基于概率理論的RV 減速器偏差建模理論分析

王飛躍，戚厚軍，馮俊濤，譚 鵬，楊 嵩

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，天津300222；2.天津市高速切削與精密加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300222）

0 引言

RV 減速器是新興起的一種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，這是一個(gè)漸開(kāi)線(xiàn)行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和一擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的構(gòu)成的新的擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。RV 減速器具有一系列的諸如小尺寸、重量輕、相對(duì)較大的承載能力、傳動(dòng)比大、壽命長(zhǎng)、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，因此它是在機(jī)器人主體關(guān)節(jié)、數(shù)控機(jī)床、軍事航天并廣泛應(yīng)用于等領(lǐng)域。

由于工業(yè)化4.0 中國(guó)制造2025 的實(shí)施[1]，中國(guó)工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)發(fā)展迅速。當(dāng)RV 減速器從被研究出來(lái)起，國(guó)內(nèi)外科研人員就圍繞其傳動(dòng)精度的影響因素和如何提高傳動(dòng)精度做了大量而深入的研究。在RV減速器的應(yīng)用分析中，其理論依據(jù)并不完善，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度重視。最早有美國(guó)的一些學(xué)者Blanche[2]和Yang[3]基于一級(jí)單擺線(xiàn)并且采用純幾何的方法推導(dǎo)了零件加工裝配誤差及間隙對(duì)輸出軸的傳動(dòng)精度影響。1986 年日本帝人公司研制出了RV系列減速機(jī)。較為成熟的產(chǎn)品有RV-E 系列和RV-C系列。此外，住友、三菱等廠(chǎng)家也有相當(dāng)成熟的加工技術(shù)在減速方面[4]。文獻(xiàn)[5-7]討論了偏差的矢量模型，文獻(xiàn)[8-10]針對(duì)第二類(lèi)裝配（零件主要通過(guò)裝夾定位裝置定位的裝配，如汽車(chē)覆蓋件等薄板類(lèi)零件裝配）零件的偏差累積，提出了偏差的狀態(tài)空間模型。雖然前人已經(jīng)做了很多RV 減速器的傳動(dòng)精度方面的深入研究，但在RV 減速機(jī)部件的偏差建模方向還是有些不足。

鑒于此，本研究從裝配過(guò)程出發(fā)，分析影響裝配精度的偏差源信息以及偏差的傳遞機(jī)理，從而以結(jié)合面為裝配偏差的節(jié)點(diǎn)建立綜合以上各模型優(yōu)點(diǎn)的統(tǒng)一模型，用于偏差傳遞機(jī)理分析，旨在研究RV 減速器傳動(dòng)精度方面的分析。

1 RV 減速器的偏差源及其分類(lèi)

1.1 RV 減速器的傳動(dòng)原理

RV 減速器是兩級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其中，所述第一級(jí)變速器是將漸開(kāi)線(xiàn)行星齒輪和所述齒輪軸嚙合，即第一級(jí)減速機(jī)構(gòu)，并且所述第二級(jí)變速器是擺線(xiàn)輪和針在針齒輪嚙合工作，即為第二級(jí)減速機(jī)構(gòu)。RV減速器傳動(dòng)是一種擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)系統(tǒng)。其結(jié)構(gòu)主要由太陽(yáng)輪、行星輪、擺線(xiàn)輪、針齒殼、曲柄軸、行星架等組成，如圖1 所示。

圖1 RV 行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

RV 減速機(jī)是一種由兩級(jí)減速機(jī)構(gòu)構(gòu)成的：

減速的第一階段是一個(gè)直齒圓柱齒輪減速機(jī)構(gòu)，其中，所述輸入軸開(kāi)始旋轉(zhuǎn)從輸入齒輪到正齒輪，并減速根據(jù)齒輪比。

第二減速部為一種擺線(xiàn)針輪嚙合的差動(dòng)齒輪減速機(jī)構(gòu)，其中所述擺線(xiàn)針輪嚙合一正齒輪連接到曲軸并成為第二減速部的輸入。在曲軸的偏心部，RV齒輪安裝有滾動(dòng)軸承。此外，在機(jī)殼內(nèi)的針齒僅比房車(chē)齒輪多1 個(gè)，排列在同一節(jié)距上。

