歐陽亮 胡典順

摘 ? ?要：LFSTM體現(xiàn)中學數(shù)學問題解決技能、方法之間的聯(lián)系. LFSTM為中學數(shù)學解題等價輔助鏈的產(chǎn)生提供了方向，同時也為數(shù)學方法、數(shù)學思維和數(shù)學課程的“凝聚”帶來契機.當然，這些“凝聚”是以思維的“凝聚”為中心，方法和課程的“凝聚”是為了更好地落實思維的“凝聚”.

關(guān)鍵詞：LFSTM;方法;思維;課程;凝聚

現(xiàn)階段課程體系包含國家課程、地方課程和校本課程，地方課程和校本課程是對國家課程的補充和完善.雖然地方課程和校本課程在設置和選擇上有較強的自主性，但教育教學活動依然是以學科知識、方法、技能為主，學科思維為輔.這種教育教學活動重在知識學習的系統(tǒng)性、完整性和嚴謹性，有助于學生系統(tǒng)地掌握知識，實現(xiàn)“雙基”目標，雖然在教育中也滲透著對數(shù)學思維的培養(yǎng)，但關(guān)注程度依然不夠.張景斌、王尚志[1]指出數(shù)學教育本質(zhì)上是理性思維的教育.本文基于LFSTM的數(shù)學課堂“凝聚”，除了關(guān)注學生“雙基”“六能”的培養(yǎng)外，還注重學生數(shù)學思維的建構(gòu).

一、LFSTM的分析

（一）中學數(shù)學解題的LFSTM模式

把數(shù)學解題過程中，指引等價輔助題目鏈朝著元素化少、化熟和化同的方向進行變換的思維模式稱作“少熟同思維模式” （Less-Familiar-Same Thinking Model），即LFSTM[2]. LFSTM為中學數(shù)學解題等價輔助題目鏈的產(chǎn)生提供方向.

（二）LFSTM為課堂的轉(zhuǎn)變帶來契機

1.LFSTM體現(xiàn)知識模塊間思維習慣的異同，實現(xiàn)不同模塊知識之間思維習慣的整合，達到“牽一發(fā)而動全身”的效果

傳統(tǒng)的數(shù)學思想方法嚴謹而系統(tǒng)，但在問題解決的靶向上缺乏指導，從而導致很多學生在習得知識與技能后，不會應用于實踐，不會靈活地分析和解決問題.這和傳統(tǒng)教育教學活動主要是按知識、方法和技能開展的有關(guān)，這樣的方式讓學生往往缺少對各種知識、方法、技能之間聯(lián)系的感知，造成整體思維的割裂.學習是存在遷移的，遷移產(chǎn)生一部分是由于思維能力的提高，而另一部分是由于各種知識、方法和技能之間存在思維的相似性，這種相似性的發(fā)現(xiàn)有利于學生對新知識、新方法和新技能的習得以及思維、知識體系網(wǎng)絡化的形成.

2.LFSTM回答了數(shù)學問題解決活動中的“為什么”，實現(xiàn)對兩個“為什么”的明確合理的闡述

現(xiàn)在絕大部分教師在教學中往往對“為什么”沒有做出合理的解釋，對學生數(shù)學元認知和批判性思維的培養(yǎng)有所欠缺，特別是在解決比較復雜的問題上.比如，該問題“為什么”要這樣分析和處理？“為什么”要形成這樣的思維習慣？“為什么”其他思維方式不合適？等等.這些“為什么”的合理解決恰恰是教師素養(yǎng)和素質(zhì)的體現(xiàn).

“為什么”問題要這么解決？“為什么”問題不這么解決就不可以？這兩個“為什么”從元認知和批判性思維的角度給出，是數(shù)學思維培養(yǎng)的關(guān)鍵點.比如，“為什么”問題要這么解決，是因為前提、背景的原因，還是結(jié)論、目標的原因，還是具體思維習慣的原因，還是知識本身發(fā)展規(guī)律的原因等.這些原因的弄清是一個很有意思的過程，會給學生帶來成就感，激發(fā)對數(shù)學學習的興趣.

