丁丹平，劉 飛

(江蘇大學 理學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

文獻[1]首次給出了Fornberg-Whitham(FW)方程

(1)

其中：x,t∈R，u=u(x,t)表示x方向、t時刻水波的流速或表示波的自由表面距離水平面的高度.

文獻[2]對FW方程進行研究，得到其尖峰孤子解為

(2)

FW方程不僅有尖峰孤子解(2)，還有光滑孤子解、周期尖角解、環(huán)形解和駝峰解[3-4].關于FW方程的局部適定性、解的穩(wěn)定性和爆破性質(zhì)也有許多研究成果[5-13].

FW方程是關于理想流體的淺水波方程，但是實際物理流體總會存在能量耗散. 論文研究弱耗散FW方程的Cauchy問題

(3)

其中：εuxx是耗散項，ε≥0是耗散系數(shù).

(4)

論文主要研究弱耗散FW方程的局部適定性以及解的爆破. 研究結(jié)果表明弱耗散FW方程解的爆破率不受弱耗散項的影響，但方程解的爆破條件卻受到耗散系數(shù)的影響.

1 局部適定性

應用Kato半群理論研究弱耗散FW方程的局部適定性. 考慮擬線性發(fā)展方程

(5)

設X和Y是兩個Hilbert空間，Y能連續(xù)且稠密地嵌入X，從Y到X有一拓撲同胚Q:Y→X，用L(Y,X)表示從Y到X的全體有界線性算子空間，若

(i) 對?y∈Y，A(y)∈L(Y,X)是擬-m增生算子，且對?y,z,w∈Y，存在常數(shù)μ1，使得

‖(A(y)-A(z))w‖X≤μ1‖y-z‖X‖w‖Y.

(ii)QA(y)Q-1=A(y)+B(y)，其中B(y)∈L(X,X)在Y的有界集上一致有界，且對任意y,z∈Y,w∈X，存在常數(shù)μ2，使得

‖(B(y)-B(z))w‖X≤μ2‖y-z‖Y‖w‖x.

(iii)f:Y→Y是有界的，且對于y,z∈Y，存在常數(shù)μ3,μ4，使得

‖f(y)-f(z)‖Y≤μ3‖y-z‖Y，‖f(y)-f(z)‖X≤μ4‖y-z‖X.

引理1(Kato定理) 在條件(i)～(iii)下對于v0∈Y，存在最大常數(shù)T(‖v0‖Y)>0，使得方程(5)存在唯一解v，滿足

v=v(·,v0)∈C([0,T);Y)∩C1([0,T);X).

u=u(·,u0)∈C([0,T);Hs)∩C1([0,T);Hs-1)，

并且解連續(xù)依賴于初值，即映射u→u(· ,u0):Hs→C([0,T);Hs)∩C1([0,T);Hs-1)是連續(xù)的.

2 爆 破

引理2對于任意函數(shù)f∈L2和σ∈R，有

‖Λ-1f‖L2=‖f‖H-1, ‖Λ-1f‖Hσ=‖f‖Hσ-2, ‖?xf‖Hσ≤‖f‖Hσ+1.

(6)

引理3假設u是初值問題(3)對應于u0∈H2的一個解，那么對于適當?shù)膖>0，滿足

‖u‖H2≤c(t)‖u0‖H2.

(7)

證明對(4)式兩端同乘以u并在R上積分，有

由于

(8)

應用(6)，(8)式、H?lder不等式及Sobolev嵌入理論,得

(9)

即

(10)

對問題(3)第一個方程兩端同乘以uxx并在R上積分，有

(11)

應用分部積分、(6)式、H?lder不等式及Sobolev嵌入理論，有

有

(12)

結(jié)合(10)，(12)式,得

(13)

由(13)式,得

(14)

選擇適當?shù)膖，有

‖u‖H2≤c(t)‖u0‖H2.

引理4[7]令T>0，u∈C1([0,T);H2(R))，那么對于任意的t∈[0,T)，至少存在一點ξ(t)∈R，使得

并且函數(shù)m(t)在區(qū)間(0,T)上幾乎處處可導，即

下面給出問題(3)的解爆破的一個充分必要條件.

對方程(4)兩端同乘以u并在R上積分，有

(15)

對問題(3)第一個方程兩端同乘以uxx并在R上積分，有

(16)

由(15)，(16)式,有

(17)

假設存在M>0，使得對所有的(t,x)∈[0,T)×R，有

ux(t,x)≥-M,

(18)

將(18)式代入(17)式，得

(19)

由不等式(19)，得

(20)

因此，若ux(x,t)有界，則問題(3)的解u(x,t)在有限時間內(nèi)不會發(fā)生爆破.

‖u‖H2≤N(t)

成立，由Sobolev嵌入理論可得

‖ux‖L∞≤C‖u‖H2≤CN(T),

這與假設矛盾，因此方程的解會在有限時間內(nèi)爆破.

定理3如果u0∈H2且存在點x0∈R，滿足

證明對問題(3)的第一個方程關于x求導，有

(21)

應用引理4并注意到m(t)是局部Lipschitz的，因此有mx(t)=0，得

(22)

因為對于u∈H2，有

(23)

(24)

將(23),(24)式帶入(22)式，得

εm+(ε+2)c‖u0‖H2,

(25)

令K=(ε+2)c(t)‖u0‖H2，則(25)式變?yōu)?/p>

(26)

(27)

因此，由(26)，(27)式知m(t)在[0,T)上單調(diào)遞減.

由不等式(26)，有

(28)

使得

因此Cauchy問題(3)的解在有限時間內(nèi)爆破.

定理4假設問題(3)對應初值u0∈H2的解u(x,t)在有限時間T<∞內(nèi)發(fā)生爆破，有

證明由(26)式可得

(29)

有

即

(30)

再由定理2知

(31)

則存在一點t1∈[0,T)，使得對于任意的δ∈(0,1)，有

由于m(t)在[0,T)上單調(diào)遞減，有

(32)

將(32)式代入(30)式，有

(33)

即

(34)

因為δ∈(0,1)是任意的，有

即

定理3給出了弱耗散FW方程解爆破的一個充分條件，表明初值問題(3)解的爆破受耗散系數(shù)ε的影響.定理4表明初值問題(3)解的爆破速率與弱耗散項無關，弱耗散FW方程的爆破速率與FW方程的爆破速率一樣.