傳動(dòng)原理：（4）針齒輪殼體被固定，并且所述太陽(yáng)輪（1）被連接到輸入軸漸開(kāi)線(xiàn)中心輪順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，它會(huì)推動(dòng)安裝在三個(gè)行星輪的圓（2）的中心120°旋轉(zhuǎn)的軸和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三個(gè)曲軸（5）和所述行星齒輪（2）固體甚至速度，兩個(gè)相差180°擺線(xiàn)齒輪（3）闡述三個(gè)曲軸，嚙合于固定針輪和圍繞其軸線(xiàn)在針輪圍繞其軸線(xiàn)的軌道將也朝順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。三對(duì)曲軸支撐軸承安裝在行星齒輪架（6）上被推動(dòng)以在擺線(xiàn)輪旋轉(zhuǎn)向量1:1 的速度比傳遞。

1.2 RV 減速器偏差源的分類(lèi)及分析

在RV 減速機(jī)的裝配過(guò)程中，它的各部分在加工處理過(guò)程中可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)偏差。本文中提到的偏差源是在組裝過(guò)程中每個(gè)零件的尺寸和形狀，組裝順序和RV 減速的定位偏差的處理偏差。本文在靜態(tài)組裝研究RV 減速器的傳動(dòng)精度的偏差。偏差源可分為三類(lèi)，即：

（1）零部件的幾何位置的偏差被定義為所述第一類(lèi)型的偏差E1。它可分為兩種類(lèi)型：幾何定位以及定向的偏差。幾何位置偏差有直徑尺寸和對(duì)稱(chēng)偏差等等，如在RV 減速器中曲柄軸的直徑的尺寸偏差;幾何定向偏差角度包括尺寸偏差、平行度偏差、傾斜偏差、垂直偏差等，如輸入軸軸線(xiàn)的平行度偏差和曲軸軸線(xiàn)。

（2）零部件的幾何形狀的偏差被定義為所述第二種類(lèi)型的偏差E2。偏差包括平直度和線(xiàn)性輪廓偏差等在偏差的在組裝過(guò)程中，累積的形狀偏差參與諸如擺線(xiàn)曲線(xiàn)輪廓。

（3）零部件相配合時(shí)的偏差被定義作第三類(lèi)型偏差E3。在RV 減速機(jī)的裝配過(guò)程中，其零部件的組裝順序?qū)?dǎo)致部件的裝配位置的一定的偏差。裝配位置偏差也分為兩種類(lèi)型：一個(gè)是定向偏差，另一個(gè)是通過(guò)當(dāng)所述部分適合的部件之間的間隙的部分的位置的不確定性引入的部分位置的定位偏差。

在RV 減速器裝配過(guò)程中幾何位置偏差和幾何形狀偏差以及裝配位置偏差發(fā)生耦合，共同作用下影響RV 減速器在運(yùn)動(dòng)時(shí)傳遞的精度。

2 偏差模型

針對(duì)RV 減速器的傳動(dòng)特點(diǎn)，在RV 減速器偏差傳遞機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，對(duì)零件間配合關(guān)系進(jìn)行了分析。研究RV 減速器裝配過(guò)程偏差傳遞和累積的規(guī)律并分析影響裝配精度的偏差源信息以及偏差的傳遞的原理。對(duì)于RV 減速器的多個(gè)偏差的傳遞的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)使用各零部件裝配偏差節(jié)點(diǎn)的接合面而建立。

2.1 特定偏差

（1）采用尺寸矢量的方法來(lái)表達(dá)偏差位置和方向。

式中：u，v，w 為尺寸矢量位置參數(shù)；α，β，γ 為尺寸矢量方向參數(shù)。

（2）RV 減速器各偏差源的偏差矢量以及零部件位姿變換矩陣表達(dá)如下：

式中：Δu，Δv，Δw 為偏差矢量位置參數(shù)；Δα，Δβ，Δγ 為偏差矢量方向參數(shù)

