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      教材中常見數(shù)學方法的探究

      2020-11-06 04:16:51楊劍
      數(shù)學教學通訊·初中版 2020年9期
      關(guān)鍵詞:數(shù)學方法數(shù)形結(jié)合教材

      楊劍

      [摘? 要] 在以培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)為方向標的新課改背景下,引導學生掌握相應的數(shù)學方法是提高教學效率的精髓. 初中階段的數(shù)學方法主要有分類討論法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、數(shù)學模型法與變換法等. 文章結(jié)合教材,對這些教學方法進行探究,希望能給同行們帶來一些啟發(fā).

      [關(guān)鍵詞] 數(shù)學方法;教材;數(shù)形結(jié)合

      數(shù)學方法是指人類經(jīng)過長期的教學實踐,總結(jié)出不少用數(shù)學思想解決問題的門路、手段或程序,這些門路、手段或程序統(tǒng)稱為數(shù)學方法,重復多次地使用這些數(shù)學方法能達到解決問題的目的. 用數(shù)學方法來解決數(shù)學問題,就是學生不斷積累對數(shù)學知識感性認識的過程,只要積累的量達到一定程度,就會上升到相應的數(shù)學思想.

      教學方法的應用是指教師在教學過程中,引導學生用數(shù)學語言或符號表達數(shù)學現(xiàn)象的狀態(tài)、過程或關(guān)系,并加以演算、分析與推導,形成判斷的過程. 本文結(jié)合初中數(shù)學教材中所蘊含的數(shù)學方法加以剖析與探究.

      分類討論法

      分類討論是指當問題含有多種可能性的情況下,無法使用統(tǒng)一方式進行處理,只能針對每種情況進行討論的方法,再綜合討論的結(jié)論給予問題合理的解釋. 初中階段數(shù)學分類討論法一般涉及數(shù)學概念、定義、法則、公式或性質(zhì)等. 在此歸納為兩類分類討論法進行闡述:

      1. 概念類的分類討論

      例如,教材中“有理數(shù)”的章節(jié),就使用了分類討論法,按有理數(shù)的定義(見表1)和性質(zhì)(見表2)進行討論.

      將概念運用分類討論法呈現(xiàn),讓學習者能一目了然地明確概念的本質(zhì)與內(nèi)涵,比抽象的文字敘述要來得直觀易理解.

      2. 定理、法則、公式或性質(zhì)等的分類討論

      例如,教材中“函數(shù)的性質(zhì)”章節(jié),對函數(shù)的性質(zhì)也進行了分類討論:一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),且k≠0),反比例函數(shù)y=■(k為常數(shù),k≠0)以及二次函數(shù)y=ax2(a≠0),都把系數(shù)k和a分別按k>0,k<0和a>0,a<0來討論,函數(shù)的性質(zhì)也浮出了水面.

      分類討論在教材中運用范圍非常廣泛,如:①有理數(shù)運算,將兩個有理數(shù)分成同號、異號等進行分類討論;②平方根和立方根中,也是分正負數(shù)和0分別加以討論;③分式加減中,根據(jù)分式的同分母和異分母進行分類討論,等等.

      數(shù)形結(jié)合法

      華羅庚曾經(jīng)說過:“當數(shù)量關(guān)系缺乏圖形來理解時,則缺少直觀;而一般圖形缺乏數(shù)量關(guān)系來表示時,則難以細微. ”以形助教、以數(shù)助形是新課改下數(shù)學教學的熱門話題. 這里的“數(shù)”表示正負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、虛實數(shù)等,還可以表示方程、代數(shù)式、函數(shù)、統(tǒng)計數(shù)、隨機數(shù)或矩陣等;“形”一般指圖形或圖像,還包括現(xiàn)實的空間以及抽象的空間等.

      數(shù)形結(jié)合法貫穿于整個初中階段的數(shù)學學習過程,它對學生學好數(shù)學這門學科具有舉足輕重的作用. 實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合關(guān)系轉(zhuǎn)化的“橋梁”有直角坐標系、數(shù)軸、構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等,它們利用數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應關(guān)系,圖像與函數(shù)的對應關(guān)系等表達.

      例如,教材中在有理數(shù)這章節(jié)引入了數(shù)軸來幫助學生理解“絕對值和相反數(shù)”的內(nèi)容,學生從數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系中初步感受到數(shù)形結(jié)合的基本思想,達到以形助教的明顯效果. 若教材純粹使用文字描述絕對值的定義,學生從抽象的文字中難以真正理解絕對值的概念本質(zhì),而結(jié)合數(shù)軸的表示,絕對值的真正內(nèi)涵則顯示于直觀的形,學生在直觀之形中能快速、準確地把握知識的內(nèi)涵,從而構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu).

      再如,教材中的“反比例函數(shù)”與“二次函數(shù)”所呈現(xiàn)的內(nèi)容也使用了數(shù)形結(jié)合法,這兩部分都使用了類比一次函數(shù)的方法,通過平面直角坐標系與圖像的關(guān)系來揭示函數(shù)的內(nèi)涵. 若能將實際問題中存在的數(shù)量變化與其關(guān)系軸抽象出二次函數(shù),就可以在圖像與函數(shù)的性質(zhì)中解決問題;若問題與拋物線的形狀有關(guān),則需建立平面直角坐標系,將二次函數(shù)的關(guān)系式與拋物線進行對應,從而有效地解決問題.

