傳承與創(chuàng)新 體會數(shù)學文化的應(yīng)用價值
——由一道費馬點問題的命制過程談數(shù)學文化的應(yīng)用

黃騰達

（仙游縣第二中學，福建 莆田 351200）

一、試題展示

問題：已知△ABC 的每個內(nèi)角都小于120°，如何在三角形內(nèi)部找一點P，使PA+PB+PC 的和最?。繑?shù)學家們是怎樣解決這個問題的？法國數(shù)學家費馬是這樣想的：如圖1，將△APC 繞A 點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′,則△APP′為等邊三角形，PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′ ≥BC′,當且 僅 當B、P、P′、C’四 點共線時取最小值。該點也稱為這個三角形的費馬點。小明同學在研究該問題時發(fā)現(xiàn)，若改變旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，就可以產(chǎn)生aPA+PB+PC 的最值問題。

（1）如圖2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,P 為三角形內(nèi)部一點。將△APC 繞A 點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C′,請畫出△AP′C′，并求2 PA+PB +PC 的最小值。

（2）若P 為平面內(nèi)的一點，過P 點引出三條線段：PA、PB、PC，若PA+PB+PC 為定值m,猜想△ABC 面積的最大值，并直接寫出答案。

（3）如圖3，已知：四邊形ABCD 中，AB=AD=2，連接AC，求AC 的最大值。

二、設(shè)計過程

（一）命題意圖

這是一道以數(shù)學文化為背景的考題，以閱讀理解形式出現(xiàn)，結(jié)合相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、兩點之間線段最短等知識，在滲透數(shù)學文化的同時考查學生的自學能力、綜合運用所學知識解決實際問題的能力，檢測學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理和直觀想象等學科素養(yǎng)。

學科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)及其級別

（二）命題過程

1.立意與選材：各地中考以數(shù)學文化為背景的試題在難度的設(shè)置上大多為中等偏易，較少出現(xiàn)以數(shù)學文化有關(guān)的綜合題。能否嘗試命制以數(shù)學文化為背景的幾何綜合題，引領(lǐng)學生領(lǐng)悟其中蘊含的數(shù)學思想，體會數(shù)學文化的應(yīng)用價值？需要選取什么素材？“求線段和差的最值問題”一直是中考命題的熱門問題。初中教材中出現(xiàn)過借助軸對稱求解的“將軍飲馬問題”，也出現(xiàn)過借助平移求解的“修橋定址問題”，若選取費馬點問題恰好可以作為教材知識的補充和拓展，同時，費馬點問題綜合性強，蘊含著豐富的數(shù)學思想，能夠比較全面考查學生的學科素養(yǎng)，發(fā)揮試題的選拔功能。［1］

2.聯(lián)系與搭架：費馬點問題，作為一個歷史名題，近幾年來在各地中考中也頻頻出現(xiàn)，如2010 寧德中考、2013 常州中考、2016 鹽城中考等。例：（2010 寧德中考摘錄）如圖4，正方形ABCD 中，以AB 為邊向外作等邊△ABE，點M 是對角線BD（不含B 點）上一動點，將BM 繞點B 逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，①當M 點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；②若AM＋BM＋CM 的最小值為+1 時，求正方形ABCD 的邊長。

常州中考題與鹽城中考題與這道題目類似，在條件中都預(yù)設(shè)了旋轉(zhuǎn)的條件或者構(gòu)造了等邊三角形，借助全等三角形鋪墊，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)三條線段的轉(zhuǎn)化方法。這樣，在對費馬點問題改造的同時保留費馬點問題的本質(zhì)，同時降低入口的難度，呈現(xiàn)自然，思路順暢，深入淺出，體現(xiàn)了命題者高超的命題技巧。那么他山之石如何借鑒？又如何創(chuàng)新？

3.加工與調(diào)整：能不能把問題反過來呢？在學校九年級數(shù)學課外興趣小組的活動課上，筆者給同學們留下這樣一道思考題：（第一稿）從平面上一點P 引三條線段PA、PB、PC，若PA+PB+PC=m，則△ABC 面積的最大值是__。

猜想：當且僅當P 為△ABC 的費馬點，且PA=PB=PC 時，△ABC 的面積最大。此時△ABC 為等邊三角形，面積為但是如何證明這個結(jié)論？

（1）考慮用代數(shù)法：如何構(gòu)建函數(shù)模型或不等式模型？題目中的變量太多了，顯然難度太大了，棄之！

（2）還是考慮用幾何法：任取一點P，過P 點任意引出PA、PB、PC，設(shè)PA+PB+PC=m，得到△ABC。若點P 不是該三角形的費馬點，設(shè)該三角形的費馬點為D，則必有DA+DB+DC＜m.設(shè)則k＞1。如圖5，以D 為位似中心，將△ABC 放大k 倍，得到△EFG，則 必 有DE+DF+DG=k（DA+DB+DC）=m,且S△EFG=k2S△ABC＞S△ABC。由此可知，點P 為△ABC 的費馬點時，該三角形的面積最大。以下探究當PA、PB、PC 的長度各為多少時面積最大。