零部件的位姿變換矩陣如下：

①線(xiàn)性變換矩陣：

式中a、b、c 分別為左邊沿著x、y、z 坐標(biāo)軸的線(xiàn)性平移。

②旋轉(zhuǎn)變換矩陣：

則RV 減速器零部件偏差的位姿變換公式：

2.2 偏差域

假設(shè)偏差域中的坐標(biāo)系與幾何坐標(biāo)系固定連接，偏差域中的位置方向信息與偏差域中的位置方向信息相同。偏差的大小和邊界與函數(shù)幾何和上下偏差極限有關(guān)。對(duì)于幾何位置偏差來(lái)說(shuō)，偏差域主要為兩平行平面偏差域和圓柱面偏差域，如圖2 所示。

圖2 偏差域

2.3 多元偏差統(tǒng)計(jì)模型

為了描述RV 減速器裝配過(guò)程偏差傳遞和累積的規(guī)律，則需要構(gòu)建偏差多元統(tǒng)計(jì)模型。假設(shè)結(jié)合面上偏差矢量各個(gè)方向分量都服從正態(tài)分布：

線(xiàn)性部分：

式中：μi表示均值；Si表示方差，1 ≤i ≤6；

Δu，Δv，Δw 為尺寸矢量位置參數(shù)；Δα，Δβ，Δγ 為尺寸矢量方向參數(shù)。

則多元偏差統(tǒng)計(jì)模型為：

式中，Sij為協(xié)方差，1≤i，j ≤6。

假設(shè)上下差為t1、t2。如圖2 所示平行平面偏差域，偏差矢量有：

2.4 偏差源的評(píng)價(jià)

通過(guò)建立結(jié)合面上的偏差值評(píng)價(jià)模型，確定偏差本身的大小，是各方向偏差均值。下面主要根據(jù)三種不同的偏差源類(lèi)型，對(duì)其偏差值的評(píng)價(jià)進(jìn)行分析。

（1）幾何位置的偏差評(píng)價(jià)

假設(shè)對(duì)于幾何位置偏差確定量如下：

式中，Δu，Δv，Δw 為偏差矢量位置參數(shù)；Δα，Δβ，Δγ 為偏差矢量方向參數(shù)

自由度p 方向上的偏差值評(píng)價(jià)方法比較簡(jiǎn)單，其偏差的綜合評(píng)價(jià)可以采用距離空間的2 范數(shù)進(jìn)行表達(dá)即

距離偏差：

rα，rβ，rγ為角度偏差的作用半徑

由公式（16）和（17）得，在自由度p 方向上的幾何位置偏差如下：

線(xiàn)性偏差：

式中，μ1，μ2，μ3，μ4，μ5，μ6為偏差矢量的均值。

（2）幾何形狀偏差評(píng)價(jià)

在評(píng)價(jià)幾何形狀誤差時(shí)，需要先計(jì)算得到擬合幾何。零件的幾何多為平面和自然二次曲面，如球面、圓柱面等，一般曲面方程如（18）式所示。

假設(shè)幾何形狀誤差有n 個(gè)測(cè)量點(diǎn)，則零件坐標(biāo)系中各測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)為：

對(duì)應(yīng)絕對(duì)值最小的特征值λmin的特征矢量即為平面參數(shù)的最小二乘解，即

由公式（16）和（17）得幾何形狀在自由度p 方向上的偏差值評(píng)價(jià)：

線(xiàn)性偏差：

（3）裝配位置偏差如下：

線(xiàn)性偏差：

2.5 偏差源作用類(lèi)型

RV 減速器零部件的偏差源的作用包括正累積、負(fù)累積和不相關(guān)，對(duì)偏差傳遞具有重要意義。結(jié)合尺寸鏈與物理學(xué)中電路串并聯(lián)關(guān)系對(duì)比分析[11]，當(dāng)偏差源與裝配精度相關(guān)時(shí)，通過(guò)回路法來(lái)判斷偏差累積的正負(fù)性。

