謝志勇

數(shù)學(xué)符號(hào)是人們?cè)谘芯楷F(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程中產(chǎn)生的，經(jīng)歷了從探索發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過程。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在探索中經(jīng)歷符號(hào)化的抽象過程，更加深刻地感悟符號(hào)化思想。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。幫助學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。”本文結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例，探索符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)策略。

一、找準(zhǔn)認(rèn)知起點(diǎn)，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)

【教學(xué)片段一】“認(rèn)識(shí)加法”（人教版一年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)）

師：（手指著教學(xué)板上貼的笑臉圖片）剛才二組的小朋友坐得端正、聽講認(rèn)真、回答問題聲音響亮，老師表揚(yáng)了二組，給他們獎(jiǎng)勵(lì)3個(gè)笑臉，現(xiàn)在小敏又為二組獲得了1個(gè)笑臉。小朋友們知道二組共獲得了幾個(gè)笑臉嗎？

生（齊）：4個(gè)

師：能告訴老師，你是怎么知道的嗎？

生1：我全部數(shù)了一遍。

生2：3個(gè)和1個(gè)合起來就是4個(gè)。

師：能把你們的想法在紙上畫出來嗎？（學(xué)生獨(dú)立畫圖）

師：（板書3? 1? 4）小朋友們知道老師寫的“3”是指什么嗎？“1”和“4”呢？

生3：“3”是指二組先得的3個(gè)笑臉，“1”是指后來又得了1個(gè)笑臉，“4”是指二組一共得了4個(gè)笑臉。

師：你講得又清楚又準(zhǔn)確！老師給你貼上1個(gè)笑臉。

師：（在3和1之間加上“+”號(hào)，在1和4之間加上“=”號(hào)）小朋友們猜一猜，老師添上兩個(gè)符號(hào)是什么意思呢？

生4：3個(gè)和1個(gè)合起來就是4個(gè)。

師：你猜得真準(zhǔn)！“+”表示“合起來”，讀作“加”;這里的“=”表示“一共是”，讀作“等于”。

在低年級(jí)的課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常用貼笑臉、貼紅旗等方式對(duì)課堂表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)或小組進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，學(xué)生對(duì)這類符號(hào)已經(jīng)形成認(rèn)知表象，這是學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)。同時(shí)，在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)會(huì)運(yùn)用語言符號(hào)和圖形符號(hào)表達(dá)加法運(yùn)算的意義。教師充分運(yùn)用學(xué)生的已有認(rèn)知，精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“+”號(hào)和“=”號(hào)，感知抽象的運(yùn)算符號(hào)能表達(dá)具體、實(shí)際的意義，明確用運(yùn)算符號(hào)表達(dá)的便捷性，促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的生成。

二、緊扣知識(shí)生長點(diǎn)，滲透符號(hào)化思想

【教學(xué)片段二】“用字母表示數(shù)”（人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)）

師：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿（邊說邊動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)情境圖），誰能幫助老師繼續(xù)往下說？

