判定平行四邊形的思路

王保全

如何根據(jù)平行四邊形的判定條件判定一個四邊形是平行四邊形，是“平行四邊形”一章的重點.判定一個四邊形是平行四邊形大致上有五種方法，這五種判定方法可以劃分為三類.

1.與四邊形的對邊有關(guān)

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形：

（3） -組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.與四邊形的對角有關(guān)

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

3.與四邊形的對角線有關(guān)

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

不難看出，要判定一個四邊形是平行四邊形，可以依據(jù)不同的題設(shè)條件，選擇不同的判定方法.通常，我們都從以下三個方面人手.

—、從對邊上

如果在對邊上有已知條件，或者已知條件和對邊有密切聯(lián)系，常考慮使用（1）或（2）或（3）.

例1 如圖1所示，在oABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點.BF平分∠ABC交CD于F，DE平分∠CDA交AB干E.M，N分別是DE，BF的中點.求證：四邊形ENFM是平行四邊形，

解析：由已知條件知△ADE和△CBF都是等腰三角形，從而DF=BE.又因為四邊形ABCD是平行四邊形，則有DF//BE，因此可知四邊形DEBF是平行四邊形.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知DE=BF，DE //BF.又因為M，N分趴是DE，BF的中點，則有ME=NF.于是根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可知四邊形ENFM是平行四邊形.

點評：上面用的是“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理.也可用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”去證.此時要在證明四邊形DEBF是平行四邊形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)證明△DMF≌△BNE.

二 從對角上

如果在對角上有已知條件，或者已知條件和對角有密切聯(lián)系，?？紤]使用（4）.

例2如圖2所示，在◇ABCD中，若AE.CF分別是∠BAD和∠DCB的平分線，四邊形AFCE是平行四邊形嗎？如果是，請說明理由.

解析：解題的關(guān)鍵，是設(shè)法根據(jù)已知條件和三角形外角定理證明該四邊形的兩組對角分別相等.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ ∠B=∠D， ∠BAD= ∠DCB.

又AE，CF分別平分∠BAD和∠DCB，

∴ ∠4=∠3=∠2=∠1.

又∠AEC=∠B+ ∠3，∠A FC=∠D+∠1，

∴ ∠AEC=∠AFC.

∴ 四邊形AFCE是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）.

點評：如果題目中的已知條件與角有關(guān)，那么我們要充分利用這些條件，盡量考慮用“對角相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理，

三、 從對角線上

如果在對角線上有已知條件，或者已知條件和對角線有密切聯(lián)系，應(yīng)優(yōu)先考慮使用（5）.

例3 如圖3所示，在oABCD中，對角線AC與BD交于點O.點E.F分別是AO.CO的中點，求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

解析：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AO=CO.BO=DO.

又∵E，F(xiàn)分別是AO，CO的中點，

∴ EO=FO.

∴ 四邊形BEDF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

點評：此題中的已知條件與對角線有關(guān)，故可從平行四邊形的對角線的性質(zhì)入手，聯(lián)系對角線的特點判定平行四邊形.

練習 1.在四邊形ABCD中，對角線AC.肋相交于點O.現(xiàn)給出下列四組條件：

①AB//CD，AD//BC;

②AB=CD，AD=BC;

③AO=CO，BO=DO;

④AB//CD，AD=BC.

其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有（?）.

A.4組 B.3組 C.2組 D.1組

2.如圖4，在下列條件中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（?）.

A.A B=DC，BC//AD

B.∠BAD= ∠BCD.∠1=∠2

C.AB=DC.AO=CO

D.BC=AD，BC∥AD

（答案在本期找）