以封閉環(huán)做為起始點(diǎn)，并沿著行走方向繪制一個(gè)單向箭頭（“←”或“→”），然后沿通過(guò)尺寸線(xiàn)和尺寸界線(xiàn)方向，環(huán)繞尺寸鏈回路畫(huà)箭頭，凡是回路方向箭頭與封閉環(huán)上箭頭方向相同的組成環(huán)為減環(huán)，回路方向箭頭與封閉環(huán)上箭頭方向相反表示增環(huán)[12]。如圖3 所示，A1為封閉環(huán)，A2、A3為組成環(huán)，用回路法可以迅速判斷出A2、A3箭頭方向與A1箭頭方面相反，為增環(huán)。

圖3 尺寸鏈中回路法判斷增減環(huán)方法

2.6 零部件的偏差

基于三個(gè)線(xiàn)性和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的偏差傳遞，RV 減速器的多元偏差矢量的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建從線(xiàn)性和旋轉(zhuǎn)方面六個(gè)維度表示如下：

線(xiàn)性偏差：

3 偏差傳遞機(jī)理

3.1 偏差源的有向圖表達(dá)

基于RV 減速器三類(lèi)偏差源的分類(lèi)，現(xiàn)應(yīng)用有向圖的方法推導(dǎo)出RV 減速器各個(gè)零部件三類(lèi)偏差源的有向圖，如圖4 所示，建立了五種基本偏差流模型，用偏差源的有向圖進(jìn)行表達(dá)如圖4，gij是零件i上序列號(hào)j 中的功能幾何模型上部分i 和dk是第一或第二類(lèi)型偏差源模型。第三種類(lèi)型的偏差源E3的可以被認(rèn)為是所述第一類(lèi)型的偏差的校正。

圖4 五種偏差流

圖4a 為同一零件內(nèi)兩幾何的第一類(lèi)偏差源E1，記為基本偏差流f1。圖4b 為第二類(lèi)偏差源E2，記為基本偏差流f2。圖4c 為兩零件間兩幾何的第一類(lèi)偏差源E1，記為基本偏差流f3。圖4d 對(duì)于第三類(lèi)偏差源E3，可以看作第一類(lèi)偏差的修正，影響圖1c 所示第三類(lèi)偏差流，此時(shí)的偏差流為修正偏差流，記為f4。圖5e 中dij為零件i 上gij與gi0間的偏差源，且當(dāng)零件幾何同時(shí)受到n（n ≥1）個(gè)偏差作用時(shí)，可以用度為n的偏差流有向圖表。

3.2 偏差傳遞方式

在分析了影響裝配精度的偏差源種類(lèi)及其表達(dá)之后，還需要對(duì)偏差的傳遞機(jī)理進(jìn)行分析。偏差在零件之間的傳遞，通?；趦煞N方式：

（1）通過(guò)偏差幾何進(jìn)行傳遞

前一種情況發(fā)生在兩零件接觸配合時(shí)，前一零件配合幾何的偏差由配合約束引起后裝配零件的位姿變動(dòng)；位姿變動(dòng)與后裝配零件自身的幾何偏差發(fā)生耦合，實(shí)現(xiàn)偏差的累積。即連續(xù)偏差流，記為fa；

（2）通過(guò)結(jié)合面的位置偏差來(lái)進(jìn)行傳遞

在裝配功能方向上存在間隙配合時(shí)，由于配合間隙的影響，前一零件偏差累積發(fā)生間斷；裝配精度受后一零件裝配位置偏差影響，重新開(kāi)始傳遞。即斷續(xù)偏差流，記為fb。

3.2.1 配合關(guān)系

配合關(guān)系是RV 減速器各個(gè)零件之間裝配的基礎(chǔ)，倆個(gè)零件的配合關(guān)系直接影響著零件之間的偏差的傳遞，零件間的配合精度直接影響著RV 減速器的傳遞精度，RV 減速器中配合關(guān)系可以分為以下幾種：