3.知識來源于生活，LFSTM是對生活的提煉、抽象和總結(jié)

教師的教育教學要融入生活的元素.這些元素不單單是生活的實例或以生活為背景，更重要的是生活與知識在思維習慣上的融合（比如，生活中我們?nèi)绾嗡伎冀鉀Q一個棘手的問題？而在學科問題上是否也有相同的思維習慣？）.但這恰恰就是現(xiàn)在教育教學中缺少的一個環(huán)節(jié)，因為這個環(huán)節(jié)的缺少導致很多學生覺得學習是枯燥的、無聊的.

數(shù)學源于生活，數(shù)學的思想方法也源于生活.生活中我們解決問題總是喜歡簡潔簡單的處理方式，喜歡應用自己熟悉的處理方法.數(shù)學的思維模式也是如此.對于高中學生來說什么是容易解決的數(shù)學問題？答案是一定的：未知數(shù)少、參變量少、次冪少、問題模型熟悉、問題模式相同等.簡潔一點說就是要“少”“熟”“同”.所以解決實際生活問題和解決數(shù)學問題的思維模式是趨同的.

二、基于LFSTM的課堂實踐

我們以高中數(shù)學函數(shù)值域的求解為例來進行展示、分析和說明.

（一）以“少”解題——案例1：函數(shù)值域求法一

（二）以“熟”化歸——案例2：函數(shù)值域求法二

三、基于LFSTM的數(shù)學課堂“凝聚”

（一）數(shù)學方法的“凝聚”

1. 案例一課堂分析

在本節(jié)課中，教師盡量淡化數(shù)學的解題方法，將方法“凝聚”為“化少”，更多地強調(diào)數(shù)學解題等價輔助題目鏈的產(chǎn)生是朝著“化少”展開的.在 “化少”的思維引導過程中，自然而然地把傳統(tǒng)的思想方法滲透進來，達到“潤物細無聲”的效果.比如，在求值域的化少過程中，就悄無聲息地融入“配方法和分離常量法”，避免了生搬硬套和學生在不理解的情況下死記硬背.

2. 案例二課堂分析

在本節(jié)課中，教師采用變式教學，環(huán)環(huán)相扣，引人入勝.在變式的設計、利用變式開啟學生的思維上，緊緊圍繞“化熟”來展開.每一變式的思考方向都是指向前面“熟悉”的例題，將方法“凝聚”為“化熟”.而課堂最后的畫龍點睛“在生活中，何嘗不是如此.我們在處理新事物時，總是參照我們‘熟悉的、‘類似的事物入手，盡量用我們‘熟知的方式方法來解決”更是將生活與數(shù)學相融.由此，讓學生從生活中深刻領(lǐng)悟“化歸”思想，以達到熟練應用的目的.

（二）數(shù)學思維的“凝聚”

1.以“少”為中心的“凝聚”

課堂上，在教師的啟發(fā)、引導下，學生的學習激情被點燃，思維逐漸深入，拾級而上，最后對問題解決的“畫龍點睛”讓思維“返璞歸真”.如案例1，問題設置[x]的個數(shù)逐漸增多，師生互動緊緊圍繞如何將[x]的個數(shù)變“少”而展開，中心目的明確，但思維強度逐漸增加.圍繞變“少”這個核心，讓思維發(fā)散，但“散（sàn）而不散（sǎn）”，特別是“大家回想下我們生活中處理問題的時候，是不是也是尋找‘最簡潔的處理方式，而‘最簡潔何嘗不是‘少呢？”讓生活和數(shù)學趨同，讓數(shù)學問題解決的思維“返璞歸真”.

