蔣吉清，張佳斌，董北北，魏綱，廖娟

(1.浙大城市學(xué)院工程學(xué)院，浙江杭州，310015；2.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州，310058)

地鐵在緩解城市交通壓力、方便市民出行等方面發(fā)揮了巨大的作用，但同時(shí)也產(chǎn)生了環(huán)境振動(dòng)及噪聲等相關(guān)問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)常見(jiàn)的地鐵軌道主要包括軌枕埋入式整體軌道、彈性支承軌道、浮置板軌道等，其中鋼彈簧浮置板軌道因其優(yōu)良的減振降噪作用而被廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外城市軌道交通的特殊減振區(qū)段，如德國(guó)柏林地鐵、北京地鐵13 號(hào)線、杭州地鐵1 號(hào)線等。目前，針對(duì)地鐵浮置板軌道的研究主要集中在結(jié)構(gòu)完好狀態(tài)下的車(chē)軌振動(dòng)性能及其隔振效果[1-5]、板端剪力鉸約束作用[6-7]等方面。然而，由于浮置板混凝土質(zhì)量不良、頂升安裝施工技術(shù)不當(dāng)、長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)荷載作用等因素的影響，地鐵浮置板道床可能出現(xiàn)裂紋損傷[8]，進(jìn)而導(dǎo)致內(nèi)部鋼筋銹蝕，影響浮置板的整體受力性能。對(duì)于軌道板開(kāi)裂及損傷問(wèn)題，已有不少學(xué)者進(jìn)行了研究。林紅松等[9]引入損傷函數(shù)模擬道床裂紋，探討了道床裂紋對(duì)雙塊式無(wú)砟軌道動(dòng)力特性的影響，發(fā)現(xiàn)道床裂紋對(duì)道床及下部結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力影響顯著；朱勝陽(yáng)等[10]基于損傷塑性模型和線彈性模型，研究了道床板損傷時(shí)軌道-路基結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性；方樹(shù)薇[11]對(duì)北京地鐵各類(lèi)無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)損傷情況進(jìn)行調(diào)查，建立了含道床裂紋的車(chē)軌耦合模型，并針對(duì)不同的分析工況選取了相應(yīng)的求解模式；陳小平等[12]建立了考慮軌道板損傷的軌道-橋梁縱向相互作用力模型，通過(guò)有限元法分析了軌道板開(kāi)裂對(duì)系統(tǒng)縱向力的影響。本文作者通過(guò)引入浮置板道床抗彎剛度折減系數(shù)，建立并求解地鐵列車(chē)-劣化浮置板軌道-襯砌-土體耦合動(dòng)力分析模型，研究地鐵浮置板道床剛度劣化、板端剪力鉸約束、車(chē)速等因素對(duì)于地鐵列車(chē)-浮置板軌道系統(tǒng)振動(dòng)性能的影響，以期為地鐵安全運(yùn)營(yíng)和后期維護(hù)提供參考。

1 車(chē)軌模型

1.1 列車(chē)模型

本文采用懸掛質(zhì)量模擬地鐵列車(chē)，如圖1(a)所示。車(chē)體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)均視為剛體，輪對(duì)與轉(zhuǎn)向架、車(chē)體與轉(zhuǎn)向架之間分別通過(guò)一系、二系彈簧-阻尼懸掛裝置連接。車(chē)體和2 個(gè)轉(zhuǎn)向架同時(shí)考慮豎向平動(dòng)與點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，4 個(gè)輪對(duì)僅考慮豎向平動(dòng)，共計(jì)10個(gè)自由度。