如圖6，設(shè)點P 為△ABC 的費馬點，且PA=a，PB=b，PC=c，且a+b+c=m。由已知可得：∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，所以：因為a+b+c=m,故(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=m2又a2+b2+c2≥ab+bc+ca，所以m2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)。

對于這道試題，學生反饋的信息是刺窩里摘花——無從入手。有個別學生猜出了問題的答案，但具體原因卻說不清。主要原因是孤立地出現(xiàn)這個問題，學生很難聯(lián)系與之相關(guān)的知識。但從另一角度看，這道題恰好可以考查學生直觀想象的素養(yǎng)，有助于鼓勵學生勇于猜想的思維品質(zhì)。這串貌似觸手可及的“葡萄”，驅(qū)動著他們積極地“跳躍”。

為了讓問題的呈現(xiàn)更加自然，筆者對題目進行了改編。（第二稿）問題：已知△ABC 的每個內(nèi)角都小于120°，如何在三角形內(nèi)部找一點P，使PA+PB+PC的最??？數(shù)學家們是怎樣解決這個問題的？法國數(shù)學家費馬是這樣想的：如圖7，將△APC 繞A 點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′,則△APP′為等邊三角形，PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′ ≥BC′,當 且 僅 當B、P、P′、C’四點共線時取最小值。該點也稱為這個三角形的費馬點。

如圖8，在△ABC 中，AB=AC=6，P 為三角形內(nèi)部一動點，且PA+PB+PC 的最小值是求此時線段PA 的長。

如圖9，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,P為三角形內(nèi)部一點，試求的最小值及此時線段PA 的長。

若P 為平面內(nèi)的一點，過P 點引出三條線段：PA、PB、PC，若PA+PB+PC 為定值m,直接寫出△ABC 面積的最大值。

通過把試題設(shè)計成閱讀理解的形式，融入數(shù)學文化，讓學生領(lǐng)悟數(shù)學家解決問題的方法，建立數(shù)學模型。而求費馬點到三個頂點的距離之和的問題，實質(zhì)上就是旋轉(zhuǎn)后求解三角形的問題。第（1）問應(yīng)用材料的方法，把△ABP 繞A 點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，變成已知三邊求解三角形的問題。第（2）問，只要把旋轉(zhuǎn)角改成90°，就可以構(gòu)建PA，從而進一步求解。對于第（3）問，有了（1）、（2）問的鋪墊，學生容易猜想當點P 為三角形費馬點，接著只要考慮PA、PB、PC 取何值面積最大的問題，降低了思考的難度。

試題分析：（1）問屬于方法的直接運用，（2）問是（1）問的變式，但改變的只是旋轉(zhuǎn)的角度，與材料中的問題變化不大，學生的解題基本上還停留在模仿的層面上，并沒有實現(xiàn)從一個問題到一類問題的突破。（3）問由于只要直接寫出答案，大大降低了難度，所以這道試題不能較好地考查出學生思維的深度。

費馬點問題求解的實質(zhì)，是借助于旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，［2］利用線段的等量關(guān)系，優(yōu)化線段的位置，從而把共頂點的三條線段的最小值問題轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的幾何模型求解。［3］涉及的基本圖形手拉手模型（如圖10）。觀察手拉手模型的基本圖形，由△ABD 與△ACE 的全等（或相似），若已知線段AE、CE 的長度，即可求出線段AD、BD 的長度，再借助△ADE 和△ABC 的相似，進一步求線段DE 長度，從而可以求出BE 的最值。這樣恰好與費馬點問題的求解思路互逆，可以更好地看出學生對模型的理解程度。為了能體現(xiàn)方法普遍性，讓學生體會這類問題的通法，故把△ABC 設(shè)置成一個一般的三角形，最終定稿為文初試題。

