pfister, A. A step towards considering the spatial heterogeneity of urban key features in urban hydrology flood modelling[J]. Journal of Hydrology, 2016, 535: 356~365.

[5] Steffen D, Roland L, Nanna H.R., etal. Initial conditions of urban permeable surfaces in rainfall-runoff models using Horton’s infifiltration[J]. Advances in Water Resources, 2018, 77(3): 662~669.

[6] Kilbas Anatoly A., Srivastava Hari M., Trujillo Juan J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]. Amsterdam: Elsevier Science Ltd, 2006: 69~91.

[7] Barrett, J.H. Differential equations of non-integer order[J]. Canad. J. Math., 1954, 6(4): 529~541.

[8] Luchko, Y. F. and GORENFLO, R., An operational method for solving fractional differential equations with the Caputo derivatives[J]. Ada Math. Vietnam., 1999, 24(2): 207~233.

Fractional Horton Infiltration Model and Its Application

QI Yong-fang1, HUANG Zu-feng2, OUYANG Hui-min3

(1. School of Management and Engineering, Pingxiang University, Pingxiang Jiangxi 337000; 2. Da’an Middle School, Pingxiang Jiangxi 337000; 3. Pingxiang No.7 Middle School, Pingxiang Jiangxi 337000, China)

The Riemann Liouville fractional and Caputo fractional Horton infiltration models are studied, and the fractional Horton infiltration formula is obtained. Firstly, the Riemann Liouville fractional order and Caputo fractional order Horton penetration models are constructed by using the relevant theoretical knowledge of fractional calculus. Secondly, the fractional Horton infiltration model is solved by using the solution formula of fractional linear differential equation, and the fractional Horton infiltration formula is obtained. The research results are applied to the problem of accumulated infiltration of rainwater in the region.

fractional; Horton; infiltration; Cauchy type problem

2020-03-07

萍鄉(xiāng)市科技計(jì)劃項(xiàng)目（2019C0104）；江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ191146）

漆勇方（1984—），男，江西萍鄉(xiāng)人，講師，碩士，研究方向：定性理論。

O211

A

2095-9249（2020）03-0013-05

〔責(zé)任編校：吳侃民〕