高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
——“導(dǎo)數(shù)的概念”

◎ 張志偉

本節(jié)課是對(duì)“人教B 版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書——數(shù)學(xué)選修1-1》第三章第一節(jié)3·1·2的第一課時(shí)——導(dǎo)數(shù)的概念”的教學(xué)。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問(wèn)題的最一般、最有效的工具?？紤]到高中學(xué)生認(rèn)知水平有限，沒(méi)有采用一般的“數(shù)列——數(shù)列的極限——函數(shù)的極限——導(dǎo)數(shù)”這種建立概念的方式，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”定義導(dǎo)數(shù)。這樣一來(lái)，一方面排除了因難以理解極限的形式化定義，而對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)理解的干擾，將更多的精力放在對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)與內(nèi)涵的理解上。另一方面，學(xué)生對(duì)逼近的思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定理解，有利于大學(xué)學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義。本節(jié)課將導(dǎo)數(shù)概念的建立劃分為兩個(gè)階段，首先明確瞬時(shí)速度和切線斜率的含義，然后去掉物理背景和幾何背景，由兩個(gè)實(shí)例出發(fā)，抽象出一般函數(shù)的瞬時(shí)變化率的概念，給出導(dǎo)數(shù)的定義。借助信息技術(shù)，通過(guò)讓學(xué)生親自計(jì)算、幾何畫板展示等方法，讓學(xué)生體會(huì)逼近的思想和用已知探求未知的思考方法。基于以上分析，確定本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)為：建立導(dǎo)數(shù)概念及對(duì)導(dǎo)數(shù)思想和內(nèi)涵的理解。

一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)的中心任務(wù)是形成導(dǎo)數(shù)概念，概念形成需要通過(guò)兩個(gè)實(shí)例抽象得出。1.借助高臺(tái)跳水問(wèn)題，明確瞬時(shí)速度的含義；2.借助拋物線的割線逼近切線的問(wèn)題，明確切線斜率的含義；3.以速度模型為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合切線斜率抽象出導(dǎo)數(shù)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率，理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵；4.通過(guò)平均變化率的計(jì)算，讓學(xué)生切身體會(huì)逼近思想，滲透以已知探求未知的思考方法，提升數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

回顧探究：在一次跳水運(yùn)動(dòng)中，某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10。

計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0 ≤t≤這段時(shí)間里的平均速度，并思考下面的問(wèn)題。(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

問(wèn)題1.在一次跳水運(yùn)動(dòng)中，某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m) 與起跳后的時(shí)間t(單位：s) 存在函數(shù)關(guān)系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10，計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在t=2的瞬時(shí)速度。

2.設(shè)疑自探

如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度？與平均速度有什么關(guān)系？引起學(xué)生思考。我們可以用來(lái)研究高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度。師生共同確定想法：計(jì)算t=2附近的平均速度，細(xì)致地觀察它的變化情況。

3.解疑合探

(1)當(dāng)Δt取不同值時(shí)，計(jì)算平均速度vˉ=的值。

下表是計(jì)算問(wèn)題1 中當(dāng)t=2秒處附近時(shí)間段內(nèi)平均速度的表格，請(qǐng)分組合作完成此表，猜想在t=2秒處的瞬時(shí)速度，并說(shuō)明理由。

為便于觀察變化趨勢(shì)，要計(jì)算一組平均速度，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)學(xué)符號(hào)將想法具體化，明確計(jì)算公式。要求學(xué)生分組合作，通過(guò)學(xué)生親自計(jì)算引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)平均速度的變化趨勢(shì)。

(2)當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，平均速度vˉ有什么樣的變化趨勢(shì)？

結(jié)合學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，組織學(xué)生觀察、討論平均速度的變化趨勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，平均速度趨近于一個(gè)確定的值-13.1”。

(3)更多數(shù)據(jù)，感受規(guī)律

我們用這個(gè)方法得到了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在t=2s附近，平均速度逼近一個(gè)確定的常數(shù)。那其他時(shí)刻呢？比如t=1s？請(qǐng)大家按照剛才我們探究t=2s時(shí)的過(guò)程，用同樣的方法，計(jì)算t=1s時(shí)刻附近的平均速度。

4.總結(jié)規(guī)律

運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度怎樣表示？已知其他路程和時(shí)間函數(shù)的解析式，求瞬時(shí)速度都是這樣嗎？

帶領(lǐng)學(xué)生回顧探求t=2時(shí)瞬時(shí)速度的全過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，獲得t=t0時(shí)瞬時(shí)速度的形式化表示。教師介紹符號(hào)，并解釋符號(hào)含義。

總之，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)。知識(shí)方面：瞬時(shí)速度，切線斜率，瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)的定義。思想方法：思考方法——以已知探求未知，特殊到一般，具體到抽象，逼近思想。