      當然,數(shù)形結(jié)合在教材中呈現(xiàn)的還有很多. 如:①一元一次不等式中關(guān)于“不等式的解集”也是通過數(shù)軸的引入,幫助學生理解所有能使不等式成立的值;②教材中關(guān)于乘法公式與勾股定理等,均通過圖形面積的等積變形來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,主要是將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,幫助學生更好地理解乘法公式與勾股定理;③教材中介紹完平面直角坐標系的知識結(jié)構(gòu)之后,再展示一次函數(shù)的內(nèi)容,將這兩部分內(nèi)容結(jié)合在一起實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合教學方法的展示,幫助學生更好地理解函數(shù)的本質(zhì)特征;④關(guān)于二元一次方程組的圖像解法,就是把代數(shù)問題實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,變成幾何問題后再解決問題,等等.

      函數(shù)法

      所謂的函數(shù)法是根據(jù)實際問題引入變量,再用這個變量與常量來表達,將待求目標轉(zhuǎn)為此變量的函數(shù),使用函數(shù)來解決相應的問題. 它在初中數(shù)學學科的發(fā)生與發(fā)展中,起到了關(guān)鍵作用,它具有高度的包容性. 因此,函數(shù)法是從運動變化的視角來處置數(shù)學問題的一種重要方法和思想.

      雖然初中數(shù)學中的一次函數(shù)、正反比例函數(shù)以及二次函數(shù)等都安排在八年級教材中,但函數(shù)思想早在七年級教材中就有體現(xiàn)了.

      例如,“用字母表示數(shù)”章節(jié)中用代數(shù)式求值,當x=-4時,求代數(shù)式2x+5的值. 如當x=-3,-2,-1……請求出代數(shù)式的值,等等. 學生根據(jù)教材中的此類問題,發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的值會隨著x的變化而發(fā)生改變. 反過來,若代數(shù)式2x+5的值為0,要求出x的值,就是解方程了;若問題是當x的值為哪些時,代數(shù)式2x+5的值大于0或小于0,問題就屬于不等式求解了. 因此,將數(shù)、式、方程與不等式等統(tǒng)一到函數(shù)的范疇,當相關(guān)問題在推演過程中遇到障礙的時候,可先將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù),再運用函數(shù)法來解決相應的問題.

      再如,“將代數(shù)式看成函數(shù)的一個值”的教學,可將a2+1看作函數(shù)y=x2+1當x取a的值;方程f(x)=0的根,可看作函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標,等等.

      數(shù)學模型法

      數(shù)學模型法是指運用函數(shù)關(guān)系或符號等,將待評價的內(nèi)容系統(tǒng)地規(guī)定好,用數(shù)學公式表達互相變化關(guān)系的一種方法. 其表達的具體內(nèi)容可以是定性或定量的,但均以定量的方式體現(xiàn). 它具有操作簡易、有代表性、真實系統(tǒng)地反映客觀現(xiàn)象等特征.

      數(shù)學模型是對數(shù)學現(xiàn)象原始化的概括或模擬,是抽象化之后的產(chǎn)物,它的原型可以是具體的數(shù)學對象或數(shù)學關(guān)系,主要以模型的方式來呈現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象. 初中數(shù)學教材中呈現(xiàn)的數(shù)學模型比較多,根據(jù)其功能性大致可以分為兩類:①概念類,指通過一定的方法,將客觀的數(shù)學現(xiàn)象或事物抽象為數(shù)學概念,如實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、整式與代數(shù)式等;②方法類,指將客觀的數(shù)學現(xiàn)象或事物之間的關(guān)系,通過一定方法抽象為運算法則或公式等.

      變換法

      所謂的變換法是指將抽象復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成等價值的單個或多個簡單易理解的問題,使解決原問題變得簡便. 用變換法解決相關(guān)問題時,可選擇轉(zhuǎn)化原問題的條件或結(jié)論,也可以選擇將原問題轉(zhuǎn)化為幾何的方式,或通過變換圖形的大小、形狀或位置來解決問題.

      例如,“三角形內(nèi)角和”的變換法. 問題:已知三角形的內(nèi)角和為180°,請問四邊形的內(nèi)角和是多少?其他多邊形的內(nèi)角和呢?

      教材中使用連接四邊形的對角線,將一個四邊形變換為兩個三角形后,獲得四邊形的內(nèi)角和為兩個三角形的內(nèi)角和,即360°. 使用同樣的變換法,要求出其他多邊形的內(nèi)角和,都不是問題.

      實踐證明,初中數(shù)學教學需要根據(jù)教材所提供的教學法,遵循數(shù)學學科特征和學生身心發(fā)展的規(guī)律,力求在幾者統(tǒng)一的基礎(chǔ)上,進行有效教學. 讓學生從各種教學方法中循序漸進地獲得相應的數(shù)學思想,在提高學科認識水平的基礎(chǔ)上有效地提升數(shù)學核心素養(yǎng).

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