蘇明海 王興成

[摘? 要] 文章對(duì)一道經(jīng)典幾何題目證法進(jìn)行剖析與總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中點(diǎn)問題的理解，并在證法中融入初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不斷提升學(xué)生的模型思想與推理能力，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 一題多解;初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);幾何證明

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下面簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）是基礎(chǔ)教育和課程改革的方向，其明確規(guī)定了義務(wù)教育階段的課程目標(biāo)與考試內(nèi)容. 《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求，數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想. 在初中學(xué)習(xí)階段，幾何證明題能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力和模型思想. 其中，推理主要包含兩類：一類是從特殊到一般的推理，主要形式是歸納類比;另一類是從一般到特殊的推理，主要形式是演繹. 剖析經(jīng)典題目的多種證法，能使學(xué)生的圖形感更強(qiáng)，能進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)意識(shí)，提升他們的演繹推理能力. 在講解中對(duì)典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行多方向思考，依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)尋找突破口，這是合情推理，能使學(xué)生對(duì)一類題目的理解更深刻. 提煉結(jié)構(gòu)，形成較強(qiáng)的模型意識(shí)，關(guān)注幾何證明的通性通法，這是培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生的重要途徑.

■ 經(jīng)典題目

試題？搖 如圖1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，連接AD，CE，過點(diǎn)B作BG⊥CE，垂足為G，GB的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F，求證：AF=FD.

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■ 結(jié)構(gòu)分析

對(duì)于幾何證明題，解題開始時(shí)需要具備結(jié)構(gòu)意識(shí)與角度意識(shí). 具備結(jié)構(gòu)意識(shí)，能快速理清圖形結(jié)構(gòu)，對(duì)于常規(guī)結(jié)構(gòu)，便可快速得到輔助線;具備角度意識(shí)，能使學(xué)生在初始狀態(tài)下盡可能地找到隱藏條件，于是可能得到線段相等的結(jié)論.

由已知，圖形由兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形構(gòu)成，已構(gòu)成常見的旋轉(zhuǎn)全等結(jié)構(gòu)，如圖2，由此本題可考慮連接AE，CD，構(gòu)造出△ABE≌△CBD.

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從角度出發(fā)，如圖3，∠ABD+∠CBE=180°，這是周角背景下典型的互補(bǔ)結(jié)構(gòu);如圖4，可由三角形外角和定理推得∠ABF=∠BCG. 推導(dǎo)角度時(shí)重點(diǎn)考慮這兩種結(jié)構(gòu).

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由結(jié)論，本題要證明兩條線段相等，通?？梢赞D(zhuǎn)化為證明線段所在的兩個(gè)三角形全等，因此構(gòu)造全等三角形，所以聯(lián)系條件證明全等是解題關(guān)鍵. 除此之外，對(duì)于中點(diǎn)問題，經(jīng)常還會(huì)考慮中位線、斜中半、三線合一等.

■ 題目解析

1. 推理輔助線，找準(zhǔn)基準(zhǔn)三角形

證法1：如圖5，過點(diǎn)A作AN∥BD交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N. 因?yàn)锳N∥BD，所以∠NAB+∠ABD=180°，∠N=∠NBD. 因?yàn)椤螦BC=∠EBD=90°，所以∠ABD+∠CBE=180°. 所以∠NAB=∠CBE. 因?yàn)锽G⊥CE，所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CG+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCG=∠ABN. 因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以AB=BC. 所以△ABN≌△BCE（ASA）. 所以AN=BE. 因?yàn)椤鰾DE是等腰直角三角形，所以BD=BE. 所以AN=BE=BD. 所以△AFN≌△DFB（AAS）. 所以AF=DF.

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分析？搖 要證明線段相等，優(yōu)先考慮轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，再思考能否利用已知條件或轉(zhuǎn)化已知條件，其目的是為證明全等提供條件. 在本題中，F(xiàn)D所處的基準(zhǔn)三角形為△FBD，但AF所處的基準(zhǔn)三角形△ABF與△FBD不全等，于是不妨依托△FBD構(gòu)造全等.

此法的核心在于轉(zhuǎn)化結(jié)論后全等的構(gòu)造，構(gòu)造△AFN所需要的輔助線需要選擇與對(duì)比，而培養(yǎng)學(xué)生推理能力的關(guān)鍵也在于此. 一般而言，輔助線應(yīng)盡可能提供證明全等所需要的條件，其次，構(gòu)造平行后產(chǎn)生了互補(bǔ)結(jié)構(gòu)，這與已知的互補(bǔ)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生聯(lián)系，從而得到了核心角之間的等量關(guān)系. 若選擇倍長(zhǎng)BF，輔助線就與已知條件無(wú)法關(guān)聯(lián)，已知的互補(bǔ)結(jié)構(gòu)就無(wú)法給后續(xù)全等的證明提供角的等量關(guān)系. 教師在講解時(shí)，一定要融入對(duì)比，通過推理產(chǎn)生最優(yōu)的解題路徑.

