李 鋒

(福建省連江第一中學(xué)，350500)

高考試題“源于教材,高于教材”,大多是由教材核心概念、基本知識(shí)及相關(guān)題目加工改造、延伸拓展而來. 這些試題反映了相應(yīng)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的本質(zhì)屬性,蘊(yùn)涵了重要的數(shù)學(xué)思想,有效考查了學(xué)生的思維水平、解題能力和學(xué)科素養(yǎng).本文以2014年高考福建理科數(shù)學(xué)第20題(壓軸題)為例，進(jìn)行探究.

一、真題再現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;

(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),x2

(3)證明:對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x,使得當(dāng)x∈(x,+∞)時(shí),恒有x2

分析本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力和抽象概括能力,考查函數(shù)與方程思想、有限與無(wú)限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想和特殊與一般思想,考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

其中第(1)問利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與第(2)問構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，來源于教材常規(guī)的基本知識(shí)與基本方法(見人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》選修2-2“1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”相關(guān)知識(shí)及習(xí)題1.3B組第1題:證明下列不等式(3)ex>1+x,x≠0;(4)lnx0),這里不再贅述.第(3)問解法多樣,下面給出幾種比較典型的解法.

解法1① 若c≥1,則ex≤cex.由(2)知,當(dāng)x>0時(shí),x20時(shí),x2

綜上,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0,使得當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),x2

二、背景探源

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》必修1“3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用”中指出,“一般地,對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),通過探索可以發(fā)現(xiàn),在區(qū)間(0,+∞)上,無(wú)論n比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),ax會(huì)小于xn,但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng),因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有ax>xn……”顯然,教材通過大量的實(shí)例,借助信息技術(shù)精確呈現(xiàn)出相關(guān)函數(shù)值的變化,最后直觀得出上述關(guān)于“不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型”增長(zhǎng)趨勢(shì)的定性描述. 但由于知識(shí)受限,無(wú)法在理論上予以證明. 學(xué)習(xí)了“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”后,就能夠利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具進(jìn)行證明. 2014年福建卷的壓軸題的第(3)問,其實(shí)質(zhì)就是來源于上述函數(shù)增長(zhǎng)模型的比較. 數(shù)學(xué)是講道理的,命題的立意是想以這個(gè)憑直覺顯而易見的結(jié)論為載體,突出導(dǎo)數(shù)的工具作用,考查學(xué)生在解題過程中對(duì)“常量”與“變量”辯證關(guān)系的理解以及綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力,以推崇數(shù)學(xué)的理性思維.

三、深度探究

拓展探究已知n∈N*,對(duì)任意給定的正數(shù)c,是否存在x,使得當(dāng)x∈(x,+∞)時(shí),恒有xn

若n≥5,由2m≥mn+n+1,取m=n.下面證明當(dāng)n≥5時(shí),2n≥n2+n+1成立.

由① ② 可知,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x,使得當(dāng)x∈(x,+∞)時(shí),恒有xn

通過以上拓展探究,我們證明了一個(gè)一般性的結(jié)論:若已知n∈N*,則對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x,使得當(dāng)x∈(x,+∞)時(shí),恒有xn

高考試題是命題專家集體智慧的結(jié)晶,每道試題的背景及形成過程都深深根植于教材之中,其解題思路也是在數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)下自然形成的,“新而不難,難而不怪”. 因此,高三教學(xué)要真正回歸教材,大力挖掘其潛在的教育功能;研究高考,尤其是對(duì)體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)及有很好教育價(jià)值的高考試題進(jìn)行深度解析,凸顯核心概念的本質(zhì),聚焦試題的關(guān)鍵能力特征,挖掘試題所承載的學(xué)科核心素養(yǎng),追尋試題命制的軌跡,領(lǐng)悟命題思想;努力探索高考試題與教材知識(shí)之間的最佳契合點(diǎn),并創(chuàng)造性地使用教材,準(zhǔn)確理解和把握數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),努力探索促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的載體、手段和途徑,構(gòu)建以素養(yǎng)立意的課堂教學(xué)模式,提高數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.