1.2 軌道模型

地鐵離散型鋼彈簧浮置板軌道系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如圖1(c)所示。其中，地鐵鋼軌采用兩端簡(jiǎn)支的有限長(zhǎng)Euler 梁模型進(jìn)行模擬[13-14]，浮置板采用兩端自由的Timoshenko 梁模型，襯砌采用Timoshenko 簡(jiǎn)支梁模型，隧道下方土體采用均布彈簧阻尼單元進(jìn)行模擬。鋼軌與浮置板之間的扣件、浮置板下方的鋼彈簧等支承元件均采用離散彈簧阻尼單元模型，其中扣件間隔Lrs為0.625 m，鋼彈簧間隔Lst為1.25 m。相鄰浮置板之間通過(guò)剪力鉸連接[15]，以增強(qiáng)軌道的整體剛度。剪力鉸采用彎剪彈簧阻尼單元模型[16]，如圖1(b)所示。

圖1 浮置板軌道車(chē)軌系統(tǒng)及剪力鉸模型Fig.1 Model of vehicle-track system and dowel joint of floating slab track

2 動(dòng)力平衡方程

2.1 列車(chē)方程

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論建立列車(chē)的動(dòng)力平衡方程：

式中：Mv，Cv和Kv分別為列車(chē)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；zv為列車(chē)位移向量；Fv為列車(chē)各部分所受外力，主要包括自重和輪軌接觸力；上標(biāo)“˙”和“˙˙”分別表示位移關(guān)于時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

本文的輪軌關(guān)系采用線彈性接觸理論，輪軌接觸力Fw表示為

式中：zr為鋼軌豎向位移；Kwr為輪軌接觸剛度；zw,i為第i個(gè)輪對(duì)的豎向位移；xw,i(t)為t時(shí)刻第i個(gè)輪對(duì)所在的位置。ε(x)函數(shù)用于判斷輪對(duì)是否位于鋼軌之上，當(dāng)脫離鋼軌時(shí)，ε(x)取為0，反之為1。

2.2 軌道方程

鋼軌采用兩端簡(jiǎn)支的Euler 梁進(jìn)行模擬，其動(dòng)力控制方程如下：

式中：Er為鋼軌彈性模量；Ir為鋼軌截面慣性矩；ρr為鋼軌密度；Ar為鋼軌截面面積；Fr(x,t)為鋼軌所受外力；ns為計(jì)算長(zhǎng)度內(nèi)的浮置板數(shù)量；nrs為單塊浮置板上的扣件數(shù)；δ(x-xw,i)為Dirac 函數(shù)，x為鋼軌坐標(biāo)，xw,i為第i組輪對(duì)的位置；為第i塊浮置板上第j個(gè)扣件對(duì)鋼軌的作用力；為第i塊浮置板上第j個(gè)扣件的位置。

浮置板采用兩端自由的Timoshenko 梁進(jìn)行模擬，相應(yīng)的動(dòng)力方程為

式中：zs和φs分別為浮置板豎向位移和轉(zhuǎn)角位移；Fs(x,t)和ms(x,t)分別為浮置板所承受的豎向外力及分布彎矩；κ，As和Gs分別為浮置板剪切系數(shù)、橫截面面積和剪切模量；ρs，Es和Is分別為浮置板的密度、彈性模量和截面慣性矩。

地鐵隧道的襯砌結(jié)構(gòu)視為兩端簡(jiǎn)支的Timoshenko 梁，襯砌的動(dòng)力平衡方程參照浮置板動(dòng)力方程。

考慮板端剪力鉸對(duì)浮置板的約束作用，此時(shí)，浮置板板端將承受剪力鉸所產(chǎn)生的集中力F和集中彎矩M的作用，以第i塊浮置板為例，其板端荷載的具體表達(dá)式為：

式中：ls為單塊浮置板的長(zhǎng)度；Kt和Ct分別為剪力鉸的抗剪剛度和抗剪阻尼系數(shù)；Km和Cm分別為剪力鉸抗彎剛度和抗彎阻尼系數(shù)。

2.3 車(chē)軌耦合系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程

聯(lián)立列車(chē)與鋼軌、浮置板、襯砌的動(dòng)力平衡方程[17]，可得到車(chē)軌耦合整體動(dòng)力方程如下：

式中：MG，CG和KG分別為耦合系統(tǒng)總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；FG為耦合系統(tǒng)總體外力向量；zG為耦合系統(tǒng)總體位移向量。

