舊貌換新顏，聚焦新高考
———二項(xiàng)式定理創(chuàng)新題解析

■江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 曲 婷

二項(xiàng)式定理是高考必考的考點(diǎn)，主要考查二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)等內(nèi)容之間的聯(lián)系；除了注重考查二項(xiàng)式定理的基本運(yùn)用，與之相關(guān)的創(chuàng)新題型成為高考的新熱點(diǎn)，重點(diǎn)考查多個(gè)知識(shí)交匯的靈活運(yùn)用。

創(chuàng)新題型一：題目背景延伸

二項(xiàng)式定理在高考中多以基礎(chǔ)題居多，因此在題目設(shè)置中會(huì)以其他知識(shí)點(diǎn)為背景切入，將多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)融合在一起進(jìn)行考查。例如：復(fù)數(shù)、數(shù)列、排列組合、概率等。

例 1（2020年日照模擬）設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開式中含x4的項(xiàng)為____。

解析：二項(xiàng)式（x+i）6的展開式的通項(xiàng)公式為，令6-r=4，得r=2，則展開式中含x4的項(xiàng)為。

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)數(shù)知識(shí)為背景，考查二項(xiàng)式定理的基本應(yīng)用，即利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求展開式中的指定項(xiàng)問題。

例 2（2020年青島模擬）已知a∈N，二項(xiàng)式的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)不大于240，記a的取值集合為A，則由集合A中的元素構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有____個(gè)。

解析：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為令6-2r=2，求得r=2，可得展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)為。

根據(jù)含有x2項(xiàng)的系數(shù)不大于240，可得15（a+1）2≤240，求得-5≤a≤3。

再根據(jù)a∈N，可得a=0，1，2，3，即A={0，1，2，3}，則由集合A中的元素構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有18（個(gè)）。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題。

本源：通過以上兩個(gè)例題，不難發(fā)現(xiàn)題目背景可以有很多種，但究其根本，此類問題皆源自于“人教版教材選修2-3第一章1.3.1二項(xiàng)式定理例2”，其本質(zhì)是考查求展開式中的指定項(xiàng)系數(shù)、指定項(xiàng)問題，要求能夠正確使用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行解題。

創(chuàng)新題型二：解題思維延伸

二項(xiàng)式定理是以多項(xiàng)式乘法原理為基礎(chǔ)，研究n個(gè)（a+b）相乘即（a+b）n展開式的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，可以利用其原理進(jìn)一步研究n個(gè)（a+b+c）相乘即（a+b+c）n的結(jié)果、（c+d）（a+b）n展開式的結(jié)果等類似問題。

例 3（2020年興寧期末）已知隨機(jī)變量X～N（1，σ2），且P（X≤0）=P（X≥a），則的展開式中x4的系數(shù)為（ ）。

A.680 B.640 C.180 D.40

解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X～N（1，σ2），且P（X≤0）=P（X≥a），所以a=2，代入可得，其展開式中含x4的項(xiàng)=40x4+640x4=680x4，所以展開式中x4的系數(shù)為680。

點(diǎn)評(píng)：本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，同時(shí)考查同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng)。

例 4（2020年廣東二模）（x+y+2）6的展開式中xy3的系數(shù)為（ ）。

A.120 B.480 C.240 D.320

解析：把（x+y+2）6的展開式看成6個(gè)因式（x+y+2）的乘積形式，從中任意選1個(gè)因式，這個(gè)因式取x，再取3個(gè)因式，這3個(gè)因式都取y，剩余2個(gè)因式取2，相乘即得含xy3的項(xiàng)。故含xy3項(xiàng)的系數(shù)為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了排列組合與二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，是一道綜合性很強(qiáng)的題目。

本源：這兩個(gè)例題仍然是源自于“人教版教材選修2-3第一章1.3.1二項(xiàng)式定理例2”，例3的改編是將一個(gè)二項(xiàng)式展開式問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的問題；例4其本質(zhì)仍舊是多項(xiàng)式乘法原理及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用。

創(chuàng)新題型三：題目形式延伸

除了在題目背景和題目思維上的延伸，以考查二項(xiàng)式定理為主的題目形式也有新的改編。題目形式不再單一地以已知概念為背景，逐步出現(xiàn)借助二項(xiàng)式定理處理新定義問題；也不再僅僅以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，逐步出現(xiàn)融合二項(xiàng)式定理的解答題形式。

例 5（2020年綿陽模擬）我們把數(shù)列叫作“互為隔項(xiàng)相消數(shù)列”，顯然an+bn∈Z。已知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則c2020除以4的余數(shù)為（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由二項(xiàng)式定理可設(shè)其中xn，yn∈N*，由題意可得，其中xn，yn∈N*，則=（2-1）2n=1，所以。

因?yàn)閤n＞1，所以即有[xn+。

點(diǎn)評(píng)：本題以二項(xiàng)式定理為背景進(jìn)行新定義，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的結(jié)構(gòu)特征設(shè)定展開式結(jié)構(gòu)，即可順利得出答案。

本源：利用二項(xiàng)式定理解決整除和余數(shù)問題，是高考中的常見題型；但是大多以實(shí)數(shù)進(jìn)行拆合相關(guān)數(shù)的方式借助二項(xiàng)式展開式的某幾項(xiàng)來計(jì)算余數(shù)。此題中新定義了一個(gè)二項(xiàng)式展開式的結(jié)構(gòu)特征，借助定義及類似于二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的特征，順利計(jì)算得出結(jié)果。

例 6（2020年青島模擬）已知（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），的前n項(xiàng)和為Tn。當(dāng)時(shí)，求n的最小整數(shù)值。

解析：因?yàn)椋?+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），令x=1，可得2n=a0+a1+a2+…+an，所以Sn=a0+a1+a2+…是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故Tn=。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是對(duì)知識(shí)的綜合考查?？疾榱说葍r(jià)轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)基本運(yùn)算能力。

本源：二項(xiàng)式系數(shù)和與數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解都是高考中的常見熱點(diǎn)問題，本題利用二者與n的關(guān)系，巧妙地將兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，目的在于考查處理數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換能力和綜合能力。

題目可以是多源化的，但究其根本就是最基礎(chǔ)的知識(shí)換個(gè)新的方式呈現(xiàn)；所謂萬變不離其宗，無非是舊貌換新顏，抓住本質(zhì)，一切便可迎刃而解。