（1）Mgg 型配合幾何均為偏差幾何g，配合精度由兩個(gè)幾何和三種類(lèi)型的偏差源的影響。

（2）MDD 類(lèi)型配合幾何是參考幾何D，配合精度僅受裝配位置偏差的影響。

（3）MgD 型配合幾何是同時(shí)由偏差幾何g 以及基準(zhǔn)幾何D 來(lái)進(jìn)行影響的。

零件間的配合的狀態(tài)分為非間隙配合Mf 和間隙配合Mj。

（1）非間隙配合Mf 時(shí)，前一零件g1的配合幾何偏差由配合約束引起后裝配零件g2的位姿變動(dòng)；位姿變動(dòng)與后裝配零件的配合幾何偏差發(fā)生耦合，實(shí)現(xiàn)偏差的累積。

（2）間隙配合Mj 時(shí)，由于配合間隙的影響，g1零件偏差累積發(fā)生間斷；裝配精度受后一零件g2裝配位置偏差ΔT2的影響，重新開(kāi)始傳遞。

3.3.2 零件在不同配合狀態(tài)時(shí)的偏差表達(dá)

Mgg 型在間隙和非間隙兩種狀態(tài)下的偏差有向圖如圖5 所示：

圖5 配合狀態(tài)

4 偏差模型的實(shí)例論證

基于零件偏差源的分類(lèi)以及偏差的傳遞關(guān)系，現(xiàn)結(jié)合某零部件的軸孔配合裝配如圖6 所示。

圖6 軸孔配合

其配合關(guān)系為MgD 型在間隙配合Mc 狀態(tài)下的配合關(guān)系如圖7 所示。

圖7 Mc 狀態(tài)配合關(guān)系

軸孔配合為間隙配合則其偏差有向圖及其偏差統(tǒng)計(jì)量為E = △T2+ △d2，如圖8 所示。

圖8 間隙配合時(shí)的偏差統(tǒng)計(jì)量

即假設(shè)各偏差源均服從正態(tài)分布，零件1 直徑d1=mm，零件2 直徑d2=mm，在三維坐標(biāo)系下用矢量法所構(gòu)建的多元偏差矢量表達(dá)模型，基于極值的方法，所述偏差在從線(xiàn)性和旋轉(zhuǎn)方面六個(gè)維度表示如下：

線(xiàn)性總偏差：d1= 0.4970 mm

旋轉(zhuǎn)總偏差：ψ1= 0.0269 mm

基于三角函數(shù)相似原則，其偏差角度為Δθ =0.0573°，本數(shù)學(xué)模型應(yīng)用極值法的計(jì)算的偏差值與理想值相差在0.11°之內(nèi)，滿(mǎn)足裝配質(zhì)量的要求。

5 結(jié)論

（1）根據(jù)RV 減速機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，各零部件的偏差源的原因進(jìn)行了分析并對(duì)偏差源進(jìn)行分類(lèi)。對(duì)于RV 減速器的剛性部件的裝配偏差源有幾何位置、形狀以及裝配位置的偏差。

（2）根據(jù)RV 減速器的構(gòu)造及其傳動(dòng)原理分析，結(jié)合RV 減速器曲柄軸的實(shí)例，建立三維坐標(biāo)系，基于綜合影響RV 減速器傳動(dòng)精度信息，對(duì)偏差傳遞進(jìn)行分析研究，以結(jié)合面為裝配偏差的節(jié)點(diǎn)綜合偏差域本身的位置和方向信息的優(yōu)點(diǎn)建立統(tǒng)一的偏差模型，為研究RV 減速器的零件偏差表達(dá)方面提供了一種全新的數(shù)學(xué)表達(dá)方法。實(shí)例證實(shí)該模型能正確分析裝配過(guò)程偏差，為基于偏差流的應(yīng)用研究奠定了理論基礎(chǔ)。

（3）并為研究其它機(jī)械行業(yè)產(chǎn)品裝配中零部件偏差表達(dá)和傳遞對(duì)其整機(jī)的傳動(dòng)精度的影響提供一種新的解決方案和思路。