生1：2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿。

生2：3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿。

生3：4只青蛙4張嘴，8只眼睛16條腿。

師：這個(gè)兒歌編下去，能編完嗎？

生（齊）：編不完。

師：有什么辦法嗎？

生4：可以用省略號(hào)。

生5：也可以用字母符號(hào)表示。

師：（出示板書1）

師：誰能用一句話來表達(dá)這首兒歌，并且把它編完呢？（板書2：選擇幾個(gè)學(xué)生的編法并進(jìn)行對(duì)比）

師：大家都運(yùn)用了字母符號(hào)來概括兒歌，觀察、比較一下，你想對(duì)哪種編法發(fā)表自己的看法呢？

生6：我認(rèn)為第1種不對(duì)，都用x來表示不合適。假如x是1的話，就變成了一只青蛙一張嘴，一只眼睛一條腿，這就是一只畸形的青蛙了。

生7：我認(rèn)為第2種也不行，因?yàn)榍嗤艿闹粩?shù)和嘴巴的張數(shù)是一樣的，所以這里的b要改成a。

師：把b改成a，你再?zèng)]有意見了吧？

生8：還不行，眼睛和腿還得改，因?yàn)橛胏、d不能表達(dá)他們之間的倍數(shù)關(guān)系，我認(rèn)為第3種最好。

師：你們認(rèn)為呢？

生9：是的，第3種能清晰地表達(dá)青蛙的只數(shù)、嘴巴、眼睛和腿之間的數(shù)量關(guān)系。

師：最后看著你們最喜歡的這種編法，我們?cè)賮沓怀@首青蛙兒歌吧。

初次續(xù)編兒歌時(shí)，學(xué)生從已有的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，將文字語言抽象成簡潔的數(shù)字符號(hào)，經(jīng)歷了從“用文字表征規(guī)律”到“用數(shù)學(xué)符號(hào)表征規(guī)律”的轉(zhuǎn)化。層次分明的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考，實(shí)現(xiàn)了符號(hào)化過程的初步轉(zhuǎn)化。再次續(xù)編兒歌時(shí)，教師以“用一句話來表達(dá)這首兒歌”的問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比三種編寫辦法，經(jīng)歷用字母符號(hào)表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)字母符號(hào)的概括性和簡潔性，實(shí)現(xiàn)了從“用數(shù)字符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系”向“用字母符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系”的第二次轉(zhuǎn)化。學(xué)生在對(duì)比和辨析中，既感受到不同編法的異同與優(yōu)劣，又體驗(yàn)到用字母表示數(shù)的優(yōu)越性，有效滲透了符號(hào)化的思想方法，學(xué)生的符號(hào)化意識(shí)在經(jīng)歷符號(hào)化的抽象過程中實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。

三、巧用模型思想，發(fā)展符號(hào)意識(shí)

培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)不只是簡單地把符號(hào)介紹給學(xué)生，讓學(xué)生機(jī)械記憶。運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的有效途徑。

【教學(xué)片段三】“數(shù)與形”（人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)）

師：（動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)課本主題圖）你會(huì)用哪些形式把圖中小正方形的個(gè)數(shù)表示出來呢？

生1：1、4、9。

生2：12、22、32。

生3：1+3=4，1+3+5=9。

生4：1+3=22，1+3+5=32。

師：同學(xué)們的思維真活躍，能想到這么多種表達(dá)形式！老師最感興趣的是第4組，因?yàn)楦鶕?jù)它們之間暗藏的規(guī)律，我可以直接寫出1+3+5+7=42。請(qǐng)同學(xué)們先驗(yàn)證一下老師寫得對(duì)不對(duì)，并說一說你是用什么方法驗(yàn)證的。

生5：對(duì)，我是直接計(jì)算的。

生6：對(duì)，我是在老師出示的第3個(gè)圖外側(cè)再添7個(gè)小正方形就拼成了4行4列的大正方形（如下圖）。

師：你能找到其中的規(guī)律嗎？

生7：等式左邊的加數(shù)都是奇數(shù)。

生8：等式左邊的加數(shù)都是連續(xù)的奇數(shù)，而且是從1開始的。

生9：等式右邊的數(shù)都是平方數(shù)，而且左邊有幾個(gè)加數(shù)，右邊就是幾的平方。

師：同學(xué)們只要善于觀察，就能揭開規(guī)律的面紗！請(qǐng)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填一填：

1+3+5+7+9+11+13=（??? ）2;（?????? ）=92。

師：如果從1開始有n個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，那結(jié)果是多少呢？

生（齊）：n2。

（師板書：[1+3+5+7+9+11+13+……n個(gè)=n2]）

教師從直觀的圖形變化出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用算式表達(dá)圖形變化的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)算式表達(dá)的變化規(guī)律，從而推理出“從1開始有n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和是n2”。從直觀圖形到算式表達(dá)，再到字母表征，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的歸納過程。借助這個(gè)過程，使學(xué)生體會(huì)到引入字母符號(hào)可以表示任意一個(gè)數(shù)字，并參與推理和運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)。