2. 推理線段角色，巧用旋轉(zhuǎn)背景

證法2：如圖6，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，使得AB=BM，連接DM. 因?yàn)椤螦BC=∠EBD=90°，所以∠ABD+∠CBE=180°. 因?yàn)椤螦BD+∠DBM=180°，所以∠DBM=∠CBE. 因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以AB=BC=BM. 因?yàn)椤鰾DE是等腰直角三角形，所以BD=BE. 所以△BCE≌△BMD（SAS）. 所以∠BCE=∠M. 因?yàn)锽G⊥CE，所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CE+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCE=∠ABF=∠M. 所以BF∥DM. 又AB=BM，所以BF為△AMD的中位線. 所以F為AD的中點(diǎn)，即AF=FD.

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分析？搖 此證法的核心在于理解線段BF的角色，由結(jié)論要證明F是中點(diǎn)，因此BF可理解為中位線. 中位線的構(gòu)造一定由倍長(zhǎng)AB產(chǎn)生，此刻問題轉(zhuǎn)化為證明BF∥DM. 證明平行的本質(zhì)是證明角相等，即∠ABF=∠M. 由∠BCE=∠ABF，問題轉(zhuǎn)化為證明∠BCE=∠M. 通過角去尋找三角形，可推理出需要證明△BCE≌△BMD. 這是一組旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)B，由輔助線的構(gòu)造得兩組對(duì)邊相等，此時(shí)可推理出只要證得兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可. 此處，由兩個(gè)互補(bǔ)結(jié)構(gòu)完成角相等的證明、全等三角形的證明后，結(jié)論得證. 教師在講解時(shí)，一定要深度挖掘結(jié)論所包含的隱藏信息，構(gòu)造以BF為中位線的三角形. 其中，結(jié)構(gòu)意識(shí)能幫助學(xué)生快速推導(dǎo)角相等，從而完成證明.

3. 找準(zhǔn)核心角以轉(zhuǎn)化問題

證法3：如圖7，在CE上取一點(diǎn)H，使得CH=BF，連接BH. 因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，所以AB=BC. 因?yàn)锽G⊥CE，所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CE+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCE=∠ABF. 所以△ABF≌△BCH（SAS）. 所以AF=BH，∠AFB=∠BHC. 又∠AFB+∠BFD=180°，∠BHC+∠BHE=180°，所以∠BFD=∠BHE. 容易證得∠DBF=∠BEC，又△BDE是等腰直角三角形，所以BD=BE. 所以△BFD≌△EHB（AAS）. 所以BH=FD. 所以AF=FD.

分析? 此證法的核心在于轉(zhuǎn)移核心線段AF的位置. 由結(jié)構(gòu)分析可得到∠BCE=∠ABF，AB=BC，由此推理出通過構(gòu)造全等轉(zhuǎn)移AF的位置是可行的. 接下來(lái)的輔助線可直接構(gòu)造出證明全等所需要的第三個(gè)條件，此時(shí)問題變?yōu)樽C明BH=FD. 同理，可得到BD=BE，∠DBF=∠BEC，這兩個(gè)等量關(guān)系使得BH，F(xiàn)D所處的三角形可能全等，最后由互補(bǔ)結(jié)構(gòu)完成證明. 教師在講解時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)分析轉(zhuǎn)移核心線段AF位置的可能性以及此法最終能夠證明的可行性.

4. 找準(zhǔn)核心比例來(lái)轉(zhuǎn)化問題

證法4：如圖8，過點(diǎn)F作FQ∥BD交AB于點(diǎn)Q. 因?yàn)镕Q∥BD，所以∠AFQ=∠ADB，∠AQF=∠ABD，∠QFB=∠FBD. 所以△AQF∽△ABD. 因?yàn)锽G⊥CE，所以∠BGC=90°. 因?yàn)椤螧CE+∠BGC=∠CBF，∠ABC=∠BGC=90°，所以∠BCE=∠ABF. 同理，∠FBD=∠BEC，因此∠QFB=∠BEC. 所以△BCE∽△QBF. 因?yàn)椤鰾DE和△ABC都是等腰直角三角形，所以BD=BE，AB=BC. 設(shè)BD=x，AB=y，QF=a，QB=b，由△AQF∽△ABD，得■=■①，由△BCE∽△QBF，可得■=■②，將②代入①可得y=2b，因此■=■. 又FQ∥BD，所以■=■. 所以AF=FD.