3 車(chē)軌整體振動(dòng)求解

考慮振型的正交特性，對(duì)梁的振動(dòng)微分方程進(jìn)行模態(tài)分解[18]。

鋼軌豎向位移zr的表達(dá)式可設(shè)為

式中：qr,k(t) 為第k階鋼軌廣義振型坐標(biāo)；zr,k(x)為第k階鋼軌主振型函數(shù)；mr為鋼軌振型計(jì)算數(shù)量。兩端簡(jiǎn)支的Euler 梁自振模態(tài)及自振頻率分別為zr,k(x)=sin(kπx/lr) 和其中l(wèi)r為鋼軌長(zhǎng)度。

浮置板的豎向位移zs(x,t) 及轉(zhuǎn)角位移φs(x,t)可表示為：

式中：qs,k(t)為第k階浮置板廣義振型坐標(biāo)；zs,k(x)和φs,k(x)為第k階浮置板位移主振型函數(shù)和轉(zhuǎn)角模態(tài)；Ns為浮置板振型的計(jì)算數(shù)量。

兩端自由的Timoshenko 梁前2 階振動(dòng)模態(tài)反映剛體的豎向平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，表達(dá)式如下：

式中：ωs,1和ωs,2分別為第1和第2階浮置板自振頻率。

3階及以上振動(dòng)模態(tài)可結(jié)合Timoshenko梁控制方程及邊界條件進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)推導(dǎo)可得：

式中：λ1k和λ2k為第k階浮置板振動(dòng)波數(shù)；c1k，c2k，s1k，s2k，g1k和g2k均為第k階浮置板振動(dòng)模態(tài)系數(shù)。

同樣，結(jié)合Timoshenko 梁方程和兩端簡(jiǎn)支的邊界條件，可推導(dǎo)得到襯砌的豎向位移和轉(zhuǎn)角位移表達(dá)式。

將振型分解后的位移或轉(zhuǎn)角表達(dá)式代入車(chē)軌整體動(dòng)力方程，形成常微分形式的車(chē)軌耦合振動(dòng)矩陣，最后通過(guò)Newmark-β數(shù)值計(jì)算方法求解出車(chē)軌系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

4 浮置板劣化模型和相關(guān)工況

由于施工技術(shù)不當(dāng)、長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)荷載作用等因素的影響，地鐵浮置板道床可能出現(xiàn)裂紋損傷并造成整體抗彎性能劣化。為此，本文引入劣化系數(shù)α表示折減后的浮置板抗彎剛度，即EαIα=(1-α)EsIs。當(dāng)α為0 時(shí)，浮置板處于完好狀態(tài)；當(dāng)α為1時(shí)，代表完全劣化的情況。將EαIα代替浮置板方程中的EsIs，可得到劣化浮置板的自振頻率及振動(dòng)模態(tài)，并進(jìn)一步求解得到浮置板劣化情況下的車(chē)軌動(dòng)力響應(yīng)。

本文假定軌道跨中處的浮置板出現(xiàn)劣化情況(即第7塊浮置板，150≤x≤175 m)，如圖2中的陰影部分所示。

5 數(shù)值結(jié)果及分析

以地鐵B型車(chē)輛為例，參考鋼彈簧浮置板軌道的參數(shù)取值范圍，確定車(chē)軌模型的計(jì)算參數(shù)，如表1所示。

5.1 剪力鉸的作用

圖2 浮置板劣化工況Fig.2 Deterioration of floating slab

為研究板端剪力鉸在浮置板抗彎剛度劣化情況下的約束作用，分別對(duì)無(wú)剪力鉸和有剪力鉸2種工況下列車(chē)-劣化浮置板軌道-襯砌-土體整體振動(dòng)進(jìn)行對(duì)比分析。浮置板抗彎剛度劣化系數(shù)取為α=0.5，列車(chē)車(chē)速取為v=54 km/h。

