教學(xué)考試雜志社“優(yōu)師計劃”階段性成果展示
——高考重難點(diǎn)相關(guān)試題選登

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A.10 B.12

C.15 D.20

【答案】B

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【答案】C

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【答案】B

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【答案】C

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【答案】C

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【答案】D

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【答案】A

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【答案】A

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【答案】B

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【答案】B

11.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)斜率為1的直線l交橢圓C于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),且x1>x2.若直線x=3上存在點(diǎn)P,使得△PMN是以∠PMN為頂角的等腰直角三角形,求直線l的方程.

【考查角度】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).(Ⅰ)由已知兩點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出a,b的值；(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程，確定m的范圍并找出x1，x2的關(guān)系.易知NP平行于x軸，所以NP中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而列方程組求解.

(3分)

解得a2=3,b2=1.

(5分)

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=x+m,P(3,yP),

(6分)

(7分)

由Δ=36m2-48m2+48>0,得-2

(8分)

因為△PMN是以∠PMN為頂角的等腰直角三角形,

所以NP平行于x軸.

(9分)

過點(diǎn)M做NP的垂線,則垂足點(diǎn)Q為線段NP的中點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xQ,yQ),

(10分)

整理得m2+2m+1=0,解得m=-1.

(11分)

而m=-1∈(-2,2),

所以直線l的方程為y=x-1.

(12分)

12.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.

【考查角度】本題考查橢圓的定義、直線與橢圓的關(guān)系、均值不等式求最值，考查運(yùn)算求解、邏輯推理能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

(Ⅰ)通過橢圓方程基本量a,c求解,借助通徑,得方程,即可解得a,b,c的值，從而得橢圓方程;(Ⅱ)利用面積公式,直線與圓錐曲線位置關(guān)系聯(lián)立方程,由韋達(dá)定理,運(yùn)用面積公式,變形后由均值不等式求解即可.

又∵b4=(a+c)2(a-c)2=(a2-c2)2,

代入得c2=3或1,

又a>b>c>0,∴c=1,

又a2=4,∴b2=3,

(4分)

(Ⅱ)當(dāng)直線l斜率不存在時,直線方程為x=-1,

△ABD,△ABC面積相等,|S1-S2|=0.

(5分)

當(dāng)直線l斜率存在時(k≠0),

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),

直線方程為y=k(x+1)(k≠0),

消掉y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.

(7分)

此時|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|

=2|k(x2+1)+k(x1+1)|

=2|k(x2+x1)+2k|

(9分)

(11分)

(12分)

13.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

【考查角度】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的關(guān)系、數(shù)量積和三角形面積公式，考查運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解題分析】(Ⅰ)設(shè)離心率為e,由題意知，

(1分)

所以a2=4,b2=3,

(2分)

(4分)

(Ⅱ)設(shè)M(0,t),直線l的方程為y=kx+t，

A(x1,y1),B(x2,y2)，

(5分)

所以|OA||OB|cos∠AOB=-3,

(7分)

聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，有

整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0，

Δ=(8kt)2-4×(3+4k2)×(4t2-12)

=48(4k2-t2+3)>0,

(8分)

因為x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=-3,

所以(1+k2)x1x2+kt·(x1+x2)+t2=-3,

(9分)

4(k2t2-3k2+t2-3)-8k2t2+(4k2t2+12k2+3t2+9)=0,

(11分)

(12分)

【方法點(diǎn)撥】該題考查的是直線與橢圓相交的問題，在解題的過程中，一是需要掌握橢圓方程中對應(yīng)的參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，再者聯(lián)立直線方程與橢圓方程即"幾何問題代數(shù)化"，應(yīng)用韋達(dá)定理,把兩個交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠虄蓚€根的問題.同時直線的方程在設(shè)的時候一定要注意斜率的存在與否問題，本題的關(guān)鍵是從題中尋找對應(yīng)的等量關(guān)系.

14.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求曲線Γ的方程；

(Ⅱ)△ABC的面積是否為定值？若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

【考查角度】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式、三角形的重心的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查推理運(yùn)算能力,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

(Ⅰ)根據(jù)題意列出方程并化簡即可；(Ⅱ)要分斜率存在和斜率不存在兩種情況來考慮,在表達(dá)三角形ABC的面積時,要求線段AB弦長,要求點(diǎn)C到AB的距離來表示三角形面積,屬于常規(guī)圓錐曲線題.

【解題分析】(Ⅰ)設(shè)曲線Γ上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),

(5分)

(Ⅱ)當(dāng)直線AB斜率不存在時,

(6分)

(7分)

當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB方程為

y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,

(8分)

(9分)

∵O為△ABC的重心,

∵C點(diǎn)在橢圓M上,

化簡得4m2=12k2+9，

(12分)

15.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；

(Ⅱ)設(shè)曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,E是C上異于A,B的任意一點(diǎn),直線EN交C于另一點(diǎn)H,直線EB交直線x=4于點(diǎn)K,求證：A,H,K三點(diǎn)在同一條直線上.

【考查角度】本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合的思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

(2分)

由橢圓的定義可知，點(diǎn)Q的軌跡C是以點(diǎn)M，N為焦點(diǎn)，且長軸長為4的橢圓,

∴2a=4,c=1,b2=a2-c2=3，

(4分)

(Ⅱ)證明：設(shè)點(diǎn)E(x1,y1),H(x2,y2),

直線EH的方程為x=my+1,

整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

∵Δ=(6m)2+36(3m2+4)>0,

(7分)

將此方程與直線x=4聯(lián)立,

(9分)

(11分)

故A,H,K三點(diǎn)在同一條直線上.

