劉俊潔

[摘? 要] 分類討論思想是數學思想的一個分支，它在探究數學概念和解決數學問題中起著重要的作用. 文章以“圓”的教學為例，具體闡述了初中數學教學過程中分類討論思想能力的培養(yǎng)措施.

[關鍵詞] 圓;初中數學;分類討論思想

所謂數學分類思想，是將數學現象之間的異同點進行分類之后再討論的一種思想，具有綜合性、邏輯性以及探索性等特征，又可稱為數學邏輯思想. 這種數學思想的形成不是一蹴而就的，它需要從學生的學習習慣及認知水平上逐漸滲透，經歷一個漫長的過程，形成思想的螺旋式上升，逐漸豐富學生的內涵而達成.

數學分類討論思想的作用

數學分類能培養(yǎng)學生條理性和周密性的思維能力，分類時要確保不能有遺漏或重復;而討論則是學生觀察數學現象與分類情況，探索其中的數學規(guī)律和問題. 學生掌握這種思想方法將會夯實數學基礎，提高學生分析問題和解決問題的能力. 這種思想的應用能讓一些過于抽象和復雜的數學問題變得簡單化，能幫助學生更好地解決數學問題.

運用數學分類思想解決數學實際問題時，先要明確哪些數學問題需要用這種思想，哪些問題不需要. 不少學生面對問題的時候，難以判斷問題是不是需要用到分類討論思想方法，更沒辦法從問題呈現的條件與結論分辨出與分類有關的位置或數量關系. 因此，遇到問題時，能否快速辨認是否需要使用數學分類討論思想方法是解決實際問題的關鍵. 筆者從多年的初中數學執(zhí)教經驗出發(fā)，以解決“圓”的問題為例，具體談談基于分類討論思想能力培養(yǎng)的課堂教學.

以解決“圓”的問題為例

圓，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形;具有旋轉不變性、任意對稱等特殊性. 這些特征給學生解決問題帶來了一定的難度. 而分類討論的方法正適合解決這種具有多種屬性和復雜性的數學問題. 因此，筆者在解決與圓有關的問題時滲透分類討論思想，將問題進行相應的分類與歸納，以幫助學生更清晰地理清問題，從而更好地解決問題.

1. 直線與圓的位置關系不唯一

案例1已知直線l上一點P到圓心O的距離為5 cm，⊙O的半徑也是5 cm，試確定直線l與⊙O的位置關系.

分析?部分學生誤認為圓心O到直線l的距離為OP，將直線l上一點P當作垂足，得到直線l與⊙O的位置關系是相切，從而出現漏解.

解答?（1）當OP⊥l時，圓心O到直線l的距離為OP. 因為OP=5，⊙O 的半徑也為5，所以圓心O到直線l的距離等于⊙O的半徑. 所以此時直線l與⊙O相切.

（2）當OP與直線l不垂直時，圓心O到直線l的距離小于OP的長，此時直線l與⊙O相交.

綜上可知，直線l與⊙O的位置關系為相切或相交.

變式直線l上一點P到圓心O的距離是a，⊙O的半徑為r，且a=r，試確定直線l與⊙O的位置關系.

2. 弦與弦的位置關系不唯一

案例2?在半徑為1的⊙O中， 弦AB=■，AC=■，求∠BAC的度數.

分析?這道題主要考查勾股定理和垂徑定理，很多學生只能求出其中一個解. 事實上，應考慮到圓心與兩弦的位置關系，分弦AB與AC在圓心O的同側或異側兩種情況進行求解.

解答?過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，則AD=BD=■，AE=CE=■. 所以cos∠DAO=■=■，cos∠OAE=■=■. 所以∠DAO=45°，∠OAE=30°. 如圖1，當AB與AC在圓心O的兩側時，∠BAC=∠DAO+∠OAE=75°;當AB與AC在圓心O的同側時，∠BAC=∠DAO-∠OAE=15°. 所以∠BAC為75°或15°.

變式?如圖2，AB是⊙O的直徑，AB=2，弦AC=■，畫弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度數.

3. 弦與和它所對的圓周角的不唯一

案例3?已知⊙O的弦AB的長和⊙O的半徑相等，請求出弦AB所對的圓周角的度數.

分析?不少學生所給的答案只有30°，究其原因，主要是學生對弦所對的圓周角以及點與圓的位置關系沒有完全理解. 一個圓上非直徑的弦所對的弧有優(yōu)弧和劣弧，非直徑的弦所對的圓周角有鈍角和銳角，因此，解題過程中要從優(yōu)弧、劣弧所對的不同的圓周角這一角度來思考.

解答如圖3，連接OA，OB，因為OA=OB=AB，所以△AOB是等邊三角形. 所以∠AOB=60°. 當點P在優(yōu)弧AB上時，∠P=■∠AOB=30°;當點P在劣弧AB上時，∠P=180°-30°=150°. 所以弦AB所對的圓周角為30°或150°.

變式1?已知O為△ABC的外心，若∠BOC=100°，求∠BAC的度數.

變式2 在半徑為4的⊙O中，弦AB=4■，求弦AB所對的圓周角的度數.

變式3 在⊙O中，弦AB分圓成1∶4兩部分，求弦AB所對的圓周角的度數.

從上面幾個解決圓的問題的例題中可以看出，分類討論思想方法能把一些繁雜的問題變得簡單. 學生通過這種思想方法，能快速理清解題思路，明晰解題步驟，讓問題變得簡單易懂. 其實，這種思想方法不僅能用于解決與圓有關的問題，在初中數學幾何、方程、函數、概率或絕對值等方面也有運用. 實踐證明，這種思想方法能力的培養(yǎng)能幫助學生更加周密、全面地解決數學問題. 因此，教師在教學過程中，必須從思想上與行動上高度重視分類討論思想的應用，要將這種思想貫穿課堂的各個環(huán)節(jié)，讓學生掌握，并達到舉一反三、觸類旁通的學習成效，從而提高學生的學習效率和數學綜合素養(yǎng).