周建平

(浙江省浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)，321000)

平面向量的數(shù)量積兼具幾何與代數(shù)雙重特性，處理問題時需要合理運用其中的乘積關(guān)系和幾何關(guān)系,而投影法、基底法和坐標法在求解該類問題中有著良好的解題效果．下面分類例說.

一、“三法”探討,解法點睛

平面向量的數(shù)量積屬于高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典問題,問題突破可以采用“向量三法”:投影法、基底法和坐標法,“三法”可準確定位向量關(guān)系,巧妙簡化問題．

1.投影定義法

投影定義法,即利用數(shù)量積的投影定義,對于向量a和b,有a·b=|b|·λa→b(記λa→b為a在b上的投影),因此可利用該定義進行轉(zhuǎn)化．而在實際求解時，還可以充分利用數(shù)量積公式a·b=|a||b|cosθ,建立與向量投影之間的聯(lián)系．

評注數(shù)量積的投影定義法在以下兩類情形中可有效降低思維難度:①圖形中含有眾多與向量數(shù)量積相關(guān)的特殊的幾何條件,如垂直、平行等,有利于確定向量的投影關(guān)系,因此需關(guān)注圖形中的直角三角形、菱形對角線的垂直等;②對數(shù)量積的范圍問題,其中一向量的模長為定值,可利用向量投影將其轉(zhuǎn)化為最值問題．

2.向量基底法

向量基底法同樣適用于求解平面向量的數(shù)量積問題.用此方法時需確定一對基底,然后將有關(guān)向量用該基底來表示,最后結(jié)合平面向量的線性運算,以及數(shù)量積運算等知識，將其轉(zhuǎn)化為純代數(shù)問題．

評注選取基底時?？砂凑杖缦路绞?若題目中含有向量的模長已知且數(shù)量積可求,則可以將其作為基底;若題干圖形中含有特殊的圖形,如等邊三角形、直角三角形、矩形等,則可以特殊圖形邊的向量作為基底．

3.平面坐標法

平面坐標法,顧名思義需要結(jié)合題設(shè)圖形來建立直角坐標系,實現(xiàn)題干向量的坐標化,然后通過坐標運算來求解數(shù)量積問題．

解析題干給出了圖形的幾何關(guān)系,其中涉及到等腰三角形、半圓、動點等內(nèi)容,不便于使用投影定義和基底法,可以考慮根據(jù)圖形特點來建立直角坐標系,采用坐標運算來轉(zhuǎn)化求解．

取AB的中點為坐標原點O,AB所在直線為x軸，建立直角坐標系.根據(jù)條件可知A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2).可設(shè)∠POB=θ,其中θ∈[0,π],則點P坐標可表示為(cosθ,sinθ),由點坐標可得直線BC的斜率kBC=1,所以直線BC:y=x-1．

評注常見可用于建系的圖形有以下幾類:①具備對稱屬性的圖形,長方形、正方形、菱形、等邊三角形等;②具有特殊直角的圖形,如直角三角形、直角梯形等;③具有特殊的角度,如30°、45°、60°、120°等．

二、多解探索,舉一反三

上述所呈現(xiàn)的三種解法雖看似簡單,但合理利用可巧妙求解平面向量數(shù)量積問題,極大降低解題難度,因此可將投影法、基底法和坐標法三種方法作為該類問題求解的有效策略．需要注意的是，三種方法雖相互獨立,但方法之間有著一定的關(guān)聯(lián),可用于問題多解探究,即針對同一問題,可采用不同的方法來求解．

解析題干在梯形內(nèi)構(gòu)建了相應(yīng)的向量,并給出了與數(shù)量積相關(guān)的條件,屬于與數(shù)量積相關(guān)的幾何類問題,可以采用“三法”中的基底法、坐標法來求解．

方法1:基底法

方法2:坐標法

問題所涉圖形為特殊的梯形,可借助圖形特征建立直角坐標系,通過坐標運算來簡解．

總之,投影法、基底法和坐標法作為求解平面向量數(shù)量積問題的常用“三法”,方法之間存在一定的差異,但求解思路均緊扣向量的“數(shù)”、“形”特性．深入研究三種方法的構(gòu)建思路及適用范圍,可形成平面向量數(shù)量積問題的解題策略．