車(chē)體及首個(gè)輪對(duì)加速度響應(yīng)如圖3(a)～(b)所示。由圖3可見(jiàn)：在有剪力鉸的情況下，車(chē)體加速度幅值和輪對(duì)加速度幅值相比無(wú)剪力鉸情況都顯著減小。其中，無(wú)鉸狀態(tài)下車(chē)體加速度幅值為0.011 m/s2，有鉸狀態(tài)下車(chē)體加速度幅值為0.007 m/s2，比無(wú)鉸狀態(tài)減小了36.6%；輪對(duì)加速度幅值較無(wú)鉸狀態(tài)下減小了71.2%。由此可見(jiàn)，在浮置板劣化情況下，剪力鉸對(duì)車(chē)體豎向加速度和輪對(duì)加速度均有顯著的減弱作用。

圖4(a)和圖4(b)所示為列車(chē)輪下鋼軌位移和輪下浮置板位移的時(shí)程曲線。從圖4可以觀察到：輪下鋼軌位移和輪下浮置板位移在劣化區(qū)域(150≤x≤175 m)響應(yīng)顯著增大；此外，在無(wú)剪力鉸情況下，由于浮置板板端位置處的剛度不連續(xù)，鋼軌位移和浮置板位移在板端處會(huì)發(fā)生突跳現(xiàn)象，產(chǎn)生顯著的板端位移差[7]，并且可能進(jìn)一步加劇浮置板的損傷；而剪力鉸對(duì)板端突跳現(xiàn)象有良好的抑制效果，使位移變化相對(duì)平緩。具體而言，鋼軌位移幅值相較無(wú)剪力鉸狀態(tài)減小了11.7%，而浮置板位移幅值則減小了18.7%。

表1 車(chē)軌模型參數(shù)表Table 1 Parameters for train-track model

圖3 車(chē)體及輪對(duì)加速度Fig.3 Acceleration of the carriage and wheelset

劣化浮置板左端的首個(gè)扣件和首個(gè)鋼彈簧的反力曲線分別如圖5(a)和圖5(b)所示?？梢?jiàn)有剪力鉸情況下鋼彈簧反力幅值減小了20.2%，扣件反力幅值減小了23.1%，且扣件拉力(負(fù)值部分)大幅減小，能有效避免扣件在大幅度交變荷載循環(huán)作用下的松弛失效及疲勞破壞。

5.2 浮置板抗彎剛度劣化程度的影響

為深入研究浮置板抗彎剛度劣化程度對(duì)地鐵車(chē)軌振動(dòng)的影響，計(jì)算不同剛度劣化系數(shù)(α=0～0.9)情況下列車(chē)-軌道系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，見(jiàn)圖6。

如圖6(a)所示，車(chē)體豎向加速度幅值隨著劣化系數(shù)的增大而增大，有剪力鉸情況下從0.006 m/s2增至0.009 m/s2，無(wú)剪力鉸時(shí)則從0.011 m/s2增至0.012 m/s2，增幅分別為46.6%和10.5%?？傮w而言，板端剪力鉸對(duì)抗彎剛度劣化情況下的車(chē)體加速度有一定的減緩作用，但隨劣化系數(shù)增大，其作用效果逐漸減小。

圖6(b)和圖6(c)所示分別為輪下鋼軌位移幅值和輪下浮置板位移幅值隨剛度劣化系數(shù)的變化曲線，可見(jiàn)二者均隨劣化程度的增加而增大，但鋼軌位移受浮置板劣化系數(shù)的影響較小，在無(wú)剪力鉸狀態(tài)下鋼軌位移幅值的改變量?jī)H為8.8%。

此外，經(jīng)計(jì)算表明，浮置板劣化系數(shù)對(duì)浮置板鋼彈簧力以及襯砌的各類(lèi)動(dòng)力響應(yīng)影響較小。

圖4 輪下鋼軌及浮置板位移Fig.4 Displacement of rail and floating slab under wheel

圖5 劣化板左端首個(gè)扣件反力和鋼彈簧反力Fig.5 Reaction forces of the first fastener and steel spring at the left end of deteriorated slab

圖6(d)所示為劣化浮置板板中的加速度幅值隨劣化程度的變化曲線?？梢?jiàn)，板中加速度幅值對(duì)劣化程度非常敏感，在有剪力鉸和無(wú)剪力鉸狀況下分別增加了2.9 倍和1.8 倍，可將其作為觀察浮置板抗彎剛度劣化的敏感指標(biāo)。

5.3 列車(chē)速度對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響

列車(chē)車(chē)速對(duì)于地鐵車(chē)軌耦合系統(tǒng)的動(dòng)力性能有較大影響[19-20]。根據(jù)40～80 km/h 的常見(jiàn)地鐵列車(chē)速度，分別選取10，15 和20 m/s 等3 種情況進(jìn)行計(jì)算分析，抗彎剛度劣化系數(shù)取為α=0.5。

圖6 劣化浮置板車(chē)軌系統(tǒng)隨劣化系數(shù)的振動(dòng)響應(yīng)Fig.6 Dynamic responses of the deteriorated slab train-track system with deterioration coefficient

圖7 車(chē)體和首個(gè)輪對(duì)加速度隨車(chē)速變化時(shí)程曲線Fig.7 Time-history curves of carriage and the first wheelset acceleration under different train speeds

如圖7(a)和圖7(b)所示，當(dāng)列車(chē)速度由10 m/s增大到20 m/s 時(shí)，車(chē)體豎向加速度增幅達(dá)到了37.5%，而列車(chē)首個(gè)輪對(duì)的加速度增幅則達(dá)到了2.9 倍?？梢?jiàn)，在浮置板剛度劣化情況下，提高列車(chē)速度會(huì)大幅加劇車(chē)體振動(dòng)，從而降低乘客的舒適度。

不同列車(chē)速度下軌中加速度、劣化浮置板(第7 塊板)板中加速度及襯砌中心點(diǎn)加速度的時(shí)程曲線分別如圖8(a)～(c)所示，可見(jiàn)隨著車(chē)速的提高，三者均顯著增大，其中，當(dāng)列車(chē)速度由10 m/s增加到20 m/s時(shí)，軌中加速度幅值絕對(duì)值由0.144 m/s2增至0.584 m/s2，增加了3.1倍；劣化板板中加速度幅值絕對(duì)值增加了3.8 倍；襯砌中心點(diǎn)加速度增幅最大，增加了5.2倍。

總結(jié)來(lái)看，列車(chē)速度對(duì)浮置板抗彎剛度劣化情況下的車(chē)軌加速度響應(yīng)有顯著影響，但計(jì)算表明，車(chē)速變化對(duì)于鋼彈簧力、鋼軌位移等響應(yīng)的影響并不明顯。

圖8 軌道系統(tǒng)加速度隨車(chē)速變化時(shí)程曲線Fig.8 Time-history curves of the track system with train speed

6 結(jié)論

1)浮置板板端設(shè)置剪力鉸能提高離散型浮置板軌道的整體剛度，緩解浮置板道床性能劣化對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的不利影響，降低浮置板劣化區(qū)段的車(chē)體豎向加速度、輪對(duì)加速度、輪下鋼軌位移、輪下浮置板位移、扣件力等各項(xiàng)車(chē)軌振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)于保障乘客舒適度及地鐵長(zhǎng)期安全運(yùn)營(yíng)具有積極作用。

2)隨著浮置板抗彎剛度劣化系數(shù)的增大，車(chē)體豎向加速度、鋼軌位移、浮置板位移、浮置板板中加速度等動(dòng)力響應(yīng)均隨之增大，其中浮置板板中加速度的增幅最為顯著，可將其作為振動(dòng)測(cè)試的敏感指標(biāo)。

3)在浮置板剛度劣化情況下，列車(chē)-浮置板軌道系統(tǒng)的各項(xiàng)加速度幅值均隨列車(chē)車(chē)速的增大而顯著增大，但列車(chē)速度對(duì)扣件力、鋼彈簧力、鋼軌位移及浮置板位移等動(dòng)力響應(yīng)沒(méi)有顯著影響。