分析?此證法的核心在于通過平行線轉(zhuǎn)化AF=FD，將線段相等理解為1 ∶ 1. 相似所得的比例式含有4個(gè)字母，而最終的結(jié)論需要證明AF和AD的2倍關(guān)系或AQ與AB的2倍關(guān)系，即x與a的數(shù)量關(guān)系或y與b的數(shù)量關(guān)系，因此推理出需要利用基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行代數(shù)消元. 依托互補(bǔ)結(jié)構(gòu)定位相等角的位置，由此定位△BCE，△BQF，由相似得到等量關(guān)系，代入消去x，a后結(jié)論得證. 由此法，教師還可將平行線轉(zhuǎn)化比例進(jìn)行一般化推廣.

基于幾何一題多解與核心素養(yǎng)

培養(yǎng)的思考

1. 回歸基礎(chǔ)，強(qiáng)化基本概念，確定解題方向

幾何圖形的基本定義、基本性質(zhì)、基本定理和判定，是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ). 對(duì)于本題，學(xué)生要對(duì)等腰直角三角形的基本概念十分清楚，等腰直角三角形可提供角相等與邊相等. 從對(duì)稱性來(lái)看，等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是斜邊的中垂線;從旋轉(zhuǎn)性來(lái)看，在等腰直角三角形BDE中，直角邊BD繞直角頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后可與BE重合. 一般而言，邊的旋轉(zhuǎn)實(shí)則是三角形的旋轉(zhuǎn). 本題的證法2就可以從旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)理解，通過旋轉(zhuǎn)做等線段轉(zhuǎn)化. 教師在講解時(shí)，融入這些內(nèi)容，可使學(xué)生對(duì)基本幾何圖形形成一個(gè)完整的思維體系. 學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)越深刻，解題時(shí)的方向感就越強(qiáng).

2. 找準(zhǔn)核心，提煉基本結(jié)構(gòu)，形成模型意識(shí)

本題的核心在于理解中點(diǎn)，利用中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化中點(diǎn)，通過轉(zhuǎn)化中點(diǎn)來(lái)轉(zhuǎn)化問題，這是本題的第一個(gè)推理點(diǎn)，與中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的基本結(jié)構(gòu)有中位線、倍長(zhǎng)中線、三線合一、斜中半. 解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘（G·波利亞語(yǔ)），因此選擇構(gòu)造何種基本結(jié)構(gòu)來(lái)解題，依據(jù)是能否與已知條件相關(guān)聯(lián). 本題的第二個(gè)推理點(diǎn)是全等或相似的證明，本題中出現(xiàn)的互補(bǔ)結(jié)構(gòu)能夠提供角相等，等腰直角三角形可提供邊相等，因此可通過等角與等邊的位置定位兩個(gè)三角形，完成全等與相似的證明后即可證明結(jié)論.

對(duì)細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的推理可精準(zhǔn)定位解決問題的方向，從而切實(shí)提高學(xué)生的解題能力. 因此，教師在講解時(shí)，一定要融入細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)分析，這是解題方法的指導(dǎo). 沒有對(duì)細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的理解，解題時(shí)學(xué)生是盲目的，缺乏方向感. 學(xué)生在完成多種解法的梳理時(shí)，對(duì)中點(diǎn)條件的理解能更加深刻，對(duì)基本結(jié)構(gòu)的應(yīng)用會(huì)更加熟練. 我們的目的是讓中點(diǎn)問題模型化，讓學(xué)生以通解通法應(yīng)對(duì)題目萬(wàn)變.

3. 在過程中提升能力，讓能力內(nèi)化為核心素養(yǎng)

在學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)中，幾何證明的演繹推理扮演著重要的角色，因此《課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求從小學(xué)的實(shí)驗(yàn)幾何要逐步過渡到初中的推理幾何. 在幾何教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何基本模型結(jié)構(gòu)，提煉幾何證明的通法通性，讓學(xué)生具備模型意識(shí)，從而增強(qiáng)學(xué)生的演繹推理能力. 通過對(duì)解題方向的歸納與思考，即本題中對(duì)中點(diǎn)的理解，能增強(qiáng)學(xué)生的合情推理能力.

幾何中一題多解的過程就是合情推理與演繹推理的最好體現(xiàn)，“多”字的內(nèi)核是合情推理，它提供證明的起點(diǎn)，“解”字的內(nèi)核是演繹推理，它提供證明的動(dòng)力，兩者相輔相成，辯證統(tǒng)一. 歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是相互聯(lián)系著的. 我們不應(yīng)當(dāng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個(gè)都用到該用的地方. 要做到這一點(diǎn)，就只有注意它們的相互聯(lián)系、它們的相互補(bǔ)充（恩格斯語(yǔ)）. 這里的歸納就是合情推理的一種形式. 因此，在幾何教學(xué)中，以一題多解為載體，重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，可切實(shí)提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).