在小學(xué)階段，鍛煉學(xué)生從具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律并用符號(hào)表示，是符號(hào)意識(shí)的具體體現(xiàn)。例如，通過列舉幾組兩個(gè)數(shù)相加的算式，交換加數(shù)的位置，和不變，歸納出加法的交換律，并用符號(hào)“a+b=b+a”表示。又如，在長方形內(nèi)部通過拼擺單位面積的小正方形，歸納出長方形的面積計(jì)算公式，并用符號(hào)“S=ab”表示。上述例子都是符號(hào)化的過程，也是模型化的過程。通過以數(shù)解形、以形助數(shù)，讓復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而使“運(yùn)用符號(hào)表征數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”水到渠成。

四、注重實(shí)踐運(yùn)用，強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)

引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中靈活運(yùn)用符號(hào)解決問題，表示公式、性質(zhì)等，是強(qiáng)化學(xué)生符號(hào)意識(shí)的重要方法。

【教學(xué)片段四】“圓錐的體積”（人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)）

師：一個(gè)圓錐的體積是72cm3，底面積是24cm2。這個(gè)圓錐有多高？

生1：72÷24×[13]=1cm。

生2：不對(duì)！如果按照這個(gè)結(jié)果檢驗(yàn)，圓錐的體積=24×1×[13]=8cm3，與題目的已知條件相矛盾。

師：老師給你點(diǎn)贊！你運(yùn)用圓錐的體積公式檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)果不正確。那么，問題出在哪兒呢？

生3：圓錐的體積公式是V=[13]Sh，現(xiàn)在已知底面積和體積，要求圓錐的高，也就是求h，就相當(dāng)于求因數(shù)。因此，要把公式變換一下，V=[13]Sh，Sh=3V，h=3V÷S。所以，正確結(jié)果是72×3÷24=9cm。

生4：從上面的計(jì)算我還發(fā)現(xiàn)，求底面積可以用公式“S=3V÷h”計(jì)算。

生5：如果已知圓錐的體積，無論是已知底面積求高還是已知高求底面積，都要先把體積V乘3，轉(zhuǎn)化成與它等底等高的圓柱的體積，才能計(jì)算出正確結(jié)果。

教師引導(dǎo)學(xué)生在辨析過程中很自然地選擇用字母公式進(jìn)行推理，沒有用煩瑣的文字語言進(jìn)行描述，體現(xiàn)了運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行交流和表達(dá)的簡潔性。字母公式簡明直觀地揭示了圓錐體積、底面積、高之間的關(guān)系，不但使學(xué)生明確了符號(hào)可以像數(shù)字一樣參與運(yùn)算和推理，而且?guī)椭麄兏羁痰仡I(lǐng)悟了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯。學(xué)生在逐步地推導(dǎo)過程中認(rèn)識(shí)到“如果已知圓錐的體積，無論是已知底面積求高，還是已知高求底面積，都要先把體積V乘3，轉(zhuǎn)化成與它等底等高的圓柱的體積，才能計(jì)算出正確結(jié)果?！边@樣的學(xué)習(xí)過程，不僅增強(qiáng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，更激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，讓數(shù)學(xué)課堂散發(fā)出智慧的光芒。

有研究表明，義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)由數(shù)學(xué)符號(hào)的感知與識(shí)別、數(shù)學(xué)符號(hào)的理解與運(yùn)算、數(shù)學(xué)符號(hào)的聯(lián)想與推理和數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象與表達(dá)四個(gè)層次構(gòu)成。這就是說，培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)要遵循數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展的規(guī)律。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，知識(shí)的建構(gòu)對(duì)符號(hào)意識(shí)的要求也會(huì)越來越高，教師要善于運(yùn)用學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)知起點(diǎn)，善于溝通數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的聯(lián)系，善于引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)解決問題，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，為學(xué)生的終生學(xué)習(xí)奠基。

（作者單位：武漢市新洲區(qū)教學(xué)研究室）

見習(xí)編輯? 劉佳