■江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) 毛樂(lè)萍

加法原理和乘法原理是處理計(jì)數(shù)問(wèn)題的兩種基本思想方法。對(duì)兩個(gè)原理理解不透、分類(lèi)或分步不當(dāng)而導(dǎo)致的重復(fù)遺漏、考慮問(wèn)題不全等是常見(jiàn)的錯(cuò)誤，下面舉例剖析。

一、對(duì)兩個(gè)原理理解不透

例 1三臺(tái)機(jī)器加工四個(gè)不同的零件，則不同的加工方法有____種。

錯(cuò)解：4×4×4=43。

錯(cuò)因：對(duì)“完成一件事”理解不到位，導(dǎo)致“誰(shuí)選誰(shuí)”錯(cuò)誤，按此解法，來(lái)看一下完成情況。設(shè)機(jī)器為甲、乙、丙，零件為a，b，c，d，按機(jī)器甲、乙、丙加工的順序，會(huì)出現(xiàn)a、a、a的情況，即三臺(tái)機(jī)器都加工a，故“沒(méi)有完成這件事”。

正解：零件選機(jī)器，3×3×3×3=34。

二、分步“有序”導(dǎo)致的重復(fù)

例 2為抗擊新冠肺炎疫情，我市某醫(yī)院從3名呼吸內(nèi)科醫(yī)生、4名急診重癥科醫(yī)生和5名護(hù)士中選派5人組成一個(gè)抗擊疫情醫(yī)療小組，則呼吸內(nèi)科與急診重癥科醫(yī)生都至少有一人的選派方法種數(shù)是____。

錯(cuò)解：先從呼吸內(nèi)科與急診重癥科醫(yī)生中各選一個(gè)，然后從剩下的選3個(gè)，即·。

錯(cuò)因：這是利用乘法原理解排列組合的典型錯(cuò)誤，分步隱含“有序”，但結(jié)果無(wú)序，來(lái)看錯(cuò)解可能出現(xiàn)的結(jié)果。設(shè)內(nèi)科醫(yī)生為A1，A2，A3，急診醫(yī)生為B1，B2，B3，B4，護(hù)士為a，b，c，d，e，第一步可能選到A2，第二步可能選到B1，第三步可能選到a，b，A3，即選派結(jié)果為A2，B1，a，b，A3。但也有可能第一步選到A3，第二步選到B1，第三步選到a，b，A2，即選派結(jié)果為A3，B1，a，b，A2，與前面的結(jié)果其實(shí)是同一結(jié)果，這就是分步“有序”導(dǎo)致的重復(fù)。

正解：若選出呼吸內(nèi)科醫(yī)生、急診重癥科醫(yī)生、護(hù)士分別是1、1、3名，則有120（種）；同理，選出呼吸內(nèi)科醫(yī)生、急診重癥科醫(yī)生、護(hù)士還有1、2、2名；2、1、2名，2、2、1名；1、3、1名；3、1、1名，以及0名護(hù)士，共6種情況，故總數(shù)為。

三、分步步驟不合理導(dǎo)致的重復(fù)或遺漏

圖1

例 3某學(xué)校將一塊長(zhǎng)方形空地分成如圖1所示的八塊，計(jì)劃在這八塊空地上種花。已知空地1、8上已經(jīng)種了a花，其余空地需從A、B、C、D、E這5種花中選擇若干種進(jìn)行種植，要求每塊空地只種一種花，且有公共頂點(diǎn)的兩塊空地種的花不能相同，則不同的種植方案有____種。

錯(cuò)解：按2→3→4→5→6→7的順序種植，共有5×4×4×4×2×1=640（種）方法。

錯(cuò)因：沒(méi)有考慮當(dāng)2和4相同時(shí)第7塊有2種方法。

正解：先考慮中間“田”字格的種植方案，共有=120（種），兩邊剩余的每塊空地的種植方案的種數(shù)均為=3，所以不同的種植方案有120×3×3=1080（種）。

四、限制條件多而考慮不周

例 46個(gè)人排隊(duì)，其中甲和乙不相鄰，丙和乙相鄰，則不同的排法一共有____種。

錯(cuò)解：第一步，先將甲和其余3人排，共有=24（種）排法，第二步，再排乙，與甲不相鄰，利用插空法，有=3（種）排法，第三步，丙與甲相鄰，只能排在前面或后面，有=2（種），則一共有24×3×2=144（種）。

錯(cuò)因：由于限制條件多，考慮不周，遺漏了丙在甲乙之間的情形。

正解1：把錯(cuò)解中的結(jié)果作為第一類(lèi)，有144種排法。第二類(lèi)，先將甲和其余三個(gè)排好，共有=24（種），再將丙排在甲和乙之間，有=2（種），故共有24×2=48（種）。綜上可知，不同的排法共有144+48=192（種）。

正解2：利用間接法，第一步，先滿(mǎn)足丙和乙相鄰，利用捆綁法，共有第二步，滿(mǎn)足第一步的條件下甲和乙相鄰的情形，有丙乙甲、甲乙丙兩種情況，共有2×=48（種）。所以滿(mǎn)足題意的結(jié)果為240-48=192（種）。限制條件多時(shí)利用間接法是不錯(cuò)的選擇。

五、分組與隔板模型的錯(cuò)誤

元素不同的分配問(wèn)題一般先分組，元素相同的分配問(wèn)題一般用隔板法，但要注意題目中的限制條件。

例 55個(gè)實(shí)習(xí)教師分配到3個(gè)班參加活動(dòng)，每班至少1人，有幾種不同的分法？

錯(cuò)解1：把5個(gè)實(shí)習(xí)老師排成一排，中間4個(gè)位置放3塊擋板，即0|0|00|0，共有=4（種）不同方法。

錯(cuò)因：5個(gè)教師是互不相同的，而用隔板法時(shí)要求這些元素必須相同。若把問(wèn)題改為：把5個(gè)名額分配給3個(gè)班，每班至少1人，有幾種不同的分法？答案就是=4。

錯(cuò)解2：第一步先選3個(gè)教師分到3個(gè)班，有=24（種）方法，再將剩余兩個(gè)隨便排，有3×3=9（種），故共有24×9=216（種）。

錯(cuò)因：與例2相同，有重復(fù)排法。

正解：把5位實(shí)習(xí)老師分成3組，有兩類(lèi)：1、1、3和1、2、2，分別有種，再分到三個(gè)班里，則滿(mǎn)足題意的分法共有。