2.以“熟”為中心的“凝聚”

課堂中教師提問能有效激發(fā)和維持學生的思維，并實現(xiàn)思維的“凝聚”.教師根據(jù)關(guān)鍵教學事件設計核心問題串來激發(fā)學生的思維[3]，一系列提問的背后蘊藏著學生對問題的深入思考.課堂上師生之間是朋友，大家熱烈地討論，相互“質(zhì)問”，思維在碰撞與交鋒中升華.如案例2，問題串“[y=3x2-2x+1x2]→[y=xx2+x+1]→[y=x+1x2+x+1]→[y=x2+1x2+x+1]→[y=x2x2+x+1]→[y=2x2+1x2+2x+1]”的設計將前一個問題作為后一個問題的“熟悉”的范例，讓學生在問題解決的過程中體會如何將“陌生”問題轉(zhuǎn)化為“熟悉”范例.而“[y=x2x2+x+1]”所產(chǎn)生的解題方法分歧與思維碰撞，讓學生的思維得到升華.一句“大家可以發(fā)現(xiàn)分子和分母中，只要有一個化成單項式后，函數(shù)的值域就好求了！”點出問題串最“熟悉”的范例，展示問題串“萬變不離其宗”的本質(zhì)，讓思維得到“凝聚”，這種“凝聚”實現(xiàn)思維從“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化.鄭毓信[4]指出數(shù)學的不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成一個對象.案例中基于問題串的教學行為引導學生由解決問題的“過程”開始，經(jīng)過問題變化，使得“過程”得到強化，最終形成學生個體心理圖式中的“對象”.思維的“凝聚”過程，涉及學生個體的認知調(diào)節(jié)，包括計劃、檢查、監(jiān)測、修改、評價等，讓學生在此過程中體會到元認知策略性思考與調(diào)控的重要.

（三）課程內(nèi)容的“凝聚”

課堂是基于LFSTM設計的，所以課程內(nèi)容在落實課程標準的同時對課程內(nèi)容進行了重新調(diào)整.這種調(diào)整包括課程內(nèi)容順序上的調(diào)整和分類的調(diào)整.比如在函數(shù)值域教學內(nèi)容的安排上，是以LFSTM為順序?qū)?nèi)容進行編排的，依次講解化“少”和化“熟”，這與以往的以問題解決方法為順序編排的教學內(nèi)容不相同.以問題解決方法為順序編排的教學內(nèi)容沒有體現(xiàn)方法之間的聯(lián)系，沒有揭示思維的本質(zhì).比如求值域的配方法、分離常量法、輔助角公式、換元法等在以往的課程安排中都是獨立的，問題解決方法之間沒有聯(lián)系，但是在LFSTM下，這些方法都可以劃歸到化“少”的范疇.由于在LFSTM基礎(chǔ)上設計的課程不再完全按照問題解決的方法來對內(nèi)容進行劃分，所以內(nèi)容的分類也進行了相應的調(diào)整.這種調(diào)整就是由以方法為依據(jù)進行的課程內(nèi)容分類變?yōu)榱艘訪FSTM為依據(jù)的分類.以LFSTM為依據(jù)的分類在體現(xiàn)原有問題解決方法的同時，重點強調(diào)方法的異同和聯(lián)系，并從思維模式上對這些方法進行原理分析，從思維上對課程內(nèi)容進行重新“凝聚”.

通過案例的展示和分析，我們發(fā)現(xiàn)LFSTM體現(xiàn)中學數(shù)學問題解決技能、方法之間的聯(lián)系，有利于學生對數(shù)學的整體理解和掌握，有利于思維的“凝聚”，有利于建構(gòu)學生個體的數(shù)學心理圖式，也有利于在問題解決過程中對個體心理圖式中概念、知識和方法的提取.LFSTM為中學數(shù)學解題等價輔助鏈的產(chǎn)生提供了方向，同時也為數(shù)學方法、數(shù)學思維和數(shù)學課程的“凝聚”帶來契機.當然，這些“凝聚”是以思維的“凝聚”為中心，方法和課程的“凝聚”是為了更好地落實思維的“凝聚”.

參考文獻：

[1]張景斌，王尚志.中學數(shù)學建?；顒訛橹袑W生創(chuàng)造發(fā)展空間[J].數(shù)學教育學報， 2001（2）：11-15.

[2]歐陽亮，胡典順，張玉環(huán).中學數(shù)學解題的LFSTM模式[J].教學月刊·中學版（教學參考），2019（4）：43-45.

[3]曹一鳴，王振平.基于學生數(shù)學關(guān)鍵能力發(fā)展的教學改進研究[J].教育科學研究， 2018（3）：61-65.

[4]鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學教學[J].課程·教材·教法， 2004（4）：28-32.