三、解答分析

解：（1）如圖11，△AP′C′如圖所示。

連 接BC′、PP′,C′D ⊥BC,交BC延長線于點D，則當且僅當B、P、P′、C’四點共線時最小。

由已知可得：四邊形ACDC′為正方形

（3）如圖12，作DF⊥BC于F，連 接BD，作∠EBC=∠ABD、∠ECB=∠ADB,連 接AE。設(shè)DC 的長度為2k，則BC=3k。

∵∠DCB=60°

∵∠EBC=∠ABD ∠ECB=∠ADB

∴△ABD∽△EBC

∵∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE

即∠ABE=∠DBC

四、試題評析

試題提供費馬點問題的相關(guān)材料，在介紹問題的背景的同時提供了解決共頂點的三條線段求和的最值的方法。讓學生在閱讀理解的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學模型，考查學生數(shù)學建模和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。問題分三個層次，（1）問通過作圖的預(yù)設(shè)，降低了難度，求解過程只需模仿材料提供方法即可，（1）問的設(shè)置面向全體，旨在完成達到下要保底的目標。（2）問鼓勵學生大膽猜想，考查直觀想象能力。猜出答案并不困難，但要得出其中的原因卻不易，期待學生能在課后延續(xù)問題的思考，體會“猜想—論證—再猜想—再論證”的科學探究方法。（3）問是方法的應(yīng)用和拓展，考查學生對模型的理解程度，融入相似三角形、勾股定理、基本圖形的構(gòu)造等，考查學生的邏輯推理的學科素養(yǎng)?？傊?整道試題層次鮮明，綜合性強，以學科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，突出對四基四能的考查，注重學生的創(chuàng)新意識，同時試題中蘊含著數(shù)學文化背景，引導(dǎo)學生關(guān)注數(shù)學文化。

五、命題拓展

（一）第（1）問的拓展與變式：

1.如圖13：△ABC 中，設(shè)AB=m,AC=n,∠BAC=β,對于任意給定的滿足條件的正實數(shù)a,aPA+PB+PC 的最小值問題可以先將△APC 繞A 點逆時針旋轉(zhuǎn)一個特定的角度θ，得到△AP′C′,使PP′=aAP，當且B、P、P′、C’四點共線時aPA+PB+PC 取最小值。

（1）旋轉(zhuǎn)角θ 由圖中的△APP′確定，滿足cos θ=θ 應(yīng)滿足θ+β ＜180°。

（2）實數(shù)a 應(yīng)滿足條件受到△APP′存在條件限制和（1）中旋轉(zhuǎn)角的限制，θ+β ＜180°?＜90°-

（3）aPA+PB+PC 的最小值可以在在△ABC′中求解。結(jié)論為：

2.如圖14，△ABC中,設(shè)AB=m,AC=n,∠BAC=β，對于滿足條件的正實數(shù)a、b，要求aPA+bPB+PC的最小值，可以先將△ABP 繞A 點順時針旋轉(zhuǎn)一個特定的角度θ，得到△AB′P′,再以A 為位似中心，將△AB′P′放縮成原來的b 倍，得到△AB″P″,其中PP″=aPA,PB,P″B″=bPB,故當且僅當B″、P″、P、C 四點共線時，aPA+bPB+PC 有最小值，最小值即線段B″C的長。

（2）實數(shù)a、b 應(yīng)滿足條件受到△APP″存在的限制和（1）中旋轉(zhuǎn)角的限制。具體為：a+b ＞1且-1 ＜a -b ＜1且1+b2-a2+2bcsoβ ＞0。

（3）aPA+bPB+PC 的最小值可以在△AB″C 中求解。結(jié)論為：

3.aA+bPB+cPC 型的最小值問題只需提取系數(shù)c，即可轉(zhuǎn)化成上面雙系數(shù)型的方法求解。

（二）第（2）問中蘊含的不等式：

2.ab sin α+bc sin β -ac sin(α+β)≤(a+b+c)2（其中a、b、c 為正數(shù)，0 ＜α、β ＜180°），當且僅當a=b=c 且α=β=120°取等。

（三）第（3）問的拓展：

如圖15，△ABC 中，BC:AC:AB=a:b:c，D 為平面內(nèi)一點，且DB=m，DA=n。由（3）問證明可知，當∠ADB+∠ACB=180°時DC 有 最 大值。此時A、B、C、D 共圓，由托勒密定理可得DC 最大值為：

六、命題反思

試題不足之處：費馬點作為一個擁有300 多年歷史的名題，吸引著無數(shù)數(shù)學愛好者的目光，相關(guān)的研究成果可汗牛充棟。故以該題材為背景的試題，總感覺新意不足，擺脫不了套題的嫌疑。但個人認為：一道試題，在考查知識方法的同時，能夠引導(dǎo)學生去領(lǐng)悟數(shù)學的思想方法，激起學生追根溯源的探知欲望，就是一道好的試題。

新課程標準明確要求，要把數(shù)學文化融入到數(shù)學的學習內(nèi)容中去，充分體現(xiàn)數(shù)學的文化價值。近年來，以數(shù)學文化為背景的試題己成為中考命題的新亮點。在數(shù)學文化試題的命制過程中，我們要深入挖掘素材里蘊含的數(shù)學思想和數(shù)學方法，通過合理的設(shè)計，讓學生能盡可能地體會數(shù)學文化的科學價值和應(yīng)用價值，感受數(shù)學文化的博大精深和無窮魅力。