(12分)

【方法點(diǎn)撥】該題考查的是直線與橢圓相交的問題,在解題的過程中,一是需要掌握橢圓方程中對應(yīng)的參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,再者聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即“幾何問題代數(shù)化”,應(yīng)用韋達(dá)定理,把兩個交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠虄蓚€根的問題.同時，直線的方程在設(shè)的時候一定要注意斜率的存在與否問題,本題的關(guān)鍵是從題中尋找對應(yīng)的等量關(guān)系.

16.【研發(fā)題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求雙曲線E的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)F2作直線l與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn),求△MNF1的面積的取值范圍.

【考查角度】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、弦長公式、面積的計算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力.

(4分)

整理可得(m2-3)y2+4my+1=0,

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

所以m2-3<0,

(5分)

設(shè)m2-3=t,則-3≤t<0,

(12分)

17.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

過拋物線C:x2=2py(p>0)焦點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M為拋物線上任一點(diǎn),且拋物線在點(diǎn)M處的切線與直線l平行,弦長|AB|的最小值為4.

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)若△MAB的面積為S,求S+|AB|的最小值.

【考查角度】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

(Ⅰ)先寫出弦長的函數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)弦長|AB|的最小值為4求得拋物線C的方程；(Ⅱ)寫出S+|AB|的表達(dá)式,通過換元,利用導(dǎo)數(shù)研究S+|AB|的最小值.

(1分)

(2分)

Δ=4p2k2+4p2>0恒成立，

(3分)

(4分)

=k(x1+x2)+2p=2pk2+2p.

(5分)

因為k∈R,所以當(dāng)且僅當(dāng)k=0時,|AB|取得最小值,即2p=4,所以p=2,

所以拋物線C的方程為x2=4y.

(6分)

(7分)

因為拋物線在點(diǎn)M處的切線與直線l平行,

(8分)

由(Ⅰ)可知|AB|=4(k2+1),

(10分)

(11分)

則f′(t)=6t2+8t>0,

所以f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(t)min=f(1)=6,

故S+|AB|的最小值為6.

(12分)

18.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)設(shè)P是拋物線C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,求證:PF⊥QF.

【考查角度】本題考查直線與拋物線相關(guān)知識,考查推理論證、運(yùn)算求解能力,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

(Ⅰ)由條件寫出直線AB的方程,與拋物線方程聯(lián)立由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得,也可直接利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解；(Ⅱ)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)及切線方程,將切線方程與拋物線方程聯(lián)立,由Δ=0得出斜率表達(dá)式,再求出Q點(diǎn)坐標(biāo),借助向量證明，也可利用導(dǎo)數(shù)及向量進(jìn)行證明.

(1分)

整理得x2-2px-p2=0,

(2分)

解法一：設(shè)A,B橫坐標(biāo)分別為x1,x2,

則x1+x2=2p=4,p=2,

(4分)

所以拋物線C的方程是x2=4y.

(5分)

解法二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

由題意知x1+x2=4,x2-x1=y2-y1, (*)

(1分)

因為點(diǎn)A,B均在拋物線C上,

(2分)

即(x2+x1)(x2-x1)=2p(y2-y1),

把(*)代入得p=2,

(4分)

所以拋物線C的方程是x2=4y.

(5分)

把切線方程代入拋物線方程得x2-4kx+4kt-t2=0,

(6分)

所以拋物線x2=4y在點(diǎn)P處的切線方程為

(8分)

拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程是y=-1,

(9分)

又F(0,1)，

(10分)

(11分)

所以PF⊥QF.

(12分)

(6分)

(8分)

因為拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-1,

(9分)

又F(0,1)，

(10分)

(11分)

所以PF⊥QF.

(12分)

19.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求拋物線的方程;

(Ⅱ)求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

【考查角度】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用與掌握程度，探求直線經(jīng)過定點(diǎn)，考查考生的分析能力、計算能力，考查分類討論,變量轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【名師指導(dǎo)】(Ⅰ)由橢圓焦點(diǎn)即可得拋物線的p值；(Ⅱ)直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即得M坐標(biāo)，CD⊥AB，得kCD，同理得點(diǎn)N坐標(biāo)，直線MN恒過定點(diǎn)歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個方程必有一組常數(shù)解．

【解題分析】(Ⅰ)由題意知F(1,0)，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

(3分)

(Ⅱ)證明:由題意知直線AB的斜率存在且不為0，

設(shè)lAB：y=k(x-1)(k≠0)，代入y2=4x，

得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，

(7分)

同理，可得N(2k2+1，-2k)．

所以直線MN的方程為

(9分)

化簡整理，得(k2-1)y=k(3-x)，

故不論k為何值，直線MN恒過點(diǎn)(3,0)．

(12分)

20.【細(xì)磨題】(本小題滿分12分)

已知A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)，E,F為拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).

(Ⅰ)求直線EF的斜率；

【命題意圖】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解題分析】解法一：(Ⅰ)設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，

因為點(diǎn)A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),所以y2=4x.

(1分)

設(shè)直線AE:y=kx+(2-k),

因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),

所以直線AF:y=-kx+(2+k),

k2x2+[2k(2-k)-4]x+(2-k)2=0，

(2分)

(3分)

(4分)

所以直線EF的斜率kEF=-1.

(5分)

直線l:x=ty+m,代入y2=4x,

得y2-4ty-4m=0,

所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.N(-m,0),

(6分)

(8分)

(10分)

作過點(diǎn)P,Q垂直于x軸的直線,分別交x軸于點(diǎn)B,D,

(12分)

解法二：(Ⅰ)設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2).

因為點(diǎn)A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)，所以y2=4x，

(1分)

(3分)

因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),

(4分)

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為l:x=ty+m.

P(x3,y3),Q(x4,y4),N(-m,0),

代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,

所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.

(6分)

(7分)

由題可知

=(x3+m-λ(x4+m),